Задача 1.Методом Гаусса–Жордана решить системы линейных уравнений (а), (б). Определить класс системы (совместная/несовместная, определённая/неопределённая); для неопределённой системы указать

Задача 1. Методом Гаусса–Жордана решить системы линейных уравнений (а), (б). Определить класс системы (совместная/несовместная, определённая/неопределённая); для неопределённой системы указать размерность многообразия решений.

(а)

(б)

РЕШЕНИЕ

а) Для N=10 имеем систему уравнений:

Первый шаг:

Записывая 1-е уравнение системы без изменения, умножим 1-е уравнение на –10, 2-е – на единицу, сложим 1-е со 2-м и запишем полученный результат 2-м уравнением. То же самое проделаем с 1-м и 3-м уравнениями и запишем результат 3-м уравнением (множители для второй процедуры записаны за второй вертикальной чертой). Получим:

Второй шаг:

Умножим 2-е уравнение на 12, 3-е – на –11, сложим их и запишем результат 3-м уравнением системы (первые два уравнения остаются теми же). В результате получим исходную систему уравнений в виде:

Выполняя теперь обратный ход, получаем решение системы уравнений:

б) Для N=10 имеем систему уравнений:

Преобразуем матрицу:

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

или

Следовательно, - свободные переменные, задаваемые произвольно. Система – совместная, неопределённая, размерность многообразия решений – 2:

Приравняем переменные x₃,x₄ к 0

Среди базисных переменных нет отрицательных значений. Следовательно, данное решение опорное.

Задача 2. Данывекторы , , , .

Показать, что векторы ₁ , ₂, ₃ образуют базис в трехмерном пространстве и найти координаты вектора этом базисе. Соответствующую систему линейных уравнений решить по правилу Крамера.

РЕШЕНИЕ

Сначала покажем, что векторы ₁, ₂, ₃ образуют базис, т.е. что векторное уравнение

x _{1 1} + x _{2 2} + x _{3 3} =

выполняется только при одном наборе неизвестных x ₁, x ₂, x ₃. Подставим сюда координаты заданных векторов:

x ₁· + x ₂· + x ₃ · = .

Для N = 10 получим:

x ₁· + x ₂· + x ₃ · = .

Приравнивая выражения в каждой строке, получим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:

Составим определитель системы

.

Решая систему уравнений по формулам Крамера, имеем в виду, что формулы Крамера имеют вид:

где – определитель системы (), получим из определителя системы заменой i -го столбца столбцом свободных членов.

57,

,

Значит, по формулам Крамера имеем:

Следовательно, координаты вектора в базисе ₁, ₂, ₃:

=

Задача 3. Для треугольной пирамиды с вершинами

(5-N; 6+N; 7), (-1; 10; 11), (2-N; 8+N; 9), (3; 14; 7) найти

(а) длины рёбер и ;

(б) угол между рёбрами и ;

(в) составить уравнение плоскости треугольника .

РЕШЕНИЕ

Для N=10 составим векторы:

Для N=10 имеем:

а) Длины рёбер:

=

=

б) Угол между рёбрами и :

Следовательно,

в) Три точки, задающие плоскость :

(-5; 16; 7), (-1; 10; 11), (-8; 18; 9).

Составим векторы:

Если M(x, y, z) – произвольная точка плоскости, вектор

также лежит в плоскости . Из-за этого векторы компланарны. Поэтому (условие компланарности):

Раскрывая определитель по первой строке, получим:

Откуда искомое уравнение плоскости имеет вид:

Задача 4. Даны уравнения , сторон и треугольника . Составить уравнение высоты (прямой линии) через вершину . Выполнить рисунок.

РЕШЕНИЕ

Исходные данные для N=10 имеют вид:

Вершина лежит на пересечении прямых и , поэтому её координаты получим, если в уравнение прямой подставим значение . Тогда , а координаты вершины .

Высота треугольника , проходящая через вершину , описывается уравнением прямой с угловым коэффициентом , определяемым из соотношения: .

угловой коэффициент прямой , которой высота треугольника перпендикулярна. Следовательно, .

Проходя через точку , эта прямая имеет вид:

то есть

Последнее уравнение уравнение искомой высоты.

Дата добавления: 2015-09-29