Определитель матрицы, детерминант [determinant] — число, соответствующее квадратной матрице и полученное путем ее преобразования по определенному правилу. Обычное обозначение (для матрицы A): det A.

1. Определитель матрицы

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ, ДЕТЕРМИНАНТ [determinant] — число, соответствующее квадратной матрице и полученное путем ее преобразования по определенному правилу. Обычное обозначение (для матрицы A): det A. Напр., определитель (второго порядка) матрицы

det A = a11a22 — a12a21.

Свойства определителей:

Определитель, имеющий строку, представленной суммой двух строк, равносилен сумме определителей

Определитель, имеющий нулевую строку, равен нулю

Определитель, имеющий две пропорцинальных строки, равен нулю

Определитель единичной матрицы равен единице

Опредилетель транспонированной матрицы равен определителю не транспонированной матрицы

Определитель не изменится, если из строки вынести множитель

Определитель не изменится, если одну из его строк домножить на число и добавить к другой cтроке

При перестановке двух строк определителя, определитель меняет знак

Все свойства сформулированые для строк, верны и для столбцов.

2. Определители. Способы их вычисления.

Способ 1 (Разложение по i-ой строке

Суть данного метода в следующем:

Поочередно берутся элементы выбранной строки.

Затем из определителя вычеркиваются (мысленно) выбранная строка и столбец, выбранного элемента

Вычисляется определитель, уже меньшего порядка

Полученное число домножается на выбранный элемент и коэфициент

Далее все полученные значения суммируются.

Способ 2 (Разложение по j-ому стролбцу)

Аналогичен способу 1, в силу свойства 5.

Транспонируем матрицу

Находим ее определитель, раскладывая по j строке

Способ 3 (Привидение к треугольному виду)

Самый удобный и быстрый способ.

План действий:

Рассматриваем первый столбец, перестановкой строк и столбцов матрицы (если есть необходимость) добиваемся того чтобы элемент, стоящий в первой строке и первом столбце матрицы, был не нулевым.

Домножая первую строку на соответствующие коэфициенты, зануляем все элементы первого столбца, стоящие ниже первой строки.

Рассматриваем второй столбец, перестановкой строк и столбцов матрицы, кроме первого столбца и первой строки, добиваемся того чтобы элемент, стоящий во второй строке второго столбца, был не нулевым.

Домножая вторую строку на соответствующие коэфициенты, зануляем все элементы второго столбца стоящие, ниже второй строки.

Далее продолжаем эти действия до (n-1)-го столбца, не перемещая столбцы и строки предыдущих шагов.

Примечание: при перестановке строк и столбцов следует менять знак опеределителя.

Если на некотором К-ом шаге не удается получить не нулевое значение элемента, стоящего в К-ой строке и К-ом столбце, то ситуция выглядит следующим образом

иначе говоря, определитель такой матрицы равен 0.

Если подобной проблемы не возникло, то матрица имеет вид

и ее определитель равен произведению элементов стоящих на главной диагонали.

3. Минор матрицы, алгебраическое дополнение, транспонированная матрица и ее свойства.

Минор матрицы A ― определитель квадратной матрицы порядка k (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице A на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами.

Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то минор называется главным, а если отмечены первые k строк и первые k столбцов ― угловым или ведущим главным.

Дополнительный минор элемента матрицы n-го порядка есть определитель порядка (n-1), соответствующий той матрице, которая получается из матрицы путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимой подсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.

Например, есть матрица:

Предположим, надо найти дополнительный минор М₂₃. Этот минор — определитель матрицы, получающейся путем вычеркивания строки 2 и столбца 3:

à
Получаем М₂₃ = 13

Алгебраическое дополнение:

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется число а_ij матрицы А называется число

Транспонированная матрица — матрица AT, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.

Свойства транспонированной матрицы:

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.

Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.

Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц

При транспонировании можно выносить скаляр

Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

4. Матрицы. Виды матриц. Действия над ними.

МАТРИЦА [matrix] — система элементов (чисел, функций и других величин), расположенных в виде прямоугольной таблицы. Таблица имеет следующий вид:

Элемент матрицы в общем виде обозначается aij; это показывает, что мы имеем число, расположенное на пересечении i-й строки и j-го столбца (разумеется, i и j можно заменить любой другой буквой, но такое обозначение — наиболее распространенное). Соответственно, матрица A может обозначаться [aij].

Виды матриц:
Матрица, у которой всего одна строка, называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E.

Действия над матрицами:

1. Равенство матриц. Если все элем. Матрицы А равны всем элем. Матрицы В, то а₁₁=в₁₁ и т.д.

2. Транспонирование.

3. Сложение матриц

4. Умножение матрицы на число.

5. Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB

5.Сложение матриц. Свойства сложения. Умножение матриц. Свойства умножения.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу, например,

Размеры слогаемых матриц должны быть равны!!

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).

Умножение матриц.

Умножение матриц (Произведение матриц):

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы Аm×n на матрицу Вn×p, называется матрица Сm×p такая, что

сik = ai1 × b1k + ai2 × b2k +... + ain × bnk,

т. е. находиться сумма произведений элементов i - ой строки матрицы А на соответствующие элементы j - ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А × Е = Е × А = А, где А квадратная матрица, Е - единичная матрица того же размера.

Свойства умножения матриц:

Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ≠ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких - либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

А × Е = Е × А = А

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1. А × (В × С) = (А × В) × С;

2. А × (В + С) = АВ + АС;

3. (А + В) × С = АС + ВС;

4. α × (АВ) = (αА) × В;

5. А × 0 = 0; 0 × А = 0;

6. (АВ)Т = ВТАТ;

7. (АВС)Т = СТВТАТ;

8. (А + В)Т = АТ + ВТ;

6. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы. Доказательство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Нахождение обратной матрицы возможно по методу:

С помощью матрицы алгебраических дополнений

C^т — транспонированная матрица алгебраических дополнений;

7. Определение решения СЛАУ. Преобразование системы уравнений не меняющее множество решений системы.

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Решение СЛАУ

Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица A называется основной матрицей системы, b — столбцом свободных членов.

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

Далее подставляем по очереди в исходное выражения, получая элементы.

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E5%F2%EE%E4_%CA%F0%E0%EC%E5%F0%E0

Дата добавления: 2015-09-30