1. Суммы Дарбу. Их свойства. Определение интеграла функции по отрезку. Необходимые условия интегрируемости. [a,b]- Δ – выбор конечного числа точек. а = х0 < x1 < <xn = b

1. Суммы Дарбу. Их свойства. Определение интеграла функции по отрезку. Необходимые условия интегрируемости. [a,b]- Δ – выбор конечного числа точек. а = х0 < x1 <…<xn = b Пусть есть разбиения Δ’ Δ’’. Δ=Δ’∩Δ’’ Δ более мелкое, чем Δ’,если любой отрезок Δ’ можно составить из отрезков Δ (если точки Δ содержат точки Δ’) Верхняя/Нижняя сумма Дарбу для функции f, отвечающая разбиению Δ. Свойства сумм Дарбу: 1) Если y=f(x) ограничена сверху (снизу) на [a,b], то любая ее () является конечным числом. Если же f(x) – неограниченная, то 2) ( f) ≤ (f) 3) При переходе от какого-либо Δ [a,b] к более мелкому, не увеличиваются, а не уменьшаются. # = [l(I1) + l(I2)] = *l(I1) + *l(I2) ≥ *l(I1) + *l(I2) # 4) и Δ´´ (f)≤ (f) # Δ=Δ’∩Δ’’ (f) ≤ (f) ≤ (f) ≤ (f) # Def; y = f(x) заданная на [a,b], называется интегрируемой на [a,b] (по Риману), если и есть одно и то же действительное число I. . f(x) R[a,b] Следствия: 1) Если функция неограниченна сверху (снизу) неинтегрируема 2) Если f(x)=const на [a,b] (f) = h(l[a,b]) = (f), то = h(b – a) 3) рац./нерац. Функция Дирихле:	2. Основной критерий интегрируемости Для того,чтобы f(x) на [a,b] была интегрируема по Риману ó ¥ ε >0 сущ. ∆ [a,b]: Sˉ∆ (f) – S_∆ (f)< ε # → f(x) интегрируема на [a,b] ó сущ. I принадл. R (infSˉ∆(f)=I=supS_∆ (f)) ¥ ε /2>0 сущ. ∆’ и ∆”: Sˉ∆’ <I+ε/2 и S_∆” > I-ε/2 Рассм. ∆=∆’ ∩ ∆” Тогда верно: I-ε/2 < S_∆’ (f)≤ S_∆ (f) ≤ Sˉ∆ (f) ≤ Sˉ∆’ (f) < I+ε/2 => Sˉ∆ (f) – S_∆ (f)< ε ← ¥ ε >0 сущ. ∆ [a,b]: Sˉ∆ (f) – S_∆ (f)< ε Рассм. ε=1, тогда сущ. Sˉ∆ (f) – S_∆ (f)< 1 Sˉ∆ (f) – может принимать конечн.значение или +∞ S_∆ (f) – может принимать конечн.значение или -∞ Но т.к. выполняется нер-во => S-конечн. => рассм. произвольн. ∆’ и ∆” Sˉ∆’ (f) ≥S_∆ “(f) Т.к. мн-во огр. сверху, то сущ. I_=sup Sˉ∆ (f) при этом I_≤ Sˉ∆’ (f) Iˉ=inf Sˉ∆ (f) причем I_≤ Iˉ Если бы I_<Iˉ, то Sˉ∆ (f) ≤ I_<Iˉ ≤S_∆ (f) => Sˉ∆ (f) – S_∆ (f) – не была бы меньше ε (ε= Iˉ- I_) Противоречие => I= I_=Iˉ => supS_∆ (f)=I=inf Sˉ∆ (f) при этом I=∫a^b=f(x)dx #		4. Интегрируемость непрерывной функции на отрезке Любая непр. ф-ция на отр. является интегрируемой на отрезке # ε / (b-a) > 0 δ>0 x’ и x” принадл. [a,b] |x’ – x”|<δ => |f(x’)-f(x”)|< ε / (b-a) n>(b-a)/δ Sˉ∆ (f) – S_∆ (f) = ∑i=1^n[supf(x)-inff(x)]∆x i = ∑i=1^n[f(x’i) - f(x”i)]∆x i ≤ ∑i=1^n| f(x’i) - f(x”i)| ∆x i <∑i=1^n(ε / (b-a))∆x i =ε ] по Th Вейерштрасса f(x’i)=sup f(x) x’I принадл. [x i -1 , x i] f(x”i)=inf f(x) x”i принадл. [x i -1 , x i] [ #
