Теория подобия как основа моделирования потоков

Лабораторная работа № 1

Теория подобия как основа моделирования потоков

При изучении явлений, происходящих в машинах и сооруже­ниях, наука широко пользуется методом моделирования этих явлений в лабораторных условиях. Преимущество такого метода заключается в том, что изучение физических явлений может быть произведено на модели значительно проще, полнее и выгоднее, чем в натуре.

Однако результаты опытов с моделью могут быть использованы для решения задач только в том случае, если при проведении опы­тов соблюдаются определенные законы моделирования – законы подобия.

Нахождение критериев подобия при моделировании изучае­мых процессов требует глубокого знания деталей этих процессов и в общем случае является очень трудной задачей. При решении этой задачи следует все изучаемые процессы разделить на две группы. К первой надо отнести процессы и явления, уже имеющие математическое описание. Ко второй, представляющей наибольший интерес, относятся процессы и явления, еще не имею­щие математического описания.

В тех случаях, когда уравнения исследуемых процессов не­известны, единственной теорией, позволяющей найти числа по­добия, является теория размерностей, которая в настоящей работе не рассматривается. При наличии дифференциальных уравнении исследуемых процессов числа подобия легко опре­деляются как коэффициенты уравнений, представленных в без­размерном виде.

Рассмотрим гидродинамическое подобие и подобие переноса тепла и вещества.

При моделировании гидродинамических явлений должны быть соблюдены геометрическое, кинематическое и динамическое по­добия.

Соблюдение геометрического подобия означает, что модель подобна натуре, т. е. все сходственные линейные размеры исследуе­мой модели в одинаковое число раз меньше или больше, чем соот­ветствующие размеры натуры. При этом не следует забывать о шероховатости поверхности.

Кинематическое подобие означает, что безразмерные поля скоростей в рассматриваемых потоках одинаковы.

Для выполнения динамического подобия двух потоков тре­буется, чтобы потоки описывались подобными дифференциаль­ными уравнениями движения и имели подобные граничные усло­вия.

Для моделирования потоков жидкостей и газов и происходящих при этом процессов переноса тепла и вещества используют следующие безразмерные критерии подобия (для переноса тепла и переноса вещества эти числа будет соответственно называть тепловыми и диффузионными):

Число Рейнольдса

Число Эйлера

Число Фруда

Число Струхаля (критерий гомохронности);

Число Фурье

Число Архимеда ( и - плотность частиц и плотность жидкости);

Число Прандтля тепловое

диффузионное

смешанное

Число Нуссельта тепловое

диффузионное

где - характерная скорость, м/с;

- характерный размер, м;

- плотность, кг/с;

- кинематическая вязкость, м²/с;

- динамическая вязкость (), Па·с;

- давление, Па;

- ускорение свободного падения, 9.81 м/с²;

- характерное время, с;

- разность удельных весов;

- коэффициент температуропроводности;

- коэффициент теплопередачи;

- коэффициент переноса массы;

- коэффициент сопротивления;

- коэффициент диффузии.

Каждое из этих чисел характеризует условие подобия в зависимости от класса сил, действующих в потоке. Одинаковость чисел Re, Fu, Fr в подобных потоках означает соответственно равенство отношений сил вязкости, сил давления и массовых сил к силам инерции. Условие подобия по числам Sh и Fu имеет значение для неустановившегося движения.

В случае движения сжимаемого газа число Eu можно пред­ставить в следующем виде:

где а — местная скорость звука, определяемая по формуле

где k — показатель адиабаты, равный отношению теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме ().

Отношение скорости движения с к местной скорости звука а обычно обозначается через

М= с / а – число Маха.

Тогда формула (*) получается

Следовательно, для выполнения подобия с учетом сжимаемости необходимо, чтобы для модели и натуры числа М и были соот­ветственно одинаковыми.

Таким образом, если два потока жидкости динамически по­добны, то для них должны соблюдаться следующие условия:

Re₁ = Re₂; Fr₁ = Fr₂; и М₁ = М₂,

причем индекс 1 относится к одному из рассматриваемых потоков, а индекс 2 — ко второму.

При турбулентном движении жидкости в подобных потоках, помимо указанных чисел подобия, должны быть одинаковыми основные характеристики турбулентного потока: степень турбу­лентности и масштаб турбулентности.

Число Рейнольдса. Переход ламинарного движения в турбулентное

При вычислении числа за характерную скорость обычно принимают либо скорость потока на бесконечности, если тело неподвижно, а на него набегает однородный поток, либо скорость движения тела, если среда неподвижна, а тело движется. Вообще за характерную скорость можно брать скорость в любой точке потока так же, как за линейный размер может быть выбран любой размер, характерный для данного объекта.

При движении жидкости в трубах за линейный размер выбирают радиус или диаметр трубы, а за характерную скорость — среднюю скорость или скорость на оси трубы.

Определяя величину плотности для газа из уравнения состояния , а коэффициент динамической вязкости по формуле , получим для числа Re следующее выражение:

,

где - удельная или характерная газовая постоянная;

Полученная зависимость числа Re от давления и температуры указывает на возможность увеличения или уменьшения численного значения Re путем изменения давления и температуры потока.

