1. Гідростатичний тиск і його властивості.

Зміст:

1. Гідростатичний тиск і його властивості.

2. Диференціальне рівняння рівноваги рідини.

3. Основне рівняння гідростатики.

4. Прикладні питання гідростатики.

1. Гідростатичний тиск і його властивості

У рідині, що перебуває у стані спокою, можливий лише один вид напруження - напруження стиснення, тобто гідростатичний тиск.

Існує дві основні властивості гідростатичного тиску в рідині:

1. На зовнішній поверхні рідини гідростатичний тиск завжди направлений по нормалі всередину даного об'єму рідини. Ця властивість витікає з визначення тиску, як напруження нормально стискаючої сили.

2. У будь-якій точці усередині рідини гідростатичний тиск у всіх напрямках однаковий, тобто тиск не залежить від кута нахилу площадки, на яку він діє в даній точці.

Доведемо цю властивість. Виділимо в нерухомій рідині елементарний об'єм у формі прямокутного тетраедра з ребрами, паралельними координатним осям і відповідно рівними d_x, d_y і d_z (див. рис.2.1).

Рис. 2.1. До розгляду властивостей гідростатичного тиску

Хай поблизу виділеного об'єму на рідині діє одинична масова сила, складові якої рівні Х, Y і Z.

Позначимо через р_х гідростатичний тиск, що діє на грань, нормальну до осі ОХ, через р_у - тиск на грань, нормальну до осі ОУ і т.д. Гідростатичний тиск, що діє на грань похилої, позначимо через р_n,, а площа цієї грані dS. Всі ці тиски направлені по нормалях до відповідних площадок.

Складемо рівняння рівноваги виділеного об'єму рідини уздовж осі ОХ, тоді сила тиску уздовж осі 0Х рівна

.

Маса тетраедра рівна добутку його об'єму на густину, тобто . Отже, масова сила, що діє на тетраедр уздовж осі ОХ, рівна

.

Тоді, рівняння рівноваги тетраедра запишеться в наступному вигляді:

.

Розділимо це рівняння почленно на площу ,яка є проекцією грані похилої dS на площину yОz, і, отже

.

Матимемо .

При прагненні розмірів тетраедра до нуля останній член рівняння, що містить множник d_x, також прагнутиме до нуля, а тиск р_х і р_n залишатимуться кінцевими величинами. Отже, в межі p_x - p_n = 0, р_х = р_n.

Аналогічну рівність одержимо для тиску р_у і р_z уздовж відповідних осей Оy і Оz після таких же міркувань: р_у = р_n, р_z = р_n,

А, отже

ру = рn, рz = рn,

(2.1)

що і потрібно було довести.

Оскільки розміри тетраедра d_x, d_y і d_z були узяті довільно, то нахил площадки dS довільний. При стяганні тетраедра в точку тиски в цій точці по всіх напрямах будуть однакові.

Доведена властивість гідростатичного тиску в нерухомій рідині має місце також при русі нев'язкої рідини. При русі ж в'язкої рідини виникає дотичне напруження, унаслідок чого гідромеханічний тиск у в'язкій рідині вказаною властивістю не володіє.

2. Основне рівняння гідростатики

Розглянемо основний випадок рівноваги однорідної рідини, коли з масових сил на рідину діє лише сила тяжіння (відсутня сила інерції рухомої рідини).

Хай рідина міститься в судині (рис.2.2) і на її вільну поверхню діє тиск р_о.

Рис. 2.2. До висновку основного рівняння гідростатики

Знайдемо величину гідростатичного тиску р в довільно узятій точці А, розташованій на відстані h від вільної поверхні. Для цього візьмемо елементарну горизонтальну площадку dS, центром якої є точка А, і побудуємо на цій площадці вертикальний циліндр висотою h. Розглянемо умову рівноваги цього об'єму рідини, для чого запишемо суму всіх сил, що діють на даний об'єм по вертикалі

pdS - podS - hdS = 0;	(2.2)
p = po + h .	(2.3)

Це і є основне рівняння гідростатики. Воно дозволяє обчислити тиск в будь-якій точці рідини, що знаходиться в стані спокою. З нього виходить, що шуканий тиск складається з тиску на вільній поверхні і тиску, обумовленого силою тяжіння вищерозміщених шарів рідини. Як видно з формули (2.3), тиск в рідині із зростанням глибини збільшується за лінійним законом. Позначивши через z координату т. А, через z_о - координату вільної поверхні рідини і замінивши h на z_о- z одержимо

(2.4)

Оскільки точка А узята довільно, то можна стверджувати, що для всього об'єму рідини, що знаходиться в стані спокою

(2.5)

Це інший вираз основного рівняння гідростатики. Координата z називається нівелірною висотою і за фізичним смислом є питомою енергією положення рідини. Величина має також лінійну розмірність і називається п'єзометричною висотою, а за фізичним смислом є питомою енергією тиску.