5. Достаточные условия интегрируемости разрывной функции на отрезке. Пусть точки, в которых y=f(x) не является интегрируемой, образуют множество меры 0 (т.е. все точки можно покрыть интервалами, суммарная длина которых меньше любого наперед заданного числа). Тогда y=f(x), ограниченная на [a,b], является интегрируемой на нем. # Закроем точки, в которых функция не является непрерывной интервалами суммарной длины , где h≥|f(x)| для всех Х. Каждый отрезок, где y=f(x) непрерывна, разобъем на отрезки, длиной меньше : х1 х2 |x1 – x2| |f(x1) – f(x2)|< (Верно, т.к. ф-я непрерывна на [a,b] равномерно непрерывна). (f) - (f)= = < По отрезкам по интервалам, содерж.точки, где f(x) непрерывна где f(x) не явл. непр. и концев.точки Supf(x) и inff(x) достигаются функцией на каждом из отрезков, где f(x) непрерывна supf(x) – inff(x) ≤ < + = + = + = < y=f(x) интегрируема на [a,b] #			8 Неравества для интегралов. Th о среднем 1)y=f(x) интегр и >0 на [a,b] => ∫f(x)dx≥0 # I=supS(f)_=infS(f)ˉ S_≥0 => supS(f)_≥0 2)y=f(x), y=g(x) интегр на [a,b] f(x)≤g(x) ∫f(x)dx≤∫g(x)dx # ≥0 ↓↓↓↓ ∫g(x)dx=∫[f(x)+(g(x)-f(x))]dx=∫f(x)dx+∫[g(x)-f(x)]dx≥∫f(x)dx 3)y=f(x) интегр на [a,b] ∫|f(x)|dx≥|∫f(x)dx| # -∫|f(x)|dx≤∫f(x)dx≤∫|f(x)|dx |∫f(x)dx|≤∫|f(x)|dx Th о среднем y=f(x) непрерывна на [a,b] ∫f(x)dx=f(ξ)*(b-a) # Inf f(x)≤f(x)≤supf(x) x€[a,b] f(x_)≤f(x)≤f(xˉ) f(xˉ)=sup f(x) f(x_)=inf f(x) ∫f(x)dx≤f(xˉ)*(b-a) ∫f(x)dx≥f(x_)*(b-a) f(x)≤(b-a)ˉ¹ *∫f(x)dx ≤f(x¯) (b-a)ˉ¹ *∫f(x)dx = f(ξ) ξ€[x_;x¯] => ξ€[a,b] Спасибо за внимание
9.Интеграл с переменным верхним и нижним пределом(его сво-ва). Def Если ф-ция f(x) интегрируема(по Риману)на отр[a,b] |R,то по сво-ву аддитивн. Вытекает,что для ¥ переменной точки x€[a,b] определены a ∫^xf(t)dt и x∫^bf(t)dt,которые наз-ся интегралами с переменными пределами(соотв. верхним и нижним) Сво-ва: Th 1 Если f(x) интегрир(по Риману) на отр.[a,b],то ф-ция F=a∫^xf(t)dt непрерывна на этом отрезке. #Возьмем x0–произвольная т.на [a,b].Т.к ф-ция интегр на [a,b],то она огранич. на [a,b],т.е существ такое h>0,что|f(t)|≤h t [a,b],взяв любое сколь угодно малое полож ε,можно утверждать,что если x [a,b] и|x-x0|<ε/h,то |F(x)-F(x0) |=|a∫^xf(t)dt-a∫^x^0f(t)dt|=|x0∫^xf(t)dt|≤|x0∫^x|f(t) |dt|≤h|x-x0|<h ε/h< ε#(поскольку ε/h не завис от т. x0, фактич.была установл равномерн непрерывность) Следствие 1 Если f(x) интегрир(по Риману) на отр.[a,b],то ф-ция F=x∫^bf(t)dt непрерывна на этом отрезке. Следствие 2 Если f(x) [a,b],то Th 2 Если f(x) непрерывна на отр.[a,b],то ф-ция F(x)=a∫^xf(t)dt имеет производную в каждой т.этого отр.(как правая и левая произв в т a,b),при этом F’(x)=(a∫^xf(t)dt)’=f(x), x [a,b] #1)Пусть f(x)-непрерывная действительнозначная ф-ция на отр.[a,b], x0– фиксир.т.на [a,b].Согласно def ф-ции,сво-ву аддит.и th о среднем для¥ x [a,b] x≠x0 F(x)- F(x0)= a∫^xf(t)dt- a∫^x^0f(t)dt= x0∫^xf(t)dt= f(ξ)(x-x0),где ξ-точка отр[x0, x].Для ε>0 сущ. такоеδ>0,что из условий x [a,b] и |x-x0|<δ вытекает|f(x)-f(x0) |<ε,учитывая |ξ-x0|≤|x-x0|,x≠x0 По def производной для¥ x [a,b] 2)Для непрер комплекснозначной f(x)=u(x)+iv(x) th о среднем(справедлива только для непр ф-ций с действ значениями)применяется отдельно для u(x) и v(x).