1. Линейное пространство R называется n мерным если в нём существует n линейно независимых векторов, а любые из (n+1) линейно зависимые. Размерность у пространства называется количество в нём

1. Линейное пространство R называется n мерным если в нём существует n линейно независимых векторов, а любые из (n+1) линейно зависимые. Размерность у пространства называется количество в нём линейно независимых векторов. Любой вектор x линейного пространства может быть представлен и при том единственным способом в виде линейной комбинации базисных векторов. Если система e1,e2,e3 это система линейно независимых векторов в пространстве и любой вектор линейного выражается через данный вектор, то пространство является n а вектор e1,e2,e3 базис данного векторного линейного пространтва.

2. Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину, т.е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая - за конец. Линейными операциями называются операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

3. Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол между не определен и скалярное произведение по определению полагают = 0.

Для любых векторов a, b и c справедливы следующие свойства скалярного произведения:

1. свойство перестановочности сомножителей a*b=b*a;

2. сочетательное свойство ( * a) * b = * (a * b) или, где - произвольное действительное число;

3. свойство распределительности суммы векторов a *(b+ c)=a*b +a*c

4. скалярный квадрат вектора всегда не отрицателен вектора a, a >_0, причем векторы a,a =0 тогда и только тогда, когда вектор a нулевой. a*a=/a/²

5. a*b=0, если a перпендикулярен, и, обратно a перпендикулярен b, если a*b=0 и a не =0, b не =0.

4. Угол между векторами — это угол между направлениями этих векторов (наименьший угол).

По определению, угол между двумя векторами находится в промежутке [0°; 180°].

5. Векторы a и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Векторы a и b называются ортогональными, если скалярное их произведение =0.

6. Векторы называются линейно зависимыми, если существуют не все равные нулю, для которых имеет место

7. Векторное произведение вектора a на вектор b называется вектор a*b, который определяется 2 –мя условиями:

1. если a и b коллинеарные, то их векторное произведение равно нулевому вектору;

2. если a и b не коллинеарные, то вектор c направлен перпендикулярно к a и b и притом так, что система ориентирована так же, как данная система координат. Длина вектора c равна:

Где между a и b, т.е. длина c равна площади параллелограмма, построенного a b.

т.e. длина (модуль) векторного произведения векторов a и b равна произведению длин (модулей) этих векторов на синус угла между ними. Иначе говоря: длина (модуль) вектора [ a, b ]численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.

Свойства векторного произведения.

I. [ a * b ] = – [ b * a ].

II. [a * b ] = [ a * b ].

III. [ a * b + c ] = [ a * b ] + [ a * c ].

8. Смешанным произведением векторов a, b и c называется число-скаляр, равное скалярному произведению вектора a*b на вектор c: .

Результат смешанного произведения – объем параллелепипеда, образованного векторами. Свойства: 1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке сомножителей: 2. Смешанное произведение не изменится при перемене местами векторного и скалярного произведения: 3. Смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей: 4. Смешанное произведение трех ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарные: Три вектора называются компланарными, если результат смешанного произведенияравен нулю.

9. Пространство R_n , в которой введено понятие по формуле скалярного произведения, называется евклидовым n-мерным пространством.

Для скалярного произведения в действительном и комплексном пространстве справедливо неравенство Буняковского.

10. Для вектора x и y в пространстве R_n называют ортогональный, если их скалярное произведение равно нулю:

11. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

Виды матриц:

· Квадратная матрица - если m = n когда число строк = числу столбцов.

· Нулевой – если все элементы матрицы = 0.

· Главной диагональю квадратичной матрицы - упорядочная совокупность элементов.

· Квадратичная матрица - наз. Диагональной, если не 0 –ми является только элементы гл. диагонали.

· Единичной матрицей – диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны = 0.

12. Действия над матрицами:

· Сложение матрицы - сумма матриц А и В – одинакового размера, называется матрица С того же размера каждый которого равен сумме соответствующих элементов матриц А и В.

· Умножение матрицы на число – умножение матрицы на действительное число называется матрица, каждый элемент которого получен умножением, соответствующего элемента матрицы А на число альфа.

· Св-во операций суммирование и произведение матрицы на число.

13. Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:

n=2 A det A= a₁₁* a₂₂ - a₁₂ *a₂₁

При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.

Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

n =3 A

14. Минором некоторого элемента определителя называется определитель,получаемой из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на -1 в степени Р, где Р - сумма номеров строки и столбца, на пересечение которых расположен этот элемент. Алгебраическое дополнение элемента обозначается такой же прописной буквой, что и сам элемент.

15. Определители n − го порядка вычисляются с помощью метода понижения порядка - по формуле det A =∑ j =1 naijAij (i фиксированно) --- разложение по i −й строке.

Из этой формулы и второго свойства определителей - det AT =det A, следует, что верна также формула разложения по j столбцу det A =∑ i =1 naijAij (j фиксированно).

16. Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца или строки на их алгебраическое дополнение. 17. Матрица B называется обратной для матрицы A, если для них выполняется соотношения А*В=В*А=Е. Для обратной матрицы принято обозначение А в -1 степени. Обратной матрицей А называется матрица А в (-1) степени, есливыполняется условие: detA - это определитель составленный из коофициентов матрицы А a12, a2n – это алгебраические дополнения к элементам матрицы. Обратная матрица может быть найдена единственным способом, для неё выполняется соотношение A*A(-1)=A(-1)*A=E, она очевидна но не для всех, она существует если определитель матрицы А отличен от нуля detA=\0. 18. Элементарные преобразования матрицы
Элементарными преобразованиями матрицы называют: 1) умножение какой-нибудь строки (столбца) на отличное от нуля число; 2) прибавление к какой-нибудь строке (столбцу) другой ее строки (столбца), умноженной на произвольное число; 3) перестановку местами любых двух строк (столбцов). Вычисление обратной матрицы.
Если с помощью элементарных преобразований строк квадратную матрицу A можно привести к единичной матрице E, то при таких же элементарных преобразованиях над матрицей E получим А в степени -1. Пример: 19. Рангом матрицы называется число ненулевых строк в ступенчатом виде. Ранг матрицы A обозначается r Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях и не зависит от способа приведения матрицы A к ступенчатому виду. 20. Правило Крамара (если система неоднородна, т.е. свободные члены не равны и не равны 0): если d то система имеет одно единственное решение, которое можно найти по формулам Крамара . В этих формулах это определители, полученные из основного определителя заменой соответствующего столбца на столбец свободных членов. Основной определитель системы равен 0, а хотя бы один из определителей то система не имеет решений. Определитель равен 0 , бесконечное множество решений. 21. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система S вида , где коэффициенты при неизвестных, свободные члены ( , заданные числа). 22. Метод Гауса - это метод исключения неизвестных. Метод Гаусса нужно смотреть всегда, не пришла ли система к виду 0x1+0x2..+0xn=b, b не равно 0.(не имеет решений). Далее приводим систему к ступенчатому виду и смотрим, не появилось ли это уравнение. И приводим систему к ступенчатому виду. Если система принимает вид треугольника, совпадает с числом неизвестных, то система имеет одно единственное решение . Если система к треугольному виду не привилась т.е остаётся ступенчатый вид, то она имеет бесконечное множество решений. Для однородной системы линейных уравнений при решении методом гаусса если число уравнений меньше числанеизвестных то система имеет не нулевое решение. 23. Система однородных уравнений всегда имеет нулевое решение. Если ранг матрицы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений. Для того, чтобы система имела ненулевые решения, необходимо, чтобы ее определитель был равен нулю.

24. Матрицу А называют ступенчатой, если:

А) любая ее строка имеет хотя бы один отличный от нуля элемент,

Б) первый отличный от нуля элемент каждой ее строки, начиная со второй, расположен правее неравного нулю элемента предыдущей строки.

Метод Гаусса является эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений. Он состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему ступенчатого вида, которая легко решается и исследуется. Применение метода Гаусса не зависит ни от числа уравнений, ни от числа неизвестных в системе.

25.

26. Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений в случае двух или трех неизвестных Если каждое решение линейного уравнения относительно двух неизвестных ax+by+c = 0, в котором коэффициенты при неизвестных не равны нулю одновременно, изображать точкой плоскости с координатами (x, y), то множество всех таких точек образует некоторую прямую. Поэтому множеству решений системы

из двух таких уравнений соответствует множество точек пересечения двух прямых. Система несовместна, если прямые параллельны; имеет

единственное решение, если прямые пересекаются; имеет бесконечное множество решений, если прямые совпадают.Множество точек пространства, соответствующих решениям ли-нейного уравнения относительно трех неизвестных ax+by+cz+d = 0, в котором коэффициенты при неизвестных не равны нулю одновременно, является некоторой плоскостью Система из трех таких уравнений определяет множество точек пересечения этих плоскостей. Возможные при этом случаи изображены на предыдущем рисунке.

27. Ненулевые решения однородной системы уравнений Система уравнений называется однородной, если все ее правые части равны нулю. Однородная система всегда имеет решение, например, нулевую строку. Поэтому интересно выяснить, когда имеются и ненулевые решения.

Теорема 5 (о ненулевых решениях однородной системы уравнений). Если число уравнений однородной системы линейных уравнений меньше числа неизвестных, то существуют ненулевые решения. Доказательство. Приведем данную однородную систему к ступенчатому виду. Разумеется, она останется однородной. Ясно, что число главных неизвестных не может превысить числа строк. Следовательно, существуют свободные неизвестные, что обеспечивает существование ненулевых решений.

28.

29.

30. Линейный оператор A действует из n-мерного линейного пространства X в m-мерное линейное пространство Y. В этих пространствах определены базисы e = {e1,..., en} и f = {f1,..., fm}. Пусть A(ei) = a1i·f1 + a2i·f2 +...+ ami·fm — разложение образа i-го базисного вектора базиса e пространства X по базису f пространства Y, i = 1, 2,..., n. Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f, A = {aij}= {A(ej)i}:

Координаты образа y = A(x) и прообраза x связаны соотношеннием: y = A

31.

32.

33.

34. Формула линейного функционала.

35.

36.

37

38.

39. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.

Доказательство критерия Сильвестра основано на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Для положительной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры её матрицы были положительны.

1. «Необходимо.» Имеется положительно определённая квадратичная форма. j-ый диагональный элемент положителен, так как k(x)>0 в том числе и для вектора со всеми нулевыми координатами, кроме j-ой. При приведении матрицы к каноническому виду не будет нужно переставлять строки, и знаки главных миноров матрицы не изменятся. А в каноническом виде диагональные элементы положительны, и миноры положительны; следовательно, (так как их знак не менялся при преобразованиях), у положительно определённой квадратичной формы в любом базисе главные миноры матрицы положительны.

2. «Достаточно.» Имеется положительность миноров. Первый минор определяет знак первого диагонального элемента в каноническом виде. Знак отношения Mi+1/Mi определяет знак i+1-ого элемента в диагональном виде. Так получим, что в каноническом виде все элементы на диагонали положительные, то есть квадратичная форма определена положительно.

---

Дата добавления: 2015-09-30