15.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

15.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Следствием двух основных теорем теории вероятностей – теоремы сложения и умножения – являются формула полной вероятности и формула Байеса.

Теорема. Если событие F может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) , образующих полную группу, то вероятность события F равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий (гипотез) на соответствующие условные вероятности события F:

Пример 1. В первой урне 2 белых и 4 черных шара, во второй – 1 белый и 3 черных. Из первой урны во вторую наудачу переложили шар, затем из второй урны вынули шар. Найти вероятность того, что этот шар – белый.

F – из второй урны вынули белый шар;

– из первой урны переложили черный шар;

– переложили белый шар

Вероятность переложить во вторую урну черный шар равна

Вероятность переложить во вторую урну белый шар равна

После этого во второй урне окажется 5 шаров: либо 1 белый и 4 черных, либо 2 белых и 3 черных. Найдем в каждом случае вероятность того, что из второй урны вытащили белый шар.

Полная вероятность того, что из второй урны вытащили белый шар равна

Пример 2. В первой урне 2 белых и 4 черных шара, во второй – 1 белый и 3 черных. Из первой урны во вторую наудачу переложили два шара, затем из второй урны вынули шар. Найти вероятность того, что этот шар – белый.

F – из второй урны вынули белый шар;

– из первой урны переложили два черных шара;

– переложили два белых шара;

– переложили первый белый, а второй черный шары;

– переложили первый черный, а второй белый шары;

,

,

,

,

Пример 3. В деканат поступили работы по трем предметам в соотношении 2: 3: 5. При этом вероятности неудовлетворительной оценки по каждому из этих предметов соответственно равны 0,05; 0,02 и 0,08. Определить вероятность того, что взятая наугад работа окажется неудовлетворительной.

F – выбранная наугад работа окажется неудовлетворительной

– i -я работа окажется неудовлетворительной

Формула Байеса:

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса. Она применяется, когда событие F, которое может появиться только с одной из гипотез , образующих полную группу событий произошло и необходимо произвести количественную переоценку априорных вероятностей этих гипотез, известных до испытания, т.е. надо найти апостериорные (получаемые после проведения испытания) условные вероятности гипотез

.

Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события F, т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы. Такой подход, называемый байесовским, дает возможность корректировать управленческие решения в экономике, оценки неизвестных параметров распределения изучаемых признаков в статистическом анализе и т.п.

Пример 4. В первой урне 2 белых и 4 черных шара, во второй – 1 белый и 3 черных. Из первой урны во вторую наудачу переложили шар, затем из второй урны вынули шар. Он оказался белым. Найти вероятность того, что из первой урны переложили белый шар.

F – из второй урны вынули белый шар;

– из первой урны переложили черный шар;

– переложили белый шар

Пример5. В первой урне 2 белых и 4 черных шара, во второй – 1 белый и 3 черных. Из первой урны во вторую наудачу переложили два шара, затем из второй урны вынули шар. Найти вероятность того, что переложили шары белого цвета, если вынутый шар оказался белым.

Полную вероятность события F мы нашли ранее (см пример2)

Тогда вероятность того, что из первой урны переложили два белых шара, при условии, что из второй урны выбрали белый шар равна

Пример 6. В деканат поступили работы по трем предметам в соотношении 2: 3: 5. При этом вероятности неудовлетворительной оценки по каждому из этих предметов соответственно равны 0,05; 0,02 и 0,08. Определить вероятность того, что оказавшаяся неудовлетворительной выбранная работа – это работа по второму предмету.

Полную вероятность мы нашли ранее (см пример 3)

Пример 7. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8; для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что она принадлежит: а) 1-му стрелку; б) 2-му стрелку?

F – в мишени одна пробоина

- оба стрелка не попали

- оба стрелка попали

- первый стрелок попал, второй нет

- первый стрелок не попал, второй попал

Дата добавления: 2015-09-29