Определение 1.1. Отрезок называется направленным (сокращенно НО ), если учитывается порядок задания его концов.

1 Направленные отрезки

Определение 1.1. Отрезок называется направленным (сокращенно НО), если учитывается порядок задания его концов.

Пусть и — концы НО. — первый — начало НО, — второй — конец НО. Будем обозначать через направленный отрезок с концами и . Если концы и совпадают, то НО называется нулевым или вырожденным и мы пишем или .

Определение 1.2. Длиной направленного отрезка будем называть длину соответствующего обычного отрезка. Длину направленного отрезка будем обозначать через . В частности, .

Определение 1.3. Два невырожденных направленных отрезка и называются коллинеарными, если прямые и или параллельны, или совпадают. Вырожденный направленный отрезок считается коллинеарным любому направленному отрезку.

Коллинеарные отрезки обозначаются .

Определение 1.4. Будем говорить, что два невырожденных направленных отрезка и , лежащих на параллельных прямых, имеют одинаковое (противоположное) направление, если точки и лежат по одну (по разные) стороны от прямой .

Определение 1.5. В случае, если невырожденные направленные отрезки и лежат на одной прямой , они имеют одинаковое направление, если на любой прямой , параллельной найдется невырожденный направленный отрезок , имеющий одинаковое направление с каждым из направленных отрезков и . Если же любой невырожденный отрезок (лежащий на прямой , параллельной прямой ) имеет одинаковое направление с одним из отрезков и и противоположное сдругим, то направленные отрезки и имеют противоположное направление.

Условимся считать, что вырожденный направленный отрезок имеет одинаковое направление с любым напраленным отрезком. Одинаково направленные (сонаправленные)отрезки обозначаются , а противоположно направленные .

Определение 1.6. Два направленных отрезка и называются эквиполентными, если

1) ;

2) ;

3) .

Эквиполентные направленные отрезки мы обозначаем .

ЛЕММА 1.1. (признак эквиполентности направленных отрезков)

Необходимым и достаточным условием эквиполентности направленных отрезков и является совпадение середины отрезка с серединой отрезка .

Доказательство необходимости. Дано .Пусть — середина отрезка . Рассмотрим центральную симметрию относительно точки . Совершенно очевидно, что каждый направленный отрезок при центральной симметрии переходит в направленный отрезок , такой, что . Пусть — точка, в которую при преобразовании перейдет точка . Так как точка переходит в точку , то направленный отрезок перейдет в направленный отрезок и, значит, точки и совпадают, т.е. точка является также и серединой отрезка .

Доказательство достаточности. Предположим, что середина отрезка совпадает с серединой отрезка . Обозначим их общую середину через . Значит, при преобразовании симметрии относительно точки точка перейдет в точку , а точка перейдет в точку , поэтому .

2 Понятие вектора

Приведем одну теорему, доказательство которой очевидно.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть — множество направленных отрезков в пространстве. Отношение эквиполентности на является отношением эквивалентности, т.е. удовлетворяет трем условиям:

1) — рефлексивно, т.е. ;

2) — симметрично, т.е. если , то ;

3) — транзитивно, т.е. если и , то .

Из теоремы 2.1. следует, что разбивается отношением на непересекающиеся классы. Получаем фактор-множество .

Элементами множества являются классы эквиполентных между собой направленных отрезков.

Определение 2.1. Вектором или свободным вектором называется множество эквиполентных между собой направленных отрезков.

Пусть — направленный отрезок, тогда класс направленных отрезков эквиполентных ему мы называем вектором и обозначаем . Вектор заполняет все пространство,а — это представитель вектора Векторы мы будем обозначать еще и малыми латинскими буквами . Нулевым направленным отрезком определяется нулевой вектор . Длиной вектора естественно считается длина направленного отрезка (представителя), т.е. . Длина нулевого вектора считается равной нулю. Вектор называется единичным, если его длина равна единице.

Заметим, что запись (читается "вектор равен вектору ") означает, что множество совпадает с множеством , т.е. и --- один и тот же вектор, но по-разному обозначенный. В частности, запись означает, что и --- один и тот же вектор (т.е. что отрезки и эквиполентны).
Имеет место следующая лемма о равенстве векторов.

ЛЕММА 2.1. (признак равенства векторов)

Если , то .

Доказательство. середины отрезков и совпадают (см. Лемму 1.1.). Но тогда середины отрезков и совпадают, значит, (см. Лемму 1.1.). Другими словами, .

Отложить вектор от точки — значит построить направленный отрезок , входящий в класс направленных отрезков, образующих вектор

ЛЕММА 2.2. (откладывание вектора от точки)

Для любого вектора и любой точки существует единственная точка такая, что .

Доказательство. Сначала докажем конструктивно, что такая точка существует. Пусть — представитель вектора . Построим середину отрезка точку . Далее строим точку , симметричную точке относительно точки . Точка искомая, так как середины отрезков и совпадают, то по лемме 1.1. , значит, . Осталось доказать единственность. Предположим, что существует еще одна точка такая, что . Тогда получаем , следовательно, по лемме 2.1. . Поэтому точки и совпадают.

Определение 2.2. Говорят, что вектор параллелен прямой , если любой его представитель либо параллелен этой прямой, либо лежит на ней.

Определение 2.3. Векторы и называются коллинеарными, если они параллельны одной и той же прямой (мы пишем ).

Очевидно, что если , то они либо сонаправлены (если сонаправлены любые их представители), либо противоположно направлены (если противонаправлены любые их представители). Снова условимся считать, что нулевой вектор сонаправлен любому вектору .

Определение 2.4. Пусть произвольный вектор и — его представитель, тогда вектор . Вектор

называется противоположным к вектору

и обозначается .

Очевидно, что противоположен вектору , т.е.

.

· Просмотр профиля

· Сообщения форума

· Сообщения

· Обсуждения

· Блоги

· Просмотреть мои записи

· Просмотр профиля

· Сооб

· Добавить запись

Дата добавления: 2015-09-30