Неопределённые выражения

Неопределённые выражения

Неопределённые выражения в математике, выражения, предел которых не может быть найден путём непосредственного применения теорем о пределах. Типы Н. в.:

К Н. в. относятся:

причём

причём

где e = 2,71828... — неперово число. Указанные типы Н. в. символически обозначают так:

Следует отметить, что данная функция может являться Н. в. при одних значениях аргумента и не являться таковым при других (например, выражение

не является Н. в.). Не всякое Н. в. имеет предел; так, выражение

не стремится ни к какому пределу

Нахождение предела Н. в. (в случае, когда он существует) называют иногда "раскрытием неопределённости", или нахождением "истинного значения" Н. в. (второй термин устарел). Оно часто основывается на замене данной функции другой, имеющей тот же предел, но не являющейся уже Н. в. Иногда такая замена достигается путём алгебраических преобразований.

Так, например, сокращая в выражении

числитель и знаменатель на 1— x, получаем

поэтому

Для вычисления пределов Н. в. типов 1) и 2) часто оказывается полезной теорема (или правило) Лопиталя, утверждающая, что в этих случаях

если f (x) и g (x) дифференцируемы в окрестности (конечной или бесконечно удалённой) точки x ₀, за возможным исключением самой точки x ₀, и второй предел существует. Пользуясь этой теоремой, находим, например, что

Иногда

вновь является Н. в. вида 1) или 2); тогда теорема Лопиталя может быть применена (при выполнении её условий) ещё раз и т. д. Однако это не всегда приводит к цели: например, применение теоремы Лопиталя к Н. в.

[ f (x) = e ^x + e ^-x, g (x) = e ^x — e ^-x]при x ® 0 ничего не даёт. Может также случиться, что

не существует, тогда как

типа 1) или 2) всё же существует; пример:

не существует. Мощным средством нахождения пределов Н. в. является разложение функций в ряды. Например, так как

то

Н. в. видов 3)—7) могут быть сведены к одному из видов 1) или 2). Так, например, при х ® p/2 Н. в.

вида 4) преобразуется к виду 1):

а последнее Н. в. имеет предел 0; Н. в. вида 3) приводится к Н. в. вида 1) или 2) преобразованием

где

Наконец, если через u (х) обозначить логарифм Н. в. видов 5), 6) и 7): u (x) = g (x) ln f (x), то u (х) является Н. в. вида 3), которое, как указано, сводится к Н. в. вида 1) или 2). Так как{ f (x)} ^{g ( x )} = e^{u ( x )}, то, найдя предел u (х) (если он существует), можно найти и предел данного Н. в. Например, для x ^xпри x ® 0 имеем

и, следовательно,

� 3. Монотонная варианта

34. Предел монотонной варианты. Теоремы о существовании пределов переменных, которые приводились до сих пор, имели такой характер: в предположении, что для одних вариант пределы существуют, устанавливалось существование пределов для других вариант, так или иначе связанных с первыми. Вопрос о признаках существования конечного предела для заданной варианты, безотносительно к другим переменным, не ставился.

Варианта называется возрастающей, если

т. е. если из следует Ее называют неубывающей, если

т. е. если из следует лишь Можно и в последнем

случае называть переменную возрастающей, если придать этому термину более широкий смысл.

Аналогично устанавливается понятие об убывающей в узком или широком смысле слова варианте: так называется варианта, для которой, соответственно,

так что из следует (смотря по случаю) или лишь

Переменные всех этих типов, изменяющиеся в одном направлении, объединяются под общим названием монотонных. Обычно о варианте говорят, что она монотонно возрастает или монотонно убывает.

По отношению к монотонным вариантам имеет место следующая фундаментальной важности

Теорема. Пусть дана монотонно возрастающая варианта . Если она ограничена сверху:

то необходимо имеет конечный предел, в противном же случае она стремится к

Точно так же, всегда имеет предел и монотонно убывающая варианта . Ее предел конечен, если она ограничена снизу:

в противном же случае ее пределом служит

Доказательство. Ограничимся случаем возрастающей, хотя бы в широком смысле, варианты (случай убывающей варианты исчерпывается аналогично).

Допустим сначала, что эта переменная ограничена сверху. Тогда, по теореме , для множества ее значений должна существовать и (конечная) точная верхняя граница:

как мы покажем, именно это число и будет пределом варианты

Вспомним, действительно, характерные свойства точной верхней границы [11]. Во-первых, для всех значений п будет

Во-вторых, какое бы ни взять число , найдется такой номер N, что

Так как, ввиду монотонности нашей варианты, при будет т. е. и подавно , то для этих значений номера выполняются неравенства

откуда и следует, что

Пусть теперь варианта не ограничена сверху. Тогда, сколь велико ни было бы число найдется хоть одно значение нашей

переменной, которое больше ; пусть это будет . Ввиду

монотонности варианты , для и подавно

а это и означает, что

Легко понять, что все заключения остаются в силе и для переменной, которая, лишь начиная с некоторого места, становится монотонной (ибо без влияния на предел переменной любое число первых ее значений можно отбросить).

Доказать, что последовательность (x_n), где x_n = (1 + 1/ n) ⁿ, монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность (y_n), где y_n = (1 + 1/ n) ^{n +1}, монотонно убывает и ограничена снизу. Следовательно, они имеют общий предел: .

Решение.

Согласно неравенству задачи, имеем

т. е. , а . Далее, x_n < y_n и

при n → ∞, откуда (y_n - x_n) → 0 при n → ∞.

Следовательно, .

Дата добавления: 2015-09-30