Лекция 4.Устойчивость линейных САУ, необходимые и достаточные условия устойчивости.

Лекция 4. Устойчивость линейных САУ, необходимые и достаточные условия устойчивости.

Для получения ответа на вопрос об устойчивости системы автоматического управления может быть использован один из следующих методов: анализ на -плоскости; анализ в частотной области; анализ во временной области.

Критерий устойчивости Рауса-Гурвица.

Проблема устойчивости издавна волновала умы многих ученых и инженеров. Впер­вые вопрос устойчивости динамических систем был исследован Максвеллом и Вышнеградским. В конце XIX века А. Гурвиц и Э. Дж. Раус независимо друг от друга опублико­вали работы, посвященные методу анализа устойчивости линейных систем. Метод Рауса-Гурвица позволяет ответить на вопрос об устойчивости путем анализа характеристи­ческого уравнения системы (5):

, (8)

где – вещественные числа.

Для ответа на поставленный вопрос необходимо установить, находится ли хотя бы один из корней этого уравнения в правой половине -плоскости.

Уравнение (8) можно записать в виде произведения сомножителей:

(9)

где через обозначен -ый корень характеристического уравнения.

Перемножение скобок приводит к результату:

(10)

Проанализируем уравнение (10). Предположим, что все корни характеристического уравнения вещественны и расположены в левой полуплоско­сти. Тогда все , в выражениях (9) и (10) являются вещественными и отрицательными. Следовательно, все коэффициенты характеристического полинома должны иметь один и тот же знак, эти коэффициенты либо положительны, либо отрицательны. Какой-либо коэффициент может иметь противоположный знак только в единственном случае – когда по крайней мере один корень расположен в правой полуплоскости. Необходимо отметить, что если все корни находятся в левой полуплоскости, то ни один из коэффициентов не может быть равен нулю. В случае наличия комплексных корней характеристического уравнения, эти корни должны образовывать комплексно-сопряженные пары, т.к. коэффициенты характеристического полинома вещественные числа. Тогда, в соответствии с правилами формирования коэффициентов уравнения (10), все мнимые части произведений комплексных корней будут сокращаться. Следовательно, если все корни расположены в левой полуплоскости, то все коэффициенты характеристического уравнения должны иметь один и тот же знак. Нао­борот, если не все коэффициенты уравнения (10) имеют одинаковый знак, то найдется по крайней мере один корень, который не расположен в левой полуплоскости (т.е. находится в пра­вой полуплоскости или на мнимой оси).

Итак, для устойчивости системы, имеющей характеристическое уравнение вида (8) необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического полинома были отличны от нуля и имели один и тот же знак. Однако, эти условия не являются достаточными для устойчивости линейных систем.

Необходимое и достаточное условие устойчивости линейных системдает критерий Рауса-Гурвица.

В основе критерия Рауса-Гурвица лежит упорядочение коэффициентов характери­стического уравнения (8)

в виде следующей таблицы Рауса:

где

; ; ;

; ;

и т. д. Столбец, содержащий степени переменной , введен ради удобства. Определитель в выражении для -го коэффициента строки об­разуется из первого и -го столбцов двух предшествующих строк.

В соответствии с критерием Рауса-Гурвица число корней характери­стического уравнения с поло­жительной действительной частью равно числу изменений знака в первом столбце таблицы Рауса.

Данное условие является и необходимым, и достаточ­ным для устойчивости системы. То есть для устойчивой системы в первом столбце таблицы Рауса не должно быть изменений знака.

Можно выделить следующие случаи относительно вида первого столбца таблицы Рауса: 1) в первом столбце нет нулевых элементов; 2) в первом столбце имеется нулевой элемент, но в строке, содержащей этот нулевой элемент имеются другие элементы, отличные от нуля; 3) в первом столбце имеется нулевой элемент, и все остальные элементы в строке, содержащей этот нулевой элемент равны нулю.

Рассмотрим эти случаи вида первого столбца таблицы Рауса и проиллюстрируем их примерами.

Случай 1. В первом столбце нет нулевых элементов.

Характеристи­ческое уравнение системы 2-го порядка:

, (8)

соответствующая таблица Рауса:

где

.

Таким образом, условие устойчивости системы 2-го порядка сводится к тому, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения имели одинаковый знак – были положительными или отрицательными числами.

Характеристи­ческое уравнение системы 3-го порядка:

, (8)

соответствующая таблица Рауса:

где

и .

Следовательно, система 3-го порядка устойчива, когда все коэффициенты характеристического уравнения положительны и выполняется условие .

Случай 2. В первом столбце имеется нулевой элемент, но в строке, содержащей этот нулевой элемент имеются другие отличные от нуля элементы.

Если только один элемент первого столбца равен нулю, его можно заменить малым положительным параметром , значение которого после завершения составления таблицы необходимо устремить к нулю.

Например, рассмотрим следующее характеристи­ческое уравнение системы 4-го порядка:

.

Для этого уравнения составим таблицу Рауса:

,

Так как

; ,

в таблице Рауса сделана подстановка . Определим значения и :

, при , становится бесконечно большим отрицательным числом;

.

Окончательно таблица Рауса принимает следующий вид:

.

В первом столбце дважды происходит изменение знака из-за наличия бесконечно бо­льшого отрицательного числа . Следовательно, система является неустойчивой, а два корня характеристи­ческого уравнения находятся в правой полуплоскости.

Случай 3. В первом столбце имеется нулевой элемент, и все остальные элементы в строке, содержащей этот нулевой элемент равны нулю.

Этот случай имеет место, когда все элементы какой-либо строки равны нулю или когда строка состоит из одного элемента, равного нулю. Такое возможно, если корни характеристического уравнения расположены симметрично относительно начала координат -плоскости, например, если уравнение со­держит сомножители или . В этом случае характеристическое уравнение может быть разложено на множители, один из которых содержит только четные степени переменной , а также ее нулевую степень. Такой множитель назы­вается вспомогательным полиномом. Коэффициенты вспомогательного полинома всегда будут элементами строки, расположенной непосредственно над строкой нулевых элементов. Порядок вспо­могательного полинома является четным и равным количеству симметричных корней и указывает на строку, в которой будут на­ходиться эти элементы.

В рассматриваемом случае исследования устойчивости системы вспомогательный полином можно использовать следующими двумя способами. 1) Выделить вспомогательный полином из характеристи­ческого уравнения как сомножитель и вместе с оставшимся полиномом исследовать раз­дельно. В случае невысокого порядка вспомогательного полинома его корни могут быть найдены аналитически. 2) Если в таблице Рауса нули появляются в строке, соответствующей , то необходимо продифференцировать вспомогательный полином по ,и коэффициентами по­лученного полинома заменить нули в строке . После этого заполнение таблицы произво­дится как в 1-ом случае, и полученный результат интерпретируется обыч­ным способом. Однако корни вспомогательного полинома рассматриваются отдельно следующим образом. Корни полинома, содержащего четные степени ,образуют пары, причем их модули одинаковы, а знаки противоположны. Следовательно, они могут быть чисто мнимыми, чисто вещественными или комплексными. Поскольку комплексные корни появляются сопряженными парами, то такие кор­ни “четного” полинома должны образовывать четверки, та­кие корни обладают центральной симметрией, т.е. они располагаются симметрично как относительно действительной, так и относительно мнимой оси. В случаях чисто вещественных или комплексных корней таблица Рауса указывает на наличие корней с положительной действительной ча­стью. Если в таблице появляется нулевая строка, но не происходит изменений знака в первом столбце, то это указывает на наличие корней на мнимой оси. Таким образом, в любом случае, когда в таблице Рауса появляется нулевая строка, это является признаком неустойчивости системы. Если система находится на границе устойчивости, то вспомогательный полином будет определять частоту колебаний системы.

Относительная устойчивость систем автоматического управления.

Критерий Рауса-Гурвица исследует абсолютную устойчивость системы, проверяя, расположены ли ка­кие-либо корни характеристического уравнения в правой половине -шюскости. Однако, если система удовлетворяет критерию Рауса-Гурвица и является абсолютно устойчивой, полезно установить ее относительную устойчивость, т. е. исследовать затухание, обусловленное каждым корнем характеристического уравнения. Относительную устойчи­вость системы можно определить как свойство, оцениваемое действительной частью каждого корня или пары корней характеристическо­го уравнения. Так, например, корень ,на рис. 7 относительно «более устойчив», чем корни и . Относительную устойчивость сис­темы можно также оценивать по коэффициентам затухания , соответствующим каждой паре ком­плексно-сопряженных корней, и, следовательно, по скорости нарастания ее реакции и величине перерегулирования.

Рис. 7. Положение корней на -плоскости

Анализ влияния каждого корня на относите­льную устойчивость принципиально необходим потому, что положение полюсов замкнутой системы на -плоскости определяет и ее качество.

Дата добавления: 2015-09-30