Геометрические характеристики

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

1)

Статический момент площади сечения относительно оси x равен…

Решение:

Статический момент площади сечения относительно оси x .
В данном случае ,
где А – площадь сечения,
– ордината центра тяжести сечения.

Вернуться к ответам.

2)

Осевой момент инерции площади сечения относительно оси y равен…

Решение:

Для прямоугольника – момент инерции площади относительно центральной оси, параллельной основанию: где b – основание, h – высота.
В данном случае .

Вернуться к ответам.

3)

Для сечения известны осевые моменты инерции сечения относительно осей , , : , , . Осевой момент инерции относительно оси равен…

Решение:

Сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте осей на некоторый угол остается постоянной, то есть .
После подстановки заданных значений получим .

Вернуться к ответам.

4)

Осевой момент инерции сечения относительно оси равен…

Решение:

Осевой момент инерции . В данном случае

Вернуться к ответам.

5)

Осевой момент инерции сечения относительно оси равен…

Решение:

Для круглого сечения диаметром осевой момент инерции сечения относительно центральной оси х определяется по формуле .
Ось расположена параллельно центральной. Воспользуемся формулой для определения осевого момента инерции сечения при переходе от центральной оси к нецентральной, расположенной параллельно центральной.
,
где – расстояние между осями и х, А – площадь поперечного сечения.
Тогда .

Вернуться к ответам.

6)

Из указанных центральных осей главными осями сечения являются…

Решение:

Для симметричных сечений оси симметрии являются главными осями инерции.

Вернуться к ответам.

7)

Момент инерции сечения относительно оси равен…

Решение:

Для вычисления используем формулу
.

Вернуться к ответам.

8)

Координата центра тяжести фигуры равна…

Решение:

Для вычисления используем формулу

Вернуться к ответам.

9)

Осевой момент инерции площади фигуры относительно оси y определяется интегралом …

Решение:

Разделим площадь А плоской фигуры на элементарные площадки dA прямоугольной координатной сеткой (x и y – координаты центра тяжести элементарной площадки). Если каждую элементарную площадку умножить на и сложить эти произведения, то получим осевой момент площади относительно оси y. Чем мельче координатная сетка, тем точнее результат расчета. Заменяя операцию сложения интегрированием по площади А, получим выражение для осевого момента площади относительно оси y: Аналогично определяется момент инерции относительно оси x.

Вернуться к ответам.

10)

Из указанных центральных осей сечения равнобокого уголка главными являются…

Решение:

Для симметричных сечений оси симметрии являются главными осями инерции.

Вернуться к ответам.

11)

Если , то значение осевого момента инерции площади относительно оси равно…

Решение:

Для вычисления используем формулу перехода от центральной оси к любой, параллельной ей: .

Вернуться к ответам.

12)

Статический момент площади сечения относительно оси x равен…

Решение:

Центр тяжести треугольника расположен на расстоянии от основания. Следовательно, ось x проходит через центр тяжести фигуры и является центральной. Относительно центральной оси статический момент площади сечения равен нулю.

Вернуться к ответам.

13)

Поперечное сечение балки составлено из вертикального листа и четырех неравнобоких уголков . Характеристики уголка заданы. Размеры на рисунке даны в мм. Моменты инерции сечения и соответственно равны…

Решение:

При решении задачи воспользуемся формулами перехода к параллельным осям:
,
,
учитывая, что первоначальные оси и – центральные.
Разбиваем составное сечение на четыре неравнобоких уголка и прямоугольник, которые обозначим индексами 1 и 2 соответственно.

Осевой момент инерции сечения относительно оси x определяется по формуле
.
Аналогично составим выражение для определения осевого момента инерции сечения относительно оси y.
.

Вернуться к ответам.

14)

Статический момент площади сечения относительно оси x равен…

Решение:

Статический момент сечения относительно оси x .
В данном случае ,
где А_i – площади составных фигур,
– ординаты центров тяжести составных фигур.
.

Вернуться к ответам.

15)

Осевой момент инерции сечения относительно оси равен…

Решение:

Для круглого сечения диаметром осевой момент инерции сечения относительно центральной оси х определяется по формуле .
Ось расположена параллельно центральной. Воспользуемся формулой для определения осевого момента инерции сечения при переходе от центральной оси к нецентральной, расположенной параллельно центральной.
,
где – расстояние между осями и х, А – площадь поперечного сечения.
Тогда .

