Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова

Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова

Инженерно-технический факультет

Расчетная работа №1

по математике

«Линейная и векторная алгебра»

Выполнил: студент гр. ПЗ-11

Дьячковский С.И.

Проверил: Трофимцев Ю.И.

Якутск 2011

Задача 1. Решить систему уравнений правилом Крамера, матричным способом и методом Гаусса.

1.1 Решение правилом Крамера

Преобразовываем в матричный вид.

1 1 -1 -2

3 -1 2 9

4 4 -3 -5

Вычисляем определитель

1 1 -1

∆= 3 -1 2 =3+8-12-4+9-8= -4

4 4 -3

-2 1 -1

∆₁= 9 -1 2 =-6-10-36+5+27+16=-4

-5 4 -3

1 -2 -1

∆₂= 3 9 2 =-27-16+15+36+10-18=0

4 -5 -3

1 1 -2

∆₃= 3 -1 9 =5+36-24-8+15-36=-12

4 4 -5

x=-4/-4=1 y=0/-4=0 z=-12/-4=3

1.2 Решение матричным способом

Находим союзную матрицу с алгебраическими дополнениями

а₁₁=-5 а₁₂=17 а₁₃ =8

а₂₁=-1 а₂₂=1 а₂₃=0

а₃₁=1 а₃₂=-5 а₃₃=-4

-5 17 16

А*= -1 1 0

1 -5 -4

-5 -1 1

(А*)^Т= 17 1 -5

16 0 -4

-5 -1 1 5/4 1/4 -1/4

А^-1=(1/4)* 17 1 -5 = -17/4 -1/4 -5/4

16 0 -4 -4 0 1

Проверка А^-1*А=Е

5/4 1/4 -1/4 1 1 -1 1 0 0

А^-1*А= -17/4 -1/4 -5/4 * 3 -1 2 = 0 1 0

-4 0 1 4 4 -3 0 0 1

Произведение верно

5/4 1/4 -1/4 -2 1

-17/4 -1/4 -5/4 * 9 = 0

-4 0 1 -5 3

x=1 y=0 z=3

1.3 Решение методом Гаусса

1 1 -1 -2 1 1 -1 -2

3 -1 2 9 = 0 -4 5 15

4 4 -3 -5 0 0 1 3

z=3 y=(15-15)/-4=0 x=(-2+3)/1=1

Проверка

1-3=-2 верно. 3+6=9 верно. 4-9=-5 верно.

Ответ: x=1 y=0 z=3

Задача 2. Вычислить определитель.

2 1 2 3 2 2 1 2 3 2 2 1 6 3 2

3 -2 7 5 -1 3 -2 7 5 -1 3 -1 13 5 -1 1 6 3 2

3 -1 -5 -3 -2 = 3 -1 -5 -3 -2 = 3 -1 1 -3 -2 = (-1)* -2 13 5 -1

5 -6 4 2 -4 1 0 -2 0 0 1 0 0 0 0 -1 1 -3 -2

2 -3 3 1 -2 2 -3 3 1 -2 2 -3 3 1 -2 -3 7 1 -2

0 7 0 0 -2 5 -1 0 5 -1 0 5 -1 5 -1

= (-1)* -2 13 5 -1 = 7* -1 -3 -2 = 7* 3 -3 -2 = 7* 0 -6 4 = 7* -6 4 =98

-1 1 -3 -2 -3 1 -2 1 1 -2 1 1 -2

-3 7 1 -2

Ответ: ∆=98

Задача 3. Решить систему уравнение методом Гаусса.

Приводим в матричный вид

2 -1 1 -3 -3 1 1 2 -1 -1 1 1 2 -1 -1 1 1 2 -1 -1

-1 2 -2 1 4 = -1 2 -2 1 4 = 0 3 0 0 3 = 0 1 -1 2 4 =

1 1 2 -1 -1 2 -1 1 -3 -3 0 -3 -3 -1 -1 0 3 0 0 3

0 1 -1 2 4 0 1 -1 2 4 0 1 -1 2 4 0 -3 -3 -1 -1

1 1 2 -1 -1 1 1 2 -1 -1 x₄=-7/-7=1

= 0 1 -1 2 4 = 0 1 -1 2 4 x₃=(-9+6)/3=-1

0 0 3 -6 -9 0 0 3 -6 -9 x₂=4-2-1=1

0 0 -6 5 11 0 0 0 -7 -7 x₁=-1+1+2-1=1

Проверка

2-1-1-3=-3 верно. -1+2+2+1=4 верно. 1+1-2-1=-1 верно. 1+1+2=4 верно.

Ответ: x₁=1 x₂=-1 x₃=-1 x₄=1

5 Вычислить матрицу , где , .

С^-1=(1/∆_с)*(С*)^Т ∆_с=2-1=1

1 1 1 1 1 1 2 -1 1 1 1 0

С*= 1 2 (С*)^Т= 1 2 С^-1= 1 2 А*С^-1= 4 3 * 1 2 = 7 10

1 2 -1 2 1 4 1 4 1 4 -19 36

А*В= 4 3 * -3 0 = -5 8 (А*В)²= -5 8 * -5 8 = -45 44

2 1 -1 2 2 -1 -5 4 2 -1 24 9

3*А*С*В=3* 4 3* -3 0 * -1 1 =3* -13 8 * -1 1 = 102 63

1 0 -19 36 -42 27 24 9

D= 7 10 + -45 44 - 102 63 = -140 -9

Задача 5. Разложить вектор по векторам где , , , .

=

1 3 -4 15 1 3 -4 15 1 3 -4 15 1 3 -4 15

2 -7 3 -7 = 0 -13 11 -37 = 0 -10 11 -31 = 0 -10 11 -31

3 -1 -1 14 0 -10 11 -31 0 -13 11 -37 0 0 -33/10 33/10

γ=(33/10)/-(33/10)=-1 β=(-11+31)/10=2 α=-6-4+15=5

Проверка

5+6+4=15 верно. 10-14-3=-7 верно. 15-2+1=14 верно.

Ответ: α=5 β=2 γ=1

Задача 6. По координатам точек для указанных векторов найти:

1). , ; 2). ; 3). направляющие косинусы вектора ; 4). ; 5). ; 6). координаты точки , делящей отрезок в отношении .

1)

=

2)

3)

4)

5) = 4/

6) λ= x=4 y=4 z=21/2

Задача 7. Найти: , ; ; ; площадь параллелограмма, построенного на векторах и , и длину диагоналей , .

=-m²+mn-3mn+3n²=2

S_◊=sin(π/3)*4 =8

=4 =8 6

Задача 8. Вершины пирамиды находятся в точках . Найти: длину ребра ; площадь грани ; объем пирамиды; длину высоты, опущенной из вершины . Начертить пирамиду.

.

i j k

8 5 2 = i* 5 2 –j* 8 2 +k* 8 5 =-36*i+68*j-26*k

2 -2 -8 -2 -8 2 -8 2 -2

S_ABC= =1/2*

= = = -2*-1* =608

V=1/6 =608/6=304/3

H=(3*304/3)/

Дата добавления: 2015-09-30