Вихревой линией называется кривая в каждой точке которой вектор направлен по касательной. Элементарные отрезки такой линии являются мгновенными осями вращения тех жидких частиц, которые на них

ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ

Вихревой линией называется кривая в каждой точке которой вектор направлен по касательной. Элементарные отрезки такой линии являются мгновенными осями вращения тех жидких частиц, которые на них расположены.

Криволинейность вихревой линии обусловлена деформацией жидких частиц, и она не может рассматриваться в общем случае как ось вращения конечного объема жидкости.

Дифференциальное уравнение вихревых линий получается из условия коллинеарности вектора угловой скорости (w_x, w_y, w_z) и элементарного направленного отрезка дуги вихревой линии (dx, dy. dz)

. (3.83)

Вихревой трубкой называют трубку, образованную системой вихревых линий, проходящих через элементарный замкнутый контур (рис. 3.7).

Совокупность вихревых линий, заключенных внутри вихревой трубки называется вихревым шнуром.

Напряжением вихря называют произведение площади поперечного сечения вихревой трубки dw на среднюю величину угловой скорости вращения w в этом сечении.

. (3.84)

Величины

; (3.85)

(3.86)

представляют собой поток вектора и поток вектора вихря W через поверхность s.

Для потока вихрей справедлива теорема Гельмгольца: поток вихрей через поперечное сечение вихревой трубки в данный момент времени постоянен по ее длине.

Из данной теоремы можно сделать два основных вывода:

1. Площадь сечения вихревой трубки не может обратиться в нуль;

2. Вихревая трубка не может начаться или закончиться внутри жидкости конечным сечением

Поэтому вихревые трубки должны быть либо замкнутыми, имеющими вид вихревых колец (рис. 3.8), либо иметь концы, лежащие на границах области, занятой жидкостью.

Понятие интенсивности вихрей является прямой характеристикой вихревого движения, но оно имеет недостаток: величина интенсивности не может быть непосредственно измерена.

Циркуляцией Г вектора скорости и по некоторому контуру L называется контурный интеграл от скалярного произведения на элементарный вектор дуги контура L (рис. 3.9)

. (3.87)

Учитывая существующие выражения скалярного произведения двух векоров, получаем

3.88)

где dx, dy, dz - проекции вектора .

Связь между циркуляцией Г и интенсивностью вихрей устанавливается теоремой Стокса: циркуляция скорости по замкнутому контуру, ограничивающему односвязную область, равна потоку вихрей через эту область (рис. 3.10).

Из теории криволинейных интегралов известно, что если на поверхности S заданы три непрерывные и дифференцируемые функции P, Q и R, то для них справедлива формула Стокса:

(3.89)

Выбирая в качестве функций P, Q и R проекции скорости u_x, u_y, u_z соответственно и применяя формулу Стокса, получим

(3.90)

Разности производных, стоящие в круглых скобках под знаком интеграла, представляют собой удвоенные компоненты вектора угловой скорости , а правая часть является циркуляцией скорости по выбранному контуру.

Принимая во внимание, что:

dscos(nx) = dsx;

dscos(ny) = dsy;

dscos(nz) = dsz,

записанное выше выражение преобразуется к виду:

. (3.91)

Подинтегральное выражение в последнем равенстве представляет собой скалярное произведение векторов и . Следовательно,

. (3.92)

Правая часть уравнения есть поток вихрей через поверхность s, т.е. удвоенная интенсивность вихрей, пронизывающих область s.

Дата добавления: 2015-09-30