Понятие вектора, длина вектора:Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину, т. е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за

Понятие вектора, длина вектора: Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину, т. е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая — за конец. Длина вектора называется его модулем и обозначается символом .

Равенство векторов: Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом.
Т.е. существует такой параллельный перенос, при котором начало и конец одного вектора совмещается с началом и концом другого вектора соответственно.Теорема:Если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны.

Доказательство:Пусть AB и CD – одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине. Параллельный перенос, переводящий точку A` в точку A, совмещает луч A`B` с лучом AB, потому что они сонаправлены. Отрезка AB и A`B` равны, поэтому точка B совмещается с точкой B`. Значит, параллельный перенос переводит вектор A`B` в вектор AB. Значит векторы равны.

Линейные операции над векторами:Суммой a + b векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b, если начало вектора b совпадает с концом вектора а. Такое правило сложения векторов называют правилом треугольника. Разностью а – b векторов а и b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор а. Произведением ka вектора а на число k называется вектор b, коллинеарный вектору а, имеющий модуль, равный |k||a|, и направление, совпадающее с направлением а при k>0 и противоположное а при k<0.

Базис на плоскости и в пространстве: Базисом на плоскости называются два любых линейно независимых вектора. Базисом в пространстве называются три любых линейно независимых вектора.

Ортогональный базис: Базис евклидова пространства называется ортогональным, если при .

Линейные операции над векторами в координатной форме: При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, т.е. если . При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, т.е. если .

Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов и их свойства и приложения: Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними. Обозначение: .Свойства скалярного произведения.1)Скалярное произведение подчиняется закону коммутативности:

, .2)Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов нулевой или векторы ортогональны: или или .3)Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: .4) . Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор , который удовлетворяет следующим трем условиям:1) и ;2) тройка векторов является правоориентированной;3) . Свойства векторного произведения.1)Антикоммутативность: , .2)Условие коллинеарности векторов: .3) Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на его сторонах. Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называется скалярное произведение первого вектора навекторное произведение второго вектора на третий и обозначается .

Угол между векторами:

Условия ортогональности и коллинеарности двух векторов:Два вектора a и b ортогональны (перпендикулярны), если ихскалярное произведение равно нулю. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны.Т.е.если , то .

Компланарность: Три вектора называются компланарными, если они лежат на параллельных плоскостях или на одной плоскости. Свойства компланарности: Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов не компланарна.Смешанное произведение компланарных векторов . Это — критерий компланарности трёх векторов.Компланарные векторы - линейно зависимы. Это - тоже критерий компланарности.Существуют действительные числа такие, что для компланарных , за исключением случаев или . Это - переформулировка предыдущего свойства и тоже критерий компланарности.В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора образуют базис. Т.е. любой вектор можно представить в виде: . Тогда будут координатами в данном базисе.

Ур.прямой: Уравнение , где k=-A/B, называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k. Уравнение вида Ах+Ву+С=0,при произвольных коэффициентах А, В, С (А и В одновременно не равны нулю) определяют некоторую прямую в прямоугольной системе координат. Данное уравнение называется общим уравнением прямой. Уравнение прямой «в отрезках»: . Уравнение через 2 точки:

.

Расстояние от точки до прямой: Расстояние точки A (x ₁, y ₁) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле

Точка пересечения прямых: точка, в которой пересекаются две прямые, называется точкой пересечения этих прямых. Другими словами, единственная общая точка двух пересекающихся прямых есть точка пересечения этих прямых.

Уравнение пучка прямых: пучком прямых наз.множество всех прямых,проходящих через заданную точку.Т.к.все прямые проходят через одну и ту же точку с координатами М0(х0,у0),то координаты этой точки удовлетворяют уравнениям этих прямых,т.е.у0=кх+в.Вычитая это равенство из у=кх+в,получим у-у0=к(х-х0)-ур.пучка прямых.

Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности: Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами. Условие параллельности прямых заключается в равенстве их угловых коэффициентов tgφ₁=tgφ₂ или k₁=k₂.Условие перпендикулярности прямых заключается в том, что произведение их угловых коэффициентов равно –1(k₁k₂=-1).