Вернуться к ответам.

16)

Момент инерции площади фигуры относительно оси x, проходящей через центр тяжести фигуры, равен …

Решение:

Разбиваем фигуру на квадрат (фигура 1) и круг (фигура 2). Момент инерции всей фигуры равен разности моментов инерции квадрата и круга:

Вернуться к ответам.

17)

Главные оси инерции …

Решение:

На рисунке показана произвольная плоская фигура. Через точку С проведены две взаимно перпендикулярные оси U и V. В курсе сопротивления материалов доказывается, что если эти оси поворачивать, то можно определить такое их положение, при котором центробежный момент инерции площади обращается в ноль, а моменты инерции относительно этих осей принимают экстремальные значения. Такие оси называются главными осями. Две взаимно перпендикулярные оси, обладающие такими свойствами, можно провести через любую точку плоской фигуры.

Вернуться к ответам.

18)

Ось, относительно которой статический момент площади сечения равен нулю, называется…
Решение:

Рассмотрим некоторое поперечное сечение стержня. Свяжем его с системой координат x, y и составим два следующих интеграла:

где индекс А у знака интеграла указывает на то, что интегрирование проводится по всей площади сечения стержня.
Первый интеграл называется статическим моментом площади сечения относительно оси x, второй – относительно оси y.
В зависимости от выбранной системы координат статические моменты могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной.

Вернуться к ответам.

19)

На рисунке размеры поперечного сечения заданы в см. Осевой момент инерции сечения относительно центральной оси x равен…

Решение:

Дополним поперечное сечение до прямоугольника, который обозначим цифрой 1. Прямоугольнику с отрицательной площадью присвоим цифру 2. Ось является центральной для прямоугольников 1 и 2.

Осевой момент инерции прямоугольного сечения относительно центральной оси, параллельной основанию, определяется по формуле где b –ширина прямоугольника; h – высота.
Поэтому при определении осевого момента инерции сечения необходимо из момента инерции прямоугольника 1 вычесть два момента инерции прямоугольника 2, то есть
.

Вернуться к ответам.

20)

Поперечное сечение балки составлено из двух швеллеров №20 и листов, прикрепленных с помощью сварки. Характеристики швеллера приведены. Размеры на рисунке даны в мм. Осевой момент инерции сечения относительно главной центральной оси x равен…

Решение:

Разбиваем сложное сечение на ряд простых фигур: два швеллера и два прямоугольника, которые обозначены индексами 1 и 2 соответственно (рис.).

Ось x является главной центральной осью сечения. Осевые моменты инерции простых фигур относительно своих главных центральных осей, расположенных параллельно оси x, равны , .
Ось x₁ совпадает с осью x. Ось x₂ удалена от оси x на расстоянии Поэтому при определении момента инерции второй фигуры относительно оси x надо воспользоваться формулой перехода к параллельным осям. Окончательно имеем .

Вернуться к ответам.

21)

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются…
Решение:

При повороте осей координат моменты инерции сечения меняются.

Пусть заданы моменты инерции сечения относительно координатных осей x, y.
Тогда моменты инерции сечения в системе координатных осей , , повернутых на некоторый угол относительно осей , , равны
,
,
.
При некотором значении угла центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения. Данные оси называются главными осями.

Вернуться к ответам.

22)

Статический момент площади фигуры относительно оси x определяется интегралом …

Решение:

Разделим площадь А плоской фигуры на элементарные площади dA прямоугольной координатной сеткой (x и y – координаты центра тяжести элементарной площадки). Если каждую элементарную площадь умножить на координату у и сложить эти произведения, то получим статический момент площади относительно оси x. Чем мельче координатная сетка, тем точнее результат расчета. Заменяя операцию сложения интегрированием по площади А, получим выражение статического момента площади относительно оси x: Аналогично определяется статический момент площади относительно оси y. Поскольку под интегралом координата у в первой степени, статический момент, в зависимости от выбора системы координат, может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Вернуться к ответам.

Дата добавления: 2015-09-30