Таким чином, сума нівелірної і п'єзометричних висот або питомих енергій положення і тиску для будь-якої точки рідини, що перебуває у стані спокою, є величина постійна, і називається гідростатичним напором.

3. Диференціальне рівняння рівноваги рідини

Диференціальні рівняння рівноваги рідини можна одержати у разі, коли на рідину діє не тільки сила тяжіння, але й інші масові сили, наприклад, сили інерції переносного руху при так званому відносному спокої. У нерухомій рідині візьмемо довільну точку М з координатами x, у і z і тиском р. Виділимо в рідині елементарний об'єм у формі прямокутного паралелепіпеда з ребрами, паралельними координатним осям і відповідно рівними dx, dy і dz, а точка М буде однією з вершин виділеного паралелепіпеда (рис.2.3). Розглянемо умови рівноваги виділеного об'єму рідини. Хай у виділеному об'ємі на рідину діє результуюча масова сила, складові якої, віднесені до одиниці маси, рівні X, Y і Z. Тоді масові сили, що діють на виділений об'єм у напрямку координатних осей, будуть рівні цим складовим, помноженим на масу виділеного об'єму.

Рис. 2.3. До виводу диференціальних рівнянь рівноваги рідини

Тиск р є функція координат x, у і z, але поблизу точки М по всім трьом граням паралелепіпеда воно однакове, що витікає з доведеної вище властивості гідростатичного тиску. При переході від точки М, наприклад, до точки N змінюється лише одна координата х на нескінченно малу величину dx, у зв'язку з чим функція р одержує приріст, рівний часному диференціалу .

Тому тиск в точці N буде рівний , де - градієнт тиску поблизу точки М у напрямку осі х.

Розглядаючи тиск в інших відповідних точках граней, нормальних до осі х, наприклад, в точках N^/ і M^/ видно, що цей тиск різниться на однакову величину, рівну

.

Зважаючи на це різниця сил тиску, що діють на паралелепіпед у напрямку осі х, буде рівна вказаній величині, помноженій на площу граней, тобто

.

Аналогічним чином, але через градієнти тиску і , виразяться різниці сил тиску, що діє на паралелепіпед у напрямку двох інших осей.

На виділений паралелепіпед діятимуть лише вказані масові сили і різниці тиску. Тому рівняння рівноваги паралелепіпеда у напрямку трьох координатних осей запишуться в такому вигляді

(2.6)

Розділимо ці рівняння на масу паралелепіпеда dxdydz і перейдемо до межі, спрямовуючи dx, dy і dz до нуля, тобто стягуючи паралелепіпед до початкової точки М. Тоді в межі одержимо рівняння рівноваги рідини, віднесені до точки М.

(2.7)

Система диференціальних рівнянь гідростатики називається рівняннями Ейлера.

4. Прикладні питання гідростатики

4.1. П'єзометрична висота

П'єзометрична висота, рівна , є висотою стовпа даної рідині, відповідна даному тиску р (абсолютному або надлишковому). П'єзометричну висоту, відповідну надмірному тиску, можна спостерігати в так званому п'єзометрі показаному на рис.2.4, простому пристрої для вимірювання тиску. П'єзометр є вертикальною скляною трубкою, верхній кінець якої відкритий в атмосферу, а нижній приєднаний до того об'єму рідини, де вимірюється тиск.

Застосовуючи формулу (2.3) до рідини, що міститься в п'єзометрі, одержимо

,

де р_абс - абсолютний тиск в рідині на рівні приєднання п'єзометра; р_а - атмосферний тиск.

Звідси висота підйому рідини в п'єзометрі рівна

(2.8)

де р_над - надлишковий тиск на тому ж рівні.

Рис. 2.4.	Рис. 2.5.

Очевидно, що якщо на вільну поверхню рідини, що перебуває в спокої, діє атмосферний тиск, то п'єзометрична висота для будь-якої точки даного об'єму рідини рівна глибині розташування цієї точки. Часто тиск в рідинах або газах чисельно виражають у вигляді відповідної цьому тиску п'єзометричної висоти за формулою (2.6).

Наприклад, одній технічній атмосфері відповідає:

м.вод.ст.

м.рт.ст.

4.2. Вакуум

Якщо абсолютний тиск в рідині або газі менше атмосферного, то має місце розрядження або вакуум.

За величину розрядження береться різниця тиску

або

Як приклад, розглянемо трубу з щільно пригнаним до неї поршнем, з одного боку, а іншою стороною вона опущена в судину з рідиною (див. рис.2.5). Далі, поступово підніматимемо поршень вгору. Рідина слідуватиме за поршнем і разом з ним підніметься на деяку висоту Н від вільної поверхні з атмосферним тиском. Оскільки для точок, розташованих над поршнем, глибина їх занурення відносно вільної поверхні від’ємна, то згідно рівнянню (2.3) абсолютний тиск рідини під поршнем буде рівний

(2.9)

а величина вакууму або

У міру підйому поршня абсолютний тиск рідини над поршнем зменшуватиметься. Нижньою межею для абсолютного тиску рідини є нуль, а максимальне значення вакууму рівне атмосферному. При цьому, максимальна висота підйому рідини в даному прикладі (максимальна висота "всмоктування" рідини визначається з (2.9), якщо вважати, що p = 0, то матимемо .

