Имеем набор данных yi – N результатов измерения некоторой величины, которую можно представить как функцию f(x) от некоторых переменных x

Имеем набор данных y_i – N результатов измерения некоторой величины, которую можно представить как функцию f(x) от некоторых переменных x

y_i(x)=f(x_i).

На графике величины y_i обычно выглядят как рассеянные точки, не лежащие на гладкой кривой. Естественно предположить, что если мы найдем функцию, соответствующую которой кривая пройдет через указанные точки «наилучшим образом», то мы правильно определим функциональную зависимость y_i(x)=f(x_i) (по крайней мере, можно на это надеяться). Можно предложить следующий критерий для нахождения наилучшей функции f(x). Выберем конкретный вид функции f(x), руководствуясь расположением точек на графике. Для каждого значения x_i вычислим величину f(x_i). Разность f(x_i) - y_i является мерой отклонения теоретически рассчитанной величины от экспериментального значения. Для всей совокупности данных мера отклонения теоретической кривой от экспериментальных значений записывается как

Функции, которая наилучшим образом описывает экспериментальные данные, соответствует минимальное значение величины D. Пусть эта функция, помимо переменной х. содержит еще некоторые численные параметры (a, b, c …). Тогда для нахождения минимума величины D следует взять производные этой величины по указанным параметрам и приравнять их нулю. Решив полученную систему уравнений, мы получим искомую функцию. Напоминаю, что первым шагом все-таки является выбор вида функции.

Рассмотрим линейную аппроксимацию. Запишем искомую функцию в виде

f(x)= b+ax.

Видно, что ход прямой b+ax определяется введенными параметрами a и b, которые мы и будем определять. Подставив в D вместо f(x) линейную комбинацию (b+ax) и возведя полученное выражение в квадрат, мы получим

Взяв производные по a и b и убрав общий множитель 2, мы получим систему из двух уравнений

T R T2 TR R(calc)

Пусть производилось измерение сопротивления R от температуры Т.

19.1 76.3 364.81 1457.33 76.26451 0.00126

25 77.8 625 1945 77.96412 0.02694

30.1 79.75 906.01 2400.4 79.43328 0.10031

36 80.8 1296 2908.8 81.13289 0.11082

40 82.35 1600 3294 82.28517 0.0042

45.1 83.9 2034.01 3783.89 83.75433 0.02122

50 85.1 2500 4255 85.16587 0.00434

Результаты измерений представлены в столбцах 1 и 2 Таблицы. На графике (см. рисунок) они представлены в виде черных точек, которые, как это ясно видно, лежат вблизи некой прямой. Поэтому применим линейную аппроксимацию. Входящие в уравнения вспомогательные величины также приведены в Таблице. В результате мы получаем два уравнения:

a*9325.83+b*245.3=20044.495

a*245.3+7*b=566

Решая эту систему, находим a=0.28807, b=70.76237. В графической форме результат аппроксимации представлен на рисунке.

Т

На следующем рисунке приведены результаты квадратичной аппроксимации. В этом случае решается система из трех уравнений.

Дата добавления: 2015-09-29