При моделюванні динамічних систем важливим способом виявлення їх специфічних властивостей і можливостей чисельної реалізації є представлення моделей в різних еквівалентних перетворень. Використання

Де вектор-функція

мірний вектор.

При моделюванні динамічних систем важливим способом виявлення їх специфічних властивостей і можливостей чисельної реалізації є представлення моделей в різних еквівалентних перетворень. Використання еквівалентних форм математичних моделей динамічних систем є загально прийнятим підходом,наприклад, при дослідженні систем управління широко використовуються тимчасові моделі у вигляді диференціальних рівнянь, операторні у вигляді передавальних функцій, частотні у вигляді амплітудно-частотних характеристик тощо, які використовуються для аналізу різних властивостей заданої системи. Найчастіше отримання моделі виходячи з її фізичних властивостей зручно в одній формі, а її чисельна реалізація в інших, еквівалентної вихідної.

Стосовно до динамічних систем, природною формою опису яких є ІРУ, важливе прикладне значення має еквівалентне перетворення вихідної математичної моделі до моделей у вигляді інтегральних рівнянь, методи чисельної реалізації яких добре розроблені і мають ряд переваг: стійкість, перешкодо захищеність, меншу чутливість до похибок вихідних даних і т.д. Крім того, таке перетворення дозволяє розширити клас використовуваних чисельних методів, зокрема дозволяє використовувати швидко сходячі і володіють високою стійкістю ітераційні методи рішення інтегральних рівнянь,наприклад, модифікований метод Ньютона-Канторовича. Розглянемо ряд методів такого еквівалентного переходу.

Розглянемо нелінійне інтегро-диференціальне рівняння виду

З нульовими початковими умовами

Де безперервні функції

Нехай фундаментальна система рішень однорідного диференціального рівняння

Тоді загальне рішення неоднорідного диференціального рівняння можна записати у вигляді

Можна записати у вигляді

Згідно з методом варіації сталих, коефіцієнти визначаються за формулою [13]

де

мінор елемента й рядки го стовпця визначника.

З урахуванням (2.11) вираз (2.10) набуде вигляду

перетворити до еквівалентного

Використовуючи вираз (2.12), рівняння (2.9) можна привести до виду [13]

(2.13) а потім, виконавши заміну

Де змінних

Задача зводиться до задачі з нульовим початковими умовам

Іншим методом еквівалентного перетворення динамічних моделей є метод старшої похідної [13], що дозволяє заміною змінних

(2.15)

Де перетворити рівняння (2.9) з початковими умовами

до еквівалентного інтегрального рівняння

Вольтерри виду

Де

Для вирішення інтегральних рівнянь, отриманих шляхом еквівалентних перетворень, є велика кількість чисельних методів, в основі більшості з яких лежить заміна інтеграла квадратурних формул [26,32-34,38,46], крім того, широке застосування знаходять ітераційні методи, Рунге-кутти, методи засновані на використанні сплайнів та кусково-гладких поліномів [14]. У разі нелінійних рівнянь, ефективним є використання спеціалізованих ітераційних методів [14,23,49].

2.3 Алгоритми чисельної реалізації ітераційних методів розв'язання інтегро-диференційних та інтегральних рівнянь з оператором Вольттери.

Відмінною особливістю ітераційних методів є простота їх машинної реалізації, що робить можливим їх ефективне

Дата добавления: 2015-09-30