Свободные и вынужденные колебания.

Свободные и вынужденные колебания.

Цель работы:

Изучение свободных и вынужденных колебаний в системе с одной степе-

нью свободы.

Примером колебаний могут служить колебания положения груза, подвешенного на пружине. Если вывести груз из положения равновесия, оттянув его вниз и отпустить, то груз начнёт совершать колебательные движения – вверх-вниз, вверх-вниз и т.д. Если пренебречь силой трения о воздух, действующей на груз, то систему «пружина-груз-Земля» или пружинный маятник можно считать замкнутой. Колебания физических величин, возникающие в замкнутых системах под действием внутренних сил, называют свободными колебаниями.

Рассмотрим причины возникновения свободных колебаний на примере пружинного маятника. При отклонении груза вниз на расстояние А от положения равновесия сила упругости пружины возрастает, и когда груз отпускают (рис. 8 а), он начинает двигаться с ускорением вверх к положению равновесия и скорость его растёт. Через некоторое время груз достигает положения равновесия и в этот момент сумма сил, действующих на груз, становится равной нулю, а скорость его – максимальной v _max (рис. 8 б). Затем груз по инерции проходит положение равновесия и отклоняется в противоположную сторону, в результате чего пружина укорачивается, и результирующая сил, приложенных к грузу, начинает действовать вниз, тормозя его движение. В самом верхнем положении скорость груза уменьшается до нуля (рис. 8 в), а потом под действием результирующей силы он опять начинает двигаться к положению равновесия, увеличивая свою скорость. Но при достижении точки равновесия груз приобретает максимальную скорость и опять проскакивает точку равновесия (рис. 8 г). Потом груз постепенно тормозится до полной остановки в крайнем нижнем положении (рис. 8 а), и всё повторяется сначала.

Сила, стремящаяся возвратить систему в положение равновесия, является необходимым условием появления свободных колебаний в пружинном маятнике и других колебательных системах. Отметим, что в крайних положениях пружинного маятника (рис. 8 а,в) система обладает только потенциальной энергией деформированной пружины. Наоборот, когда груз проходит через положение равновесия (рис. 8 б,г), система обладает только кинетической энергией.

Колебания, вызванные внешними периодически изменяющимися силами, называют вынужденными колебаниями. Например, можно вызвать вынужденные колебания у обычных подвесных качелей, если периодически толкать их в разные стороны. Из опыта известно, что вынужденные колебания достигают наибольшей амплитуды, когда их частота совпадает с частотой свободных колебаний системы. Такое резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний называют резонансом.

Периодические изменения физических величин, происходящие по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями. Так, например, изменения положения x и вертикальной скорости v пружинного маятника со временем t можно описать следующим образом (см. рис 8 д):

x =- A ^.cos(w t) (8.1)

v = v _max^.sin(w t), (8.2)

где A и v _max^. – амплитуды соответствующих колебаний, а w - их циклическая или круговая частота, которая следующим образом связана с обычной частотой n и периодом колебаний Т:

Рис. 8. Положения пружинного маятника в различные моменты (а-г) его колебаний и графики зависимости изменений положения груза x и его вертикальной скорости v от времени t.

Подвесим пружину к штативу. К нижнему свободному концу пружины прикрепим металлический шарик. Пружина растянется, и сила упругости _упр уравновесит силу тяжести _т действующую на шарик (рис. 3.1, а). Если теперь вывести шарик из положения равновесия, слегка оттянув его вниз, и отпустить, то он начнет совершать движения — вверх-вниз, вверх-вниз и т. д. (рис. 3.1, б). Такого рода движения, при которых тело поочередно сменяется то в одну, то в другую сторону, и называются колебаниями. С течением времени колебания постепенно ослабевают (затухают), и в конце концов шарик остановится.

Еще проще можно заставить шарик колебаться, если подвесить его на нити. В положении равновесия нить вертикальна и сила тяжести _т, действующая на шарик, уравновешивается силой упругости _упр. нити (рис. 3.2, а). Если шарик отклонить и затем отпустить, то он начнет качаться направо-налево, налево-направо (рис. 3.2, б) до тех пор, пока колебания не затухнут. Шарик, подвешенный на нити, — это простейший маятник¹.

Вообще же обычно маятником называют подвешенное на нити или закрепленное на оси тело, которое может совершать колебания под действием силы тяжести. При этом ось не должна проходить через центр тяжести тела. Маятником можно назвать линейку, подвешенную на гвоздь, люстру, коромысло рычажных весов и т. д.

Свободные колебания. Группу тел, движение которых мы изучаем, называют в механике системой тел или просто системой. Напомним, что силы, действующие между толами системы, называют внутренними. Внешними си-чами называют силы, действующие на тела системы со стороны тел, не входящих в нее.

