При решении иррациональных уравнений и неравенств с параметром, во-первых, следует учитывать область допустимых значений. Во-вторых, если обе части неравенства - неотрицательные выражения, то такое

При решении иррациональных уравнений и неравенств с параметром, во-первых, следует учитывать область допустимых значений. Во-вторых, если обе части неравенства - неотрицательные выражения, то такое неравенство можно возводить в квадрат с сохранением знака неравенства.
Во многих случаях иррациональные уравнения и неравенства после замены переменных сводятся к квадратным.

1. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значений параметра а?

Область допустимых значений уравнения:
x [-2; 2]

Построим графики функций. График первой функции - это верхняя половина окружности x² + y² = 4. График второй функции - биссектрисы первого и второго координатеых углов. Из графика первой функции вычтем график второй и получим график функции . Если заменить у на а, то последний график функции есть множество точек (х; а), удовлетворяющих исходному уравнению.



ОТВЕТ:

при а (- ; -2) (1; + ), корней нет

при а [-2; 2), два корня

при а = 1, один корень

 При каждом значении параметра а решите уравнение

Область допустимых значений уравнения:
x [-1; 1]
Ограничение на параметр:
а x

Если выполнять проверку, то она окажется весьма сложной. Можно также решать систему:

Это тоже требует больших выкладок. Здесь можно исследовать решения графически.

· если а = -1, то х = -1

· если а (-1; 1), то уравнение имеет одно решение. Условию х a удовлетворяет меньший корень х = . Определить это можно подстановкой.

· если а = 1, то уравнение имеет два решения x₁ = 0 и x₂ = 1.

· если a (1; ), то уравнение имеет два решения x_1,2 =

· если а = , то х =

·

· ОТВЕТ:

· при а (- ; -1) (; + ), корней нет

· при а = -1, х = -1

· при а (-1; 1), х =

· при а [1; ), х_1,2 =

При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

I. способ (аналитический):

ОТВЕТ: при а -2 уравнение имеет единственное решение

способ (графический):

ОТВЕТ:

при а -2 уравнение имеет единственное решение

1. При каких значениях параметра а уравнение = 2 + х имеет единственное решение.

Рассмотрим графический вариант решения данного уравнения, то есть построим две функции:
у₁ = 2 + х
у₂ =

Первая функция является линейной и проходит через точки (0; 2) и (-2; 0).
График второй функции содержит параметр. Рассмотрим сначала график этой функции при а = 0 (рис.1). При изменении значения параметра график будет передвигаться по оси ОХ на соответсвующее значение влево (при положительных а) или вправо (при отрицательных а) (рис.2)

Из рисунка видно, что при а < -2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно -2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.

ОТВЕТ:

при a -2 уравнение имеет единственное решение.

2. При каких значениях параметра а уравнение = х + а имеет 1 решение?

Рассмотрим две функции:
у₁ =
у₂ = x + a

График первой функции строится при помощи сдвига графика y = на 1 единицу влево. График второй функции строится при помощи сдвига графика у =х на соответствующее значение параметра а (при а > 0 - сдвиг влево, при а < 0 - сдвиг вправо).

Из рисунка хорошо видно, что при a (- ; 1) уравнение имеет единственное решение. Но где-то есть такая точка, в которой график второй функции будет являться графиком касательной к у = , следовательно необходимо найти значение параметра а при этом условии.
Возведём обе части уравнения в квадрат:
()² = (х + а)²
x² + 2ax - x + a² - 1 = 0
x² + x(2a - 1) + (a² - 1) = 0
При D = 0 получившееся квадратное уравнение имеет всего одну точку пересечения с осью ОХ, найдем соответствующие значения параметра а.

4a² - 4a + 1 - 4a² + 4 = 0
4a = 5 при а = 1.25
В ответе объединяем два полученных решения.

ОТВЕТ:

при a (- ; 1) {1.25} уравнение имеет одно решение.

3. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

Область определения уравнения:

ОТВЕТ:

при а = -1,25 уравнение имеет единственное решение

4. Решить уравнение при всех значениях параметра а.

Область определения уравнения:

· если D < 0, то при a < , решений нет

· если D 0, то a


Соотнесём решение системы с условиями дискриминанта и получим ответ.

·

· ОТВЕТ:

· при а < , уравнение не имеет решений

· при а , х =

5. Решить уравнение при всех значениях параметра а.

Область допустимых значений уравнения:

Из области допустимых значений уравнения следует ограничение на параметр: а -1

Введем новые переменные:

Получаем уравнение: t - v = 1, тогда:

Сложим уравнения системы:
t² + v² = a + 1
Составим новую систему:

Решим второе уравнение системы:
2v² + 2v - a = 0
D = 8a + 4
Чтобы уравнение имело корни D 0 - необходимое условие
а 0.5, значит при а < 0.5 решений нет.
(не удовлетворяет условию v 0)
Так как v₂ не является решением, то

По условию v 0, следовательно 0
1, получаем а 0
По условию t 0, значит 0, что выполняется при всех допустимых значениях параметра а.

Возвращаемся к старой переменной:

х =

Проверим соответствие корня области допустимых значений уравнений.

x -1 -1 -(a + 1) Так как а 0, то правая часть всегда отрицательна и неравенство выполнимо при 1 + 2а 0 а -0.5

x a a a + 1 Так как а 0, то можно возвести обе части неравенства в квадрат 1 + 2а а^2 + 2a + 1 а^2 0, следовательно а - любое

x > > > 0 Это неравенство выполняется при а -0.5

Так как а 0, то t = 1 + v неотрицательно (t 0) при тех же значениях парамера а.

ОТВЕТ:

при а < 0, уравнение не имеет решений

при а 0, х =

6. Решить уравнение = a при всех значениях параметра а.

Ограничение на параметр:
а 0, так как при а < 0 решений нет.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
2|x| - x² = a²
x² - 2|x| + a² = 0
Чтобы избавиться от необходимости раскрывать модуль, введём новую переменную |x| = y, причём у есть число неотрицательное. Уравнение принимает вид:
у² - 2у + a² = 0
D = 4 - 4a²
4 - 4a² 0
a [-1; 1]
Так как а 0, то рассматриваем a [0; 1]
y₁ = 1 +
y₂ = 1 -
Если a [0; 1], то подкоренное выражение неотрицательно и оба корня имеют место.

|x| = 1 +
x₁ = 1 +
x₂ = 1 -

|x| = 1 -
x₃ = 1 -
x₄ = -1 +

ОТВЕТ:

при а (- ; 0) (1; + ), уравнение не имеет решений

при а [0; 1], x₁ = 1 +

x₂ = 1 -

x₃ = 1 -

x₄ = -1 +

7. Решить неравенство

Область допустимых значений неравенства:

Рассмотрим случаи:

· если а > 0, то

Объединяя решения первой и второй систем совокупности, получим х >

· если а = 0, то 2 = 0, это уравнение верно при а 0

· если а < 0, то неравенство заведомо выполнимо в области допустимых значений уравнений (х a²)

ОТВЕТ:

при а < 0, х a²

при а 0, x >

Дата добавления: 2015-09-30