Домашнее задание по теме: «функция ляпунова»

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕМЕ: «ФУНКЦИЯ ЛЯПУНОВА»

1. С помощью функции Ляпунова вида исследовать устойчивость точки системы.

2. Построив (каким-либо образом) функцию Ляпунова, исследовать устойчивость нулевого решения, используя теоремы Ляпунова (об устойчивости и асимптотической устойчивости) или Четаева (о неустойчивости).

(Устойчива)	(Неустойчива)	(Неустойчиво)	(Устойчиво)	Пилявский Д. Белоглазов А. Внуков В. Голованов Д. Клименко И. Погребная М. Сидорова Н.
(Устойчива)	(Неустойчива)	(Неустойчиво)	(Устойчиво)	Савостина М. Белоножко Е. Гречихин А. Клещёв А. Курапова Э. Середа Е. Тимоничев Д.

Замечание 1. Данную домашнюю работу сдаем в пятницу 1 июня 2012 года.

Замечание 2. Теорема Четаева. Пусть система , где , , имеет нулевое решение. Пусть в некоторой области существует функция такая, что:

1) ( – граница области ); 2) ( – окрестность нуля); 3) в области при , где – непрерывная функция. Тогда нулевое решение системы неустойчиво.

Замечание 3. Пример построения функции Ляпунова методом разделения переменных: Исследовать на устойчивость нулевое решение системы:

Решение. Найдем функцию Ляпунова .

Так правые части данной системы – функции , - представляют собой суммы функций, зависящих только от одной переменной, то будем искать функцию в виде

.

Найдем производную функции в силу данной системы:

.

Потребуем от функции условия разделения переменных (т.е. – есть функция, представляющая собой сумму функций, зависящих только от одной переменной). Это возможно лишь при выполнении условия .

Откуда получаем, что . Записанное равенства, в силу того, что каждая часть последнего равенства зависит только от одной переменной, возможно только при условии, что каждая часть этого равенства есть постоянная, причем одна и та же, то есть .

Пришли к двум УРП:

1)

2)

Пусть , тогда , а .

Убедимся, что – функция Ляпунова в , где есть :

1) ;

2) , если , то есть .

Таким образом, в существует функция Ляпунова , а значит нулевое решение системы устойчиво.

Дата добавления: 2015-09-30