Непрерыв-ть этих ф-ций явл следствием непрер-ти f(x) и неравенств x, x0 [a,b] F(x)- F(x0)= x0∫^xf(t)dt= x0∫^xu(t)dt+i x0∫^xv(t)dt=u(ξ1)(x-x0)+iv(ξ2)(x-x0), ξ1, ξ2-точки отр с концами x0 и x.Если x→ x0,то необходимо ξ1→ x0, ξ2→ x0 Следствие 1 Если f(x) непрерывна на отр.[a,b],то ф-ция F(x)= F=x∫^bf(t)dt имеет производную в каждой т.этого отр.(как правая и левая произв в т a,b),при этом F’(x)=(x∫^bf(t)dt)’=-f(x), x [a,b] Следствие 2 Если f(x) непрерывна на отр.[a,b],а ф-цииφ(x) и ψ(x)имеют производные в каждой т некоторого промежуткаJ R, φ(x) и ψ(x) [a,b] для x J,то g(x)= φ(x)∫^ψ(^x^)f(t)dt имеет производную в каждой т.промежутка J и g’(x)=(φ(x)∫^ψ(^x^)f(t)dt)’=f(ψ(x))ψ’(x)-f(φ(x)) φ’(x) #Используем th2 и ф-лу производной сложной ф-ции g’(x)=(а^ψ^(x)f(t)dt- а∫ ^φ^(x)f(t)dt)’=f(ψ(x))ψ’(x)-f(φ(x))	10. Связь поняий интегрируемости и существования первообразной функции на отрезке 1) Ф-ция может быть интегрируема на отрезке,но не иметь первообразной # Если ф-ция сущ. На промежутке, то она не имеет разрыва 1 рода и неустанимых разрывов f(x)={0, x=0 {1, x≠0 f(x) не имеет первообразной по следствие из теор. Лагранжа f(x) имеет разрыв 1 рода и ограничена => f(x) интегрируема # 2) Ф-ция может быть не интегрируема,но иметь первообразную # F(x)= {x^(3/2)*sin(1/x), x>0 {0, x=0 f(x)=F’(x)= {3/2*x^(1/2)*sin(1/x)-x^(3/2)*cos(1/x)*(1/x^2), x>0 {lim [ (x^(3/2)*sin(1/x))/x ] =0, x=0 x→0+0 На [0,1] ф-ция имеет производну f(x) имеет первообразную f(x) при переходе к 0 становится неограниченной, т.е. не интегрируема # 3) f(x) не являясь непрерывной, является интегрируемой и имеет первообразную # можно применить ф-лу Ньютона-Лейбница F(x)= {x^2*sin(1/x), x>0 {0, x=0 f(x)=F’(x)={2xsin(1/x) – cos(1/x), x>0 {lim [ (F(x) – F(0))/x ] =0, x=0 x→0+0 Ф-ция на [0,1] непрерывна лишь в точках х,принадлежащих (0,1], имея в точке х=0 разрыв 2-ого рода #		12 Формулы инт. по частям, замена переменно при интегр на отрезке ВНИМАНИЕ ∫ - опр интеграл. Пределы [a,b] y=u(x) y=v(x) на [a,b] имеют производные u` и v` ∫u(x)*v`(x)dx = u(x)*v(x) - ∫v(x)*u`(x)dx # (u(x)*v(x))` = (u(x)*v`(x) + v(x)*u`(x)) ∫(u(x)*v(x))`dx = u(x)*v(x)| ∫u(x)*v`(x)dx + ∫u`(x)*v(x)dx = u(x)*v(x)| ∫u(x)*v`(x)dx= u(x)*v(x)| - ∫u`(x)*v(x)dx # Замена переменной y=f(x) непрерывна на [a,b] g(t) € [a,b] g(גּ)=a; g(ß)=b ∫f(x)dx (пред [a,b]) = ∫f(g(t))*g`(t)dt (пред [גּ,ß]) # y=φ(x) φ`(x) = f(x) ∫f(x)dx= φ(b) - φ(a) g(t) непрерывна на отрезке I и имеет первооб (непрерывна) φ(g(t)) определена на отрезке I φ имеет пр-ную g имеет пр-ную непр на I ↓↓↓ (φ(g(t)))` = φ`(g(t))*g`(t) = f(g(t))*g`(t) => => ∫f(g(t))*g`(t)dt = φ(g(ß)) – φ(g(גּ)) = φ(b) – φ(a) ∫f(x)dx (пред [a,b]) = ∫f(g(t))*g`(t)dt (пред [גּ,ß]) #