Если число меньше некоторого критического значения, течение жидкости происходит плавно, подкрашенные частицы жидкости образуют хорошо видимые струйки; при числах Re, больших критического значения, поток становится беспорядочным и струйки подкрашенной жидкости быстро размываются. В первом случае поток называется ламинарным, а во втором — турбулентным.

Как показали опыты, величина критического числа зависит от условий входа жидкости в трубу и от формы ее поперечного сечения. Для круглой цилиндрической трубы наименьшее значение критического числа Re равно 2320, верхний предел критического числа Re, полученный в результате опытов, достигает 100 000.

Влияние теплового и диффузионного числа Re на процессы переноса тепла и вещества изучено еще мало.

По величине числа Рейнольдса тепловые и диффузионные могут быть порядка величины динамического Рейнольдса и больше или меньше его.

При малых тепловых и диффузионных числах Re в потоках будет происходить лишь молекулярный перенос тепла и вещества. При возрастании этих чисел будет увеличиваться доля турбулент­ного переноса, а при очень больших значениях их доля молеку­лярного переноса чрезвычайно мала и весь процесс будет опреде­ляться турбулентным переносом.

Число Пекле и число Рейнольдса

Число Пекле тепловое

диффузионное

Очевидно, что числа Ре и по физической природе, и по струк­туре аналогичны числам Re. Это дает основание называть эти числа Ре соответственно числами Re тепловыми и диффузионными. Следовательно, можно ввести три числа Re: динамическое, тепло­вое и диффузионное, равные:

; и

Так как в знаменателе чисел Re находятся соответственно коэффициенты кинематической вязкости, температуропроводности и диффузии, т. е. величины, имеющие место только при наличии вязкости, то физически числа Re могут выражать собой отношение количества движения, тепла и вещества, создаваемых конвектив­ным переносом, к тем же величинам, возникающим из-за наличия вязкости. При уменьшении вязкости все числа Re будут расти, а при стремлении вязкости к нулю динамическое, тепловое и диффузионное числа Re будут стремиться к бесконечности.

Число Кнудсена

При изучении потоков в различных вакуумных установках и в разреженных газах определяющим параметром при моделиро­вании является число Кнудсена (). Это число равно отношению средней длины свободного пробега молекулы к характерному линейному размеру модели b

Область применения законов обычной аэродинамики с исполь­зованием граничных условий о равенстве нулю касательной со­ставляющей скорости на поверхности обтекаемого тела ограни­чивается неравенством

В области чисел Кнудсена от 0,001 до 0,1 следует рассматри­вать задачу о течении со скольжением.

При числе > 1,0 нарушается предположение о сплошности среды. Это — область свободного молекулярного течения, в ко­торой применимы законы кинематической теории газов.

Таблица чисел подобия процессов переноса количества движения,

тепла и вещества в жидкостях и газах

Заключение

Итак, в данной лабораторной работе приведены числа подобия для моделирования потоков жидкостей и газов и происходящих при этом процессов переноса тепла и вещества.

В практических задачах необходимо соблюдение только одного или нескольких чисел подобия. Так, при изучении движения воды в трубо­проводе достаточно выполнить лишь одно условие — одинаковость чисел Re, а при исследовании сопротивления корабля — двух чисел: Fr и Re.

Во многих случаях не все условия подобия могут быть выпол­нены. Так, невозможно одновременно выполнить условия подобия по числам Re и Fr. При уменьшении размеров модели для сохра­нения постоянным числа Re необходимо увеличивать скорость, а для сохранения постоянным числа Fr—уменьшать скорость. При решении таких задач стараются разделить влияние ка­ждого числа подобия. Например, коэффициент сопротивления модели корабля С_х, зависящий от чисел Re и Fr, можно практи­чески разделить на две составляющие: коэффициент сопротивле­ния трения С_{х тр}, определяемый лишь числом Re, и коэффициент волнового сопротивления, зависящий только от числа Fr.

Контрольные вопросы

1. Для чего необходимы критерии подобия?

2. Назовите, какие критерии подобия существуют.

3. Запишите и поясните формулу одного из критериев подобия (по заданию преподавателя).

4. Для каких случаев критерии подобия называют тепловыми / диффузионными?

5. Какие виды подобия должны соблюдаться при моделировании гидродинамических явлений?

6. В чем заключается геометрическое / кинематическое / динамическое подобие?

7. Когда два потока жидкости можно считать динамически подобными?

8. Что такое характерная скорость? Характерный размер?

9. Какие существуют режимы течения жидкости? Чем они различаются?

10. Что такое критическое число Рейнольдса? От чего оно зависит? Чему оно равно?

11. Запишите формулу динамического, теплового и диффузионного чисел Рейнольдса. В чем разница между ними? Как они связаны с числом Пекле?

12. Чему равно число Кнудсена? Как влияет его величина на течение газа?

13. Сколько критериев подобия должно выполняться в одной задаче? Почему?

Дата добавления: 2015-09-30