Самым простым видом колебаний являются свободные колебания. Свободными колебаниями называются колебания в системе под действием внутренних сил, после того как система выведена из положения равновесия и предоставлена затем самой себе.

Колебания груза, прикрепленного к пружине, или груза, подвешенного на нити, — это примеры свободных колебаний. После выведения системы из положения равновесия создаются условия, при которых груз колеблется без воздействия внешних сил.Однако с течением времени колебания затухают, так как на тела системы всегда действуют силы сопротивления. Под действием внутренних сил и сил сопротивления система совершает затухающие колебания.



Вынужденные колебания. Для того чтобы колебания не затухали, на тела системы должна действовать периодически изменяющаяся сила. Постоянная сила не может поддерживать колебания, так как под действием этой силы может измениться только положение равновесия, относительно которого происходят колебания.

Вынужденными колебаниями называются колебания тел под действием внешних периодически изменяющихся сил.

Колебания бывают свободными, затухающими и вынужденными. Наибольшее значение имеют вынужденные колебания.

Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, называются вынужденными колебаниями. Внешняя периодическая сила, называемая вынуждающей, сообщает колебательной системе дополнительную энергию, которая идет на восполнение энергетических потерь, происходящих из-за трения. Если вынуждающая сила изменяется во времени по закону синуса или коси­нуса, то вынужденные колебания будут гармоническими и незатухающими.

В отличие от свободных колебаний, когда система получает энергию лишь один раз (при выведении системы из со­стояния равновесия), в случае вынужден­ных колебаний система поглощает эту энергию от источника внешней периодической силы непрерывно. Эта энергия восполняет потери, расходуемые на пре­одоление трения, и потому полная энергия колебательной системы no-прежнему ос­тается неизменной.

Частота вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы. В случае, когда частота вынуждающей силы υ совпадает с собственной частотой колебательной системы υ₀, происходит рез­кое возрастание амплитуды вынужденных колебаний — резонанс. Резонанс возникает из-за того, что при υ = υ₀ внешняя сила, действуя в такт со свободными колебаниями, все время сонаправлена со скоростью колеблющегося тела и совершает по­ложительную работу: энергия колеблющегося те­ла увеличивается, и амплитуда его колебаний становится большой. График зависимости амплитуды вынужденных колебаний А_т от частоты вынужда­ющей силы υ представлен на рисунке, этот график называется резонансной кривой:

Явление резонанса играет большую роль в ря­де природных, научных и производственных процессов. Например, необходимо учитывать явление резонанса при проектировании мостов, зданий и других сооружений, испытывающих вибрацию под нагрузкой, в противном случае при определенных условиях эти сооружения могут быть разрушены.

Рисунок 2.5.1.

Вынужденные колебания груза на пружине. Свободный конец пружины перемещается по законуy = y_m cos ωt. l – длина недеформированной пружины,k – жесткость пружины

Если левый конец пружины смещен на расстояние y, а правый – на расстояние x от их первоначального положения, когда пружина была недеформирована, то удлинение пружиныΔl равно:

Δl = x – y = x – y_m cos ωt.

Второй закон Ньютона для тела массой m принимает вид:

ma = –k(x – y) = –kx + ky_m cos ωt.

В этом уравнении сила, действующая на тело, представлена в виде двух слагаемых. Первое слагаемое в правой части – это упругая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия (x = 0). Второе слагаемое – внешнее периодическое воздействие на тело. Это слагаемое и называют вынуждающей силой.

Уравнению, выражающему второй закон Ньютона для тела на пружине при наличии внешнего периодического воздействия, можно придать строгую математическую форму, если учесть связь между ускорением тела и его координатой: Тогда уравнение вынужденных колебаний запишется в виде

(**)

где – собственная круговая частота свободных колебаний, ω – циклическая частота вынуждающей силы. В случае вынужденных колебаний груза на пружине (рис. 2.5.1) величина A определяется выражением:

Уравнение (**) не учитывает действия сил трения. В отличие от уравнения свободных колебаний (*) (см. §2.2) уравнение вынужденных колебаний (**) содержит две частоты – частоту ω₀ свободных колебаний и частоту ω вынуждающей силы.

Установившиеся вынужденные колебания груза на пружине происходят на частоте внешнего воздействия по закону

x (t) = x_mcos (ωt + θ).

Амплитуда вынужденных колебаний x_m и начальная фаза θ зависят от соотношения частот ω₀ и ω и от амплитуды <m>m>y_m внешней силы.

