3. 1. Метод статистических испытаний. 4 страница

если независимые СВ имеют один и тот же закон распределения с математическим ожиданием и с дисперсией то сумма

асимптотически нормальна с математическим ожиданием

и дисперсией

Если СВ x равномерно распределена в [0,1], то

Тогда

Практически СВ Z имеет распределение близкое к нормальному при n = 8…12

Для получения последовательности нормально распределенных чисел {x} с заданными параметрами и можно использовать известную зависимость для двух нормально распределенных СВ X и Z

Отсюда

Как показано в [4] для улучшения асимптотической нормальности суммы Z и для уменьшения числа слагаемых n можно использовать преобразование

где

- равномерно распределенные в [0,1] случайные числа. В этом случае закон распределения СВ X будет близок к нормальному при n=5, т. е.

где

Последние соотношения лежат в основе ДСЧ подчиненных

нормальному закону распределения. Датчик оформляется в виде стандартной процедуры с именем RGAUSS, которая зависит от следующих параметров:

- число для запуска датчика RAND (вход датчика);

X - случайное число подчиненное нормальному закону распределения (выход датчика):

и - заданные характеристики СВ X.

Работа ДСЧ RGAUSS() в цикле может быть представлена следующим образом:

Рис. 3.1.14

3.1.6 Вычисление кратных интегралов методом

статистических испытаний.

Пусть требуется вычислить:

,

где функция непрерывна в ограниченной замкнутой области S, при этом Область S может быть задана формулой, таблично или графически.

Интеграл преобразуем так, чтобы новая область интегрирования была расположена внутри единичного m-мерного куба:

где - равномерно распределенные случайные числа из [0,1] и вычислив якобиан преобразования

получим

Преобразуем интеграл к виду:

Пусть в m-мерный единичный куб случайно и равномерно бросается точка , тогда

где

Если в испытаниях из N выполняется условие , то при достаточно большом N можно приближенно вычислить

или

Пример: Вычислить вероятность попадания СВ (X,Y), подчиненной нормальному закону распределения с параметрами в круг радиуса R. Задачу решить методом статистических испытаний. Искомая вероятность вычисляется с помощью интеграла

где S - круг радиуса R.

Решение:

а) Метод RAND - метод статистических испытаний с использованием случайных чисел равномерно распределенных в [0,1].

Вычисление искомой вероятности есть вычисление двукратного интеграла методом статистических испытаний.

Проводим N испытаний . L=0 /* Обнулим счетчик для накопления суммы */

В каждом испытании (i-ом):

* моделируем случайную точку равномерно распределенную в единичном квадрате

,

* проверяем условие, что . Эта проверка может быть заменена проверкой где

,

т. е., если то L=L+ ;

После всех испытаний ():

где .

б) Метод RGAUSS - метод статистических испытаний с использованием последовательности нормально распределенных случайных чисел.

,

где X,Y - СВ подчиненные нормальному закону распределения.

Проводим N испытаний

L=0 /* Обнуляем счетчик числа благоприятных испытаний. */

В каждом испытании (i-ом):

* моделируем случайную точку подчиненную нормальному закону распределения:

;

* проверяем выполнение условия:

если то L=L+1;

После всех испытаний (i=N):

Примечание:

1. Количество испытаний определяется требуемой точностью результата:

а) , где - количество испытаний для

вычисления вероятности , - для вычисления .

б) N - количество испытаний для вычисления вероятности

2. Такая замена проверки возможна, т. к. X1 и Y1 выражаются через и с помощью линейных преобразований, поэтому . Учет этого обстоятельства не требует определения геометрии области s;

3. Использование датчика RGAUSS упрощает вычисления, т. к. моделирует случайную точку в соответствии с подинтегральной функцией.

Дата добавления: 2015-09-30