За нормального атмосферного тиску(1,033 кг/см²) висота h_мах: для води 10,33 м, для бензину 13,8 м, для ртуті 0,76м і т.д.

Простим приладом для вимірювання вакууму може служити скляна трубка, показана на рис. 2.6 в 2-х варіантах. Вакуум в об'ємі рідини А, може вимірюватися або за допомогою U-подібної трубки (показана справа), або шляхом використання перевернутої U-подібної трубки, один кінець якої опущений в судину з рідиною (рисунок зліва).

4.3. Вимірювання тиску

Для вимірювання тиску рідин і газів в лабораторних умовах крім п'єзометрів використовують різні види манометрів, які діляться на рідинні і механічні.

Рідинні манометри залежно від конструкційних особливостей виконуються за різними схемами:

а) U-подібні;

б) послідовне з'єднання декілька v-образні манометрів;

в) чашковий манометр;

г) диференціальний v-образний манометр;

д) двохрідинний мікроманометр;

е) двохрідинний чашковий манометр.

4.4. Сила тиску на плоску стінку

Обчислимо силу тиску Р, що діє з боку рідини на деяку ділянку даної стінки, обмежену довільним контуром і що має площу S (див. рис.2.8)

Вісь ОХ направимо по лінії перетину площини стінки з вільної поверхнею рідини, а вісь ОY- перпендикулярно цій лінії в площині стінки.

Рис. 2.8.

Елементарна сила тиску, прикладена до нескінченно малої площадки dS, визначається, як

,

де р₀ - тиск на вільній поверхні; h - глибина розташування площадки dS.

Тоді для визначення повної сили Р виконаємо інтеграцію за всією площею S:

,

де y- координата центру площадки dS.

Останній інтеграл, як відомо з механіки, є статичним моментом площі S відносно осі ОХ і рівний добутку цієї площі на координату її центра тяжіння (т.С), тобто

Отже, , де h_c - глибина розташування центру тяжіння площі S, або

(2.10)

тобто повна сила тиску рідини на плоску стінку рівна добутку площі стінки на величину гідростатичного тиску в центрі тяжіння цієї площі. Коли тиск р_о є атмосферним, то сила надмірного тиску рідини на плоску стінку рівна

(2.11)

Визначимо положення центру тиску, тобто координату, точки перетину сили тиску рідини на стінку з площиною стінки.

Оскільки зовнішній тиск р_о передається всім точкам площі S однаково, то рівнодіюча цього тиску буде прикладена в центрі тяжіння площі S. Для знаходження точки додатку сили надмірного тиску рідини (т. D) застосуємо рівняння механіки, смисл якого полягає в тому, що момент рівнодіючої сили тиску відносно осі ОХ рівний сумі моментів складових сил, тобто

.

де y_D - координата точки прикладання сили Р_над.

Виражаючи Р_над. і dР_над через у_с і у і визначаючи у_D,матимемо

,

де – момент інерції площі S відносно осі ОХ.

Враховуючи, що , де J_x0 – момент інерції площі S відносно центральної осі, паралельної ОХ. Тоді в остаточному вигляді одержимо

(2.12)

Таким чином, точка прикладання сили Р_над розташована нижче центру тяжіння площі стінки, а відстань між ними рівна

.

Якщо р_о = р_атм і воно діє з обох боків стінки, то точка D і буде центром тиску.

Коли р_о є підвищеним, то центр тиску знаходиться за правилами механіки як точка прикладання рівнодіючій двох сил: h_c S і p_oS. Якщо p_oS > h_c S, то центр тиску буде ближче до центру тяжіння площі S.

Для визначення іншої координати – Х_D слід скласти рівняння моментів відносно осі ОY.

Окремий випадок.

Коли стінка має прямокутну форму, причому одна із сторін прямокутника співпадає з вільною поверхнею рідини, положення центру тиску знаходиться дуже просто. Оскільки епюра тиску рідини на стінку зображається прямокутним трикутником (див. рис.2.9), центр тяжіння якого знаходиться на 1/3 висоти в трикутнику, то і центр тиску рідини буде розташований на 1/3 висоті, рахуючи знизу.

У гідротехніці доводиться часто стикатися з дією сили тиску рідини на плоскі стінки, наприклад, на стінки робочих елементів різних гідростатичних споруд і пристроїв, при цьому тиск р_о звично буває настільки високим, що центр тиску можна вважати співпадаючим з центром тяжіння площі стінки.

Рис. 2.9.

Дата добавления: 2015-09-30