		15. Виды множеств координатного пространства Внутренняя точка множества – принадлежащая некоторому множеству с некоторой окрестностью Граничная точка – точка, в любой области которой попадают как точки множества Е, так и не принадлежащие этому множеству точки Открытое множество – мн-во, все точки которой внутренние. Р0(X0,Y0) – предельная точка мн-ва, если в любой окрестности есть точки мн-ва Е, отличные от точки Р0(X0,Y0) Замкнутое мн-во – если оно содержит все свои предельные точки. Дополнение – мн-во, состоящее из всех точек, кроме точек мн-ва Е: R^2\E Теор.1 Мн-во Е является замкнутым, ↔ когда его дополнение открыто. #(=>) Пусть М-замкнутое множество. Рассмотрим любую точку, принадлежащую Rn\M, она не принадлежит М, тогда она не является его предельной. Тогда существует такая её окрестность, в которой нет точек М, а значит все точки, которые эта окрестность содержит, принадлежат Rn\M, т.е. точки – (<=) Пусть Rn\M открытое мн-во. Рассмотрим любую точку пространства Р, предельную для М. В любой окрестности точки есть точки мн-ва М, т.е. нет такой окрестности, не содержащей точек М, тогда нет такой окрестности этой точки, содержащей лишь точки Rn\M, т.е. эта точка не принадлежит Rn\M, тогда она принадлежит М, тогда М замкнутое мн-во по определению. # Е – ограниченное мн-во ó Ξh>0¥P (P€E=>|P|≤h) Область – мн-во D в R^2 или R^3называется областью, если: 1) открыто 2) любые 2 точки этого мн-ва можно соединить путём, принадлежащим этой области Теор.2 Любые 2 точки области можно соединить ломаной, все звенья которой параллельны корд. осям, а все точки принадлежат области. #Рассмотрим обасть Е и возьмём две любые точки P и S. Их можно соед. путём (X1(a),…,Xn(a))=P (X1(b),…,Xn(b))=S Предположим, что P и S нельзя соед. ломаной, звенья которой параллельны осям, чтобы ломаная принадл. Е. Разобьём [a,b] пополам. Хотя бы одна половина так же не поддаётся замене на ломаную. Повторяем так бесконечное кол-во раз. Получим, что существ. Хотя бы одна точка С такая, что отрезок [α,β] её содержащий нельзя заменить на ломаную. A=X(C) принадлежит Е => Ξε >0 ¥ P€Rn (ρ(P,A)<ε =>P€E) Рассмотрим [α,β] такой что ρ(x(α), x(β))<ε Соединим x(α) с А ломаной и точку x(β) с А ломаной. Тогда x(α) можно соединить с x(β) ломаной. Получим противоречие => предположение неверно # Путь – отображение отрезка [a,b] Такое, что X(a)=(X1(a),…,Xn(a)) - начало пути, X(b)=(X1(b),…,Xn(b)) – конец пути, X1(t),…,Xn(t) – непрерывная ф-ия Знак Ξ означает «существует»	16. Сход-ть послед-ей точек координатного про-ва. {pn}→p0 lim pn= p0 ε>0 n0 n(n> n0 |pn-p0|< ε (по принципу Сэндвича) {yn}→y0 {xn}→x0 {pn}→p0 Ходимость последовательностей точек координатного пространства означает покоординатную сходимость Пусть z=f(x,y) явл непрерывной на E. z=f(p)-ф-ция точек корд плоск-ти Th.1 Если ф-ция непрер на замкнутом и ограниченном множ-ве корд простр-ва,то она ограничена на этом множ-ве #Какая бы ни была т p0 E и сходящ к ней послед точек этого мно-ва{pn}→ послед соотв знач фции сход к f(p0) {pn}→p0 {f(pn)}→f(p0) p0 ε>0 δ>0 p(p0 E p E |pn-p0|<δ |f(p)-f(p0)|< ε E-огранич,если не выходит за пределы некоторого круга# Th.2 Если ф-ция непрер на замкнутом и ограниченном множ-ве корд простр-ва,то она достигает на нём своих точной верхней и нижней граней. z=f(p) p E p(p E f(p) |≤| ) ε>0 ( E f() > - ε) # ε =1 =p1 p1 E ≥f(p1)> -1 ε =1/2 =p2 p2 E ≥f(p2)> -1/2 ε =1/n =pn pn E ≥f(pn)> -1/n (огранич по th Б-В) p0 E Исп непрер {f(p0 )} → #
