Робота 4. Вивчення електростатичних полів

Робота 4. ВИВЧЕННЯ ЕЛЕКТРОСТАТИЧНИХ ПОЛІВ

Електростатичні поля описуються за допомогою скалярної величини – потенціалу , або векторною величиною – напруженістю електричного поля , де - радіус-вектор точки, в якій поле вивчається. Аналітичний розрахунок цих величин в довільній точці поля можна провести, як правило, лише для найпростішого просторового розподілу електричних зарядів. Електростатичні поля складної форми зручніше досліджувати експериментально. Вектори напруженості поля завжди перпендикулярні до еквіпотенціальних поверхонь. Тому, знаючи розподіл потенціалів поля, можна побудувати його силові лінії. Щоб визначити розподіл потенціалів електричного поля у надпровідному середовищі, використовують зонд-електрод. Його вміщують у досліджувані точки поля, з’єднавши з електрометром, який показує різницю потенціалів між досліджуваною точкою поля й одним з електродів. Але у непровідному середовищі важко зрівняти потенціали зонда та досліджуваної точки поля. Тому електростатичне поле нерухомих зарядів у непровідному середовищі моделюють за допомогою електричного поля струму.

Метод моделювання дозволяє досліджувати електростатичні поля електродів, величина, форма й розміщення яких відповідає конфігурації електродів реального досліджуваного приладу. На електроди подають потенціали, рівні реальним або пропорційно змінені. При цьому між електродами виникає електричне поле, що відрізняється від досліджуваного за напруженістю, але з точністю до масштабного коефіцієнту збігається