Кривые второго порядка: Алгебраической кривой второго порядка называется кривая Г, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид:Аx² + 2Вxy + Сy² + 2Dx + 2Еy + F = 0,где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю.

Окружность, эллипс, гипербола, парабола: определения, канонические уравнения и свойства:Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная. Каноническое уравнение эллипса: Свойства эллипса:1)Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b (2a>2b), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.2)Весь эллипс содержится внутри прямоугольника 3)Эксцентриситет эллипса e < 1.4)Директрисы эллипса расположены вне эллипса (так как расстояние от центра эллипса до директрисы равно а/е, а е<1, следовательно, а/е>a, а весь эллипс лежит в прямоугольнике 5) Отношение расстояния ri от точки эллипса до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная. - каноническое уравнение гиперболы. Свойства гиперболы:1)Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.2)Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями и .3) Наряду с гиперболой можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением ,для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.5)Отношение расстояния ri от точки гиперболы до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы. Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусомпараболы, а прямая – ее директрисой.Канонич.ур.: y² = 2px. Свойства параболы:1)Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.2)Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.

Плоскость: общее уравнение, понятие нормального вектора: Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида A x+By+Cz+D=0,где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.Нормальный вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на любой прямой перпендикулярной данной.

Частные случаи расположения плоскости в координатном пространстве:1. Ах+Ву+D=0-ур.плоскости,параллельной оси oz.Ур.плоскости представляет ур.ее следа.2. Ах+Cz+D=0-ур.плоскости,параллельной оси оу. Ур.плоскости представляет ур.ее следа.3. By+Cz+D=0-плоскость параллельна оси ох. Ур.плоскости представляет ур.ее следа.4. Ax+By+Cz=0-плоскость проходит через начало координат.Следы плоскости проходят через начало координат.

Угол между плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей: Угол между двумя пересекающимися по прямой c плоскостями у₁ и у₂ – это угол между двумя пересекающимися прямыми a и b, по которым плоскости у₁ и у₂ пересекаются с плоскостью, перпендикулярной к прямой c. Условие параллельности плоскостей заключается в параллельности нормалей, а условие перпендикулярности плоскостей – в перпендикулярности нормалей или равенстве нулю их скалярного произведения:

.

Прямая в пространстве: понятие направляющего вектора, каноническое уравнение прямой, общее уравнение, параметрическое уравнение: Направляющий вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или на параллельной ей прямой. Если известны координаты точки A(x0, y0) лежащей на прямой и направляющего вектора n={l; m}, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу: х-х₀\L=у-у₀\м. Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

Х=Lt+x₀

Y=mt+y₀

Z=nt+z₀, де (x0, y0, z0) - координаты точки лежащей на прямой, {l; m; n} - координаты направляющего вектора прямой.Прямая в пространстве есть пересечение двух плоскостей:

.

Понятие линейной зависимости/независимости системы векторов: Если линейная комбинация может представлять собой нулевой вектор тогда, когда среди чисел есть хотя бы одно, отличное от нуля, то система векторов называется линейно зависимой. Если линейная комбинация представляет собой нулевой вектор только тогда, когда все числа равны нулю, то система векторов называется линейно независимой.

Преобразование координат вектора при переходе к новому базису: Пусть и — два базиса в n-мерном линейном пространстве L.

Матрицей перехода от базиса к базису называется матрица C, столбцами которой являются координаты векторов в базисе :

Вектор линейно выражается через векторы обоих базисов. Тогда, если

токоординаты вектора в базисе , и его координаты в базисе связаны соотношениями

,

или

где , — матрица перехода от базиса к базису и обратная к ней; — векторы-столбцы координат вектора в соответствующих базисах.