17. Определение непр. функции на множестве координатного пространства. Свойства непр. функций на замкнутых и ограниченных множествах (Т. Вейерштрасса, Т. Кантора) z=f(x,y) z=f(p) p(x,y) p € E При любой P0€ E {Pn}→P0=>{f(Pn)}→f(P0) Ф-ия называется непрерывной на Е, если для любой точки множества и сходящейся к этой точке Pn этого множества f(Pn)→f(P0) ¥P0 ¥ ε>0 Ξδ>0 ¥P(P0€ЕΛP€EΛ|P-P0|<δ =>|f(P)-f(P0)|<ε Е огр., если не выходит за пределы текущего шага Теор.1 Если ф-ия непрерывна на замкнутом и огр. множестве корд. пр-ва, то она ограничена Теор.2 Если функция непрерывна на замкнутом и огр. мн-ве корд. пр-ва, то она достигает на этом мн-ве своих точных верхних и нижних граней. # z=f(P) на мн-ве Е замкнутое и огр. мн-во. ž=sup f(x) (предположим, что z – непрерывна). ¥P (P€E=>f(P)≤ž) Λ¥ ε>0 Ξ Þ (Þ€EΛf(Þ)>(ž-ε)) ε=1 ему соотв. Þ=P1 P1€EΛž≥f(P1)>ž-1 ε=1/2 ему соотв. Þ=P2 P2€EΛž≥f(P2)>ž-1/2 и тыды и тыды ε=1/n ему соотв. Þ=Pn Pn€EΛž≥f(Pn)>ž-1/n {Pnk}→P0 предельная точка, а замкнутое мн-во содержит все пред. точки {f(Pnk)}→f(P0) {f(Pn)}→ž => f(P0)}=ž z=f(P) – равн. непр. на мн-ве Е ¥ ε >0 Ξδ>0 ¥P ′ ¥ P ′′ (P ′ €EΛ P ′′ €EΛ| P ′- P ′′|< δ => |f(P ′)- f(P ′′)|<ε) Теор. Кантора: если ф-ия непр. на замкнутом и непр. мн-ве, то она равн. непр. на нём # Пусть y=f(x) не равномерно непрерывна на М, тогда Ξε>0¥δ>0 ΞP’ ΞP’’ (P€МΛP’’€ MΛ ρ(P’,P’’)<δΛ|f(P’)-f(P’’)|≥ε) Рассмотрим последовательность: δ1=1, →P’1, P’’1 ρ(P’1, P’’1)<1 Λ|f(P’1)- f(P’’1)|≥ε δ2=1/2, →P’2, P’’2 ρ(P’2, P’’2)<1/2 Λ|f(P’2)- f(P’’2)|≥ε δn=1/n, →P’n, P’’n ρ(P’n, P’’n)<1/n Λ|f(P’n)- f(P’’n)|≥ε Выделим из последовательностей {P’n} и {P’’n} сходящиеся подпоследовательности {P’nj} и {P’’nj} (все последовательности из точек <не могу прочесть> мн-ва М) {P’nj}→ P ←{P’’nj} из условия ρ(P’n, P’’n)<1/n, тогда {f(P’nj)}→ f(P) ←{f(P’’nj)} из непрерывности, но |f(P’nj)- f(P’’nj)|≥ε ó¥ ε/2 >0 ΞP0’ ¥P (P≥P0’=>|f(P’nj)- f(P)|<ε/2) ¥ ε/2 >0 ΞP0’’ ¥P (P≥P0’’=>|f(P’’nj)- f(P)|<ε/2) из 2 последних строк следует ¥P (Р≥max (P’0, P’’0))=> |f(P’’nj)- f(P)| + |f(P’nj)- f(P)|<ε |f(P’’nj)- f(P’nj)| ≤ |f(P’’nj)- f(P)| + |f(P’nj)- f(P)|<ε Получено противоречие => предположение неверно # Знак Ξ означает «существует»