На очень низких частотах, когда ω << ω₀, движение тела массой m, прикрепленного к правому концу пружины, повторяет движение левого конца пружины. При этом x (t) = y (t), и пружина остается практически недеформированной. Внешняя сила приложенная к левому концу пружины, работы не совершает, т. к. модуль этой силы при ω << ω₀ стремится к нулю.

сли частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω₀, возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом. Зависимость амплитуды x_m вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой (рис. 2.5.2).

При резонансе амплитуда x_m колебания груза может во много раз превосходить амплитуду y_m колебаний свободного (левого) конца пружины, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения.

Вынужденные колебания – это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы. Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называются автоколебательными, а процесс незатухающих колебаний в таких системах – автоколебаниями. В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента – колебательная система, источник энергии и устройство обратной связи между колебательной системой и источником. В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов).

Источником энергии может служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести. Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника. На рис. 2.5.3 изображена схема взаимодействия различных элементов автоколебательной системы.

Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом (рис. 2.5.4). Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменена пружиной, а маятник – балансиром – маховичком, скрепленным со спиральной пружиной. Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир. Источником энергии – поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод. Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику. Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными.

В этом случае внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω₀.

Если свободные колебания происходят на частоте ω₀, которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ωвнешней силы.

После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время Δt для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания τ свободных колебаний в колебательной системе.

В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса – вынужденные колебания на частоте ω и свободные колебания на собственной частоте ω₀. Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте ω внешней вынуждающей силы.

Рассмотрим в качестве примера вынужденные колебания тела на пружине (рис. 2.5.1). Внешняя сила приложена к свободному концу пружины. Она заставляет свободный (левый на рис. 2.5.1) конец пружины перемещаться по закону

y = y_m cos ωt.

где y_m – амплитуда колебаний, ω – круговая частота.

Колебания широко распространены в природе. В общем случае под колебаниями понимают движения, в той или

иной степени повторяющиеся во времени. По физической природе колеба-

тельные процессы разделяют на механические, электромагнитные, электро-

механические и т.д. Особую роль в физике играют механические и электро-

магнитные колебания. С помощью распро-страняющихся колебаний плотно-

сти и давления воздуха (воспринимаемых как звук) и с помощью распростра-

няющихся электромагнитных колебаний (свет) мы получаем большую часть

информации об окружающем мире.

При отклонении тела от точки равновесия будет возникать возвращающая

сила F x()

. Рассмотрим малые колебания пружинного маятника. Колебания

пружинного маятника называют малыми, если сила, возникающая при сме-

щении грузика от положения равновесия, пропорциональна его смещению и

направлена в сторону положения равновесия. Для пружинного маятника усло-

вия малости колебаний удовлетворяются при смещениях, создающих возвра-

щающую силу у пружины в пределах применимости закона Гука. Уравнение

движения пружинного маятника при этом имеет вид.

В реальных осцилляторах, за счет сил трения, происходит рассеяние (дис-

сипация) запасенной энергии, в результате чего свободные колебания со вре-

менем затухают. При движении тела пружинного маятника в вязкой среде, с

небольшими скоростями сила трения пропорциональна скорости.

Отклонение маятника от положения равновесия в зависимости от времени

в соответствии с (6) имеет вид, показанный на рис. 2,a. Для малых декремен-

тов затухания колебания близки к гармоническим, при больших затухание

происходит за 1–2 периода. В том случае, когда значение частоты

становится мнимым и гармонические колебания не реализуются, происходит

апериодический процесс — тело маятника после начального отклонения

плавно возвращается в положение равновесия.

Для регистрации колебаний используется пьезоэлектрический датчик, к

которому подвешена пружина маятника. Во время движения маятника сила

упругости пропорциональна смещению x.

Так как ЭДС, возникающая в пьезодатчике, в свою очередь пропорцио-

нальна силе давления, то сигнал, получаемый с датчика будет пропорциона-

лен смещению тела маятника от положения равновесия.

Возбуждение колебаний осуществляется с помощью магнитного поля.

Гармонический сигнал, создаваемый ПК, усиливается и подается на электро-

магнит, расположенный под телом маятника. В результате этого вокруг

электромагнита переменное во времени и неоднородное в пространстве маг-

нитное поле. Это поле действует на постоянный магнит, вмонтированный в

тело маятника и создает внешнюю периодическую силу.

Система обработки информации состоит из блока сопряжения с ПК (ана-

лого-цифрового преобразователя) и персонального компьютера. Аналоговый

сигнал с пьезоэлектрического датчика с помощью аналого-цифрового преоб-

разователя представляется в цифровом виде и подается на ПК. Установка

снабжена также устройством для статических измерений жесткости пру-

жины. На исследуемую пружину могут подвешиваться грузы различной мас-

сы.

Дата добавления: 2015-09-30