Понятие линейного векторного пространства: Векторное (линейное) пространство - математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трехмерного пространства.Векторным пространством (над полем R или C) называют множество L, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные (комплексные) числа, удовлетворяющие следующим условиям:
1) x + y = y + x (коммутативность сложения);2)(x + y)+ z = x +(y + z) (ассоциативность сложения);3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x для любого вектора x;4) для любого вектора x существует противоположный ему вектор y такой, что x + y = 0;5) 1∙ x = x;6)α(β x)=(αβ) x (ассоциативность умножения);7)(α +β) x =α x + β x (дистрибутивность относительно числового множителя);8) α(x + y) = α x + α y (дистрибутивность относительно векторного множителя).

Базис, координаты, размерность: Базисом линейного пространства называется такая конечная упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства является линейной комбинацией этих векторов. Если существует натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов, а любая система из n + 1 вектора линейно зависима, то X называется n –мерным линейным пространством, а число n – его размерностью. Коэффициенты разложения вектора x по базису e1, e2, …, en называются координатами вектора x в этом базисе.

Подпространства линейного пространства, примеры: Непустое подмножество линейного пространства называется линейным подпространством пространства , если1) (подпространство замкнуто по отношению к операции сложения);2) и любого числа (подпространство замкнуто по отношению к операции умножения вектора на число). Пусть , , -- подпространства линейного пространства . Тогда их пересечение является подпространством в . Действительно, оно непусто (есть нулевой элемент); если , то для любого , и, следовательно, при любых имеем , т.е. .

Понятие n - мерного евклидова пространства: Множество всевозможных систем действительных (комплексных) чисел называется n-мерным действительным (комплексным) пространством и обозначается через .

Линейные операторы и их матрицы: Рассмотрим линейный оператор , действующий в конечномерном линейном пространстве , и пусть базис в . Обозначим через образы базисных векторов .Матрица

столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.

Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса: Как уже отмечалось, в пространстве Rⁿ существует множество различных базисов.

Пусть и — двабазиса в Rⁿ.

Обозначим и координаты векторов и из Rⁿ и матрицу оператора A соответственно в базисах и , а — матрица перехода от базиса к базису , т.е.

,

,

Тогда

откуда имеем — формулы преобразования матрицы линейного оператора при изменении базиса.

Норма вектора и матрицы: Пусть имеется n - мерное метрическое пространство вещественных чисел . Если для любого вектора существует число такое, что:1) , причем ;2) , где aÎ R;3) , - неравенство треугольника;то называется нормой вектора X.

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: Ненулевой вектор из одномерного подпространства, инвариантного относительно , называется собственным вектором оператора . Таким образом, собственный вектор оператора удовлетворяет условию .При этом скаляр называется собственным значением оператора .

Характеристический многочлен линейного оператора, его корни: Характеристическим многочленом оператора называется многочлен . Собственное значение оператора является корнем характеристического многочлена, т.е. . Обратно, любой корень характеристического многочлена является собственным значением оператора .

Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду: Нормальную (в частности симметричную) матрицу A можно привести к диагональному виду преобразованием подобия — A = TΛT ⁻¹.Здесь Λ = diag(λ₁,..., λ _N) — это диагональная матрица, элементами которой являются собственные значения матрицы A, а T — это матрица, составленная из соответствующих собственных векторов матрицы A, т.е. T = (v ₁,..., v _N).

Квадратичные формы: Квадратичной формой от n неизвестных называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.Обозначая коэффициент при через , а при произведении – через , квадратичную форму Q можно представить в виде

.Симметричная матрица называется матрицей квадратичной формы Q.

Критерий Сильвера положительной определенности квадратичной формы: Квадратичная форма называется положительно определенной, если для всех и из следует, что . Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы положительны. Итак, если , – главный минор первого порядка, – главный минор второго порядка.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием: правило нахождения ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму п переменных к каноническому вицу. Эго правило состоит в следующем: 1) записать матрицу данной квадратичной формы, найти ее собственные значения и п попарно ортогональных собственных векторов, пронормировать их; 2) составить матрицу из ортонормированных собственных вектор-сголбцов; 3) записать искомое ортогональное преобразование с помощью последней матрицы.

Дата добавления: 2015-09-30