	22. Теорема о существовании и дифференцировании функции, заданной неявно (2 теоремы). 1.() Пусть F(x1,…,xn,u) – функция, дифференцируемая в некоторой окрестности т. а(а1,…,an,b); непрерывна в т. а, . Тогда существует явная зависимость U=f(x1,…,xn) в некоторой окрестности т. а’(a1,…,an), отвечающая условию: F(x1,…,xn,f(x1,…,xn))=0 непрерывная в этой окрестности. # 1) Рассмотрим некоторую окрестность т. а в которой F(x1,…,xn,u) непрерывна,а в сохраняет знак. Назовем ее U 2) Через точку а проведем прямую, перепендикулярную пространству Х. 3) Для определенности пусть < 0, тогда возьмем точку из U и 2 перпендикуляра К1(а1,…,an,b+ΔU´) и К2(а1,…,an,b- ΔU´´). В них F(К1) < 0 и F(К2) > 0. Рассмотрим окрестности одинакового радиуса этих точек, в которых F(x1,…,xn,u) сохраняет знак (они существуют т.к. F(x1,…,xn,u) непрерывная функция). Назовем эти окрестности U1 и U2, а их проекцию на пространство Х - U´. 4) Рассмотрим любую точку (x1,…,xn) окрестности U´. Проведем через нее перпендикуляр к пространству Х. На этом перпендикуляре F=F(U), причем F меняет знак, монотонна и непрерывна существует единственное значение U, при котором F(U)=0, т.е. любой точке (x1,…,xn) окрестности U´ соответствует единственное значение U, отвечающее неявному заданию функции существование доказано. # (в этот рисунок влюбляешься с первого взгляда… Правда?)	23. Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением. Пусть F(x,y,z)=0 F(x0,y0,z0)=0 В окр. т. (x0,y0,z0) grad F(x0,y0,z0) Дифференцируема Тогда существует касат. пл-ть в т. (x0,y0,z0) : # Пусть в т. (x0,y0,z0) (x-x0)= (x-x0)= # Пример: - ур. касат. пл-ти к сфере.
			28.2ой дифференциал ф-ции как квадратичная ф-ма.Достаточное услов экстремумов ф-ций нескольких переменных. Пусть u=f(x1,…,xk) имеет в окр-ти т а непрерывную частную производную до 2ого порядка по всем переменным,тогда a-стационарная т.(частные производные первого порядка=0) λ1,…,λk-собств числа м-цы ξ1^2+...+ξk^2=|x-a|^21)все λ1,…,λk >0, λmin >0 если λmin >0 в окр т a[ ]>0 если все λ м-цы>0,то в т a у ф-ции строгий локальный min 2)все λi<0 если все λ м-цы<0 в окр т a[ ]<0 если все λ м-цы в стацион т. a>0,то в т a у ф-ции строгий локальный max 3) λ1>0, λk <0 а)вектор приращения x-a (ξ1,0…0) ξ1^2=|x-a|^2Если произвести смещение вдоль специального вектора приращ,тогда f(x)-f(a)>0(возрастание) б) вектор приращения x-a (0…0, ξk) Если произвести смещение вдоль специального вектора приращ,тогда f(x)-f(a)<0(уменьш).Тогда в стац т а экстремума нет.4) λ1=0 вектор приращения x-a (ξ1,0…0) f(x)-f(a)= о( |x-a|^2) Вывод: Дана дважды дифференцируемая ф-ция в окр стац.т,если второй дифференциал в стац точке является:1) положительной квадратичной формой,то в т. А строгий локальный минимум;2)отриц квадратичной ф-мой,то строгий локальный максимум;3)если знакопеременной,то экстремума нет;4)если неотриц/неполож вырожд,то ничего сказать нельзя
2.(о dif) (продолжение 22 билета) Пусть F(x1,…,xn,u) – функция, дифференцируемая в некоторой окрестности т. а (а1,…,an,b); F, непрерывны в т.а, . - непрерывные частные производные. Тогда U=f(x1,…,xn) – дифференцируемая функция, причем # Рассмотрим f(x1,…,xn) и f(x+Δх1,х2…,xn) F(x1,…,xn,f(x1,…,xn))=0 и F(x1+Δх1,x2,…,xn,f(x1+Δх1,x2…,xn))=0 0 = ΔF = Например Δх1>0 Δf<0 частные производные непрерывны и ограничены Дифференциал: #

Дата добавления: 2015-09-29