Абсолютные и относительные показатели вариации».

Абсолютные и относительные показатели вариации».

Вариация – различие значений признака у отдельных единиц изучаемой совокупности в один и тот же период или момент времени.

Колебания – различие значений признака у одной и той же единицы совокупности в разные моменты времени.

Вариационный ряд – упорядоченное распределения единиц совокупности по возрастающим или убывающим значениям признака и подсчёта единиц с тем или иным значением признака.

Дискретный вариационный ряд – если число значений признака невелико и они представляют собой целочисленные значения.

В составе вариационного ряда можно выделить три элемента:

1. вариантыx(x) – это значения которые принимает исследуемый признак;
2. частоты вариационного ряда (f) – абсолютная численность отдельных групп различными значениями признака;
3. частости вариационного ряда (f) – удельные весы (доли) отдельных групп в общей численности совокупности

Число жилых комнат (варианты х)	Количество построенных квартир
единицы (частоты f)	в % к итогу (частости f)
		31,5
		38,5
		25,3
		3,6
5 и более		1,1
итого		100,0

Интервальные вариационные ряды – если значение признака велико либо когда признак принимает непрерывные (как целые, так и дробные) значения.

Для характеристики размера вариации применяются абсолютные показатели:

− размах вариации R=X_max- X_min;

− среднее линейное отклонение (для несгр. данных),

(для сгр. данных), где x_i-середина i-го интервала, - средняя величина признака в совокупности, f_i – частота (частость) i группы, k – число группа;

− среднее квадратическое отклонение (для несгр. данных). (для сгр. данных)

Среднее линейное и среднеквадратическое отклонение показывают на сколько в среднем величина изучаемого признака у отдельных единиц совокупности отличаются от среднего значения признака в совокупности (σ>đ). σ/đ зависит от наличия в совокупности резких отклонений и может служить индикатором «засоренности» совокупности нетипичными, для нормального распределения это соотношение равно 1,25.

;

− дисперсия.

Квадрат среднего квадратического отклонения называется дисперсией.

, для несгруппированных данных.

, для сгруппированных данных.

Размах вариации, среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение являются величинами именованными. Имеют ту же единицу измерения, что и изучаемый признак. Дисперсия единиц измерения не имеет.

Относительные показатели вариации выражаются в процентах, используются для оценки интенсивности вариации, а также для сравнения её величины в разных совокупностях или по разным признакам, которые рассчитываются как отношение абсолютных показателей вариации к средней величине признака:

1. относительный размах вариации (коэффициент осцилляции) показывает относительную колеблемость крайних значений признаков вокруг средней ;
2. относительное линейное отклонение характеризует долю усреднённого значения абсолютных отклонений от средней ;
3. коэффициент вариации характеризует степень однородности совокупности .

Совокупность считается однородной при V_σ < 40%, при V_σ > 40% неоднородная и свидетельствует о большой колеблемости признаков в изучаемой совокупности.

Рассчитываются три вида дисперсий: общая, внутригрупповая, межгрупповая.

Общая дисперсия (σ_о²) характеризует вариацию признака, которая зависит от всех условий в данной совокупности.

,

где - общая средняя для всей изучаемой совокупности.

Межгрупповая дисперсия (δ²) отражает вариацию изучаемого признака, которая возникает под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки. Она характеризует колеблемость групповых средних () около общей средней ():

где – средняя по отдельным группам; – средняя общая; f_j – численность отдельных групп.

Средняя из внутригрупповых дисперсий () характеризует вариацию, возникающую под влиянием случайных факторов, кроме групповых:

,

где - дисперсия внутри j-й группы.

Внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию в каждой отдельной группе.

.

Правило сложения дисперсий:

.

Если δ²≠0, то существует колеблемость результативного признака за счёт изменения факторного.

Если ≠0, то существуют и другие признаки, влияющие на результативный.

Данная формула показывает всю колеблемость результативного признака, возникающего, под влиянием различных факторов именно поэтому она имеет большую практическую значимость, т.к. позволяет выявить зависимость результатов зависящих факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение показывает тесноту связи между признаками:

.

Эмпирическое корреляционное отношение принимает значения в интервале [0,1]: чем ближе к 1, тем больше влияние факторный признак оказывает на результативный, тем теснее между ними связь, и наоборот.

Коэффиц иент детерминации характеризует долю общей колеблемости результативного признака, положенного в основание группировки

.

Если факторный признак не влияет на результативный, то δ²=0.

Если результативный признак изменяется только под влиянием факторного, то δ²=σ²_о, тогда коэффициент детерминации равен 1, что означает полную связь.

Наряду с вариацией количественных признаков часто необходимо определить вариацию качественных или количественных признаков.

Альтернативным признаком – называется признак, которыйможет принимать только два значения: наступление или ненаступление события. (Бракованная или нет продукция; выигрыш или нет в лотерею).

Удельный вес значений признака, для которых событие наступило – р.

Удельный вес значений признака, для которых событие не наступило– q.

p+q=1.

Расчёт средней величины и дисперсии альтернативного признака.

Значение события	Значение переменной (х)	Частота повторений (f)	xf	x-xср	(x-xср.)^2	(x-xср.)^2f
Наступление Ненаступление		р q	р	q -р	q^2 р^2	q^2р р^2q
Итого	р	р+q=1	р	-	q^2+р^2	рq(q+р)

Средняя арифметическая альтернативного признака:

,

где р-доля единиц, обладающих данным признаком;

q-доля единиц не обладающих данным признаком.

Дисперсия альтернативного признака:

σ=p(1-p).

Средне квадратическое отклонение альтернативного признака:

.

Если значения р и q неизвестны, от для дисперсии берётся самая большая их величина: р=q=0,5.

Дисперсия альтернативного признака используется в выборочном наблюдении.

Средняя из внутригрупповых дисперсий:

.

Межгрупповая дисперсия:

, где .

Общая дисперсия:

.

Теорема сложения дисперсии доли признака:

.

Дата добавления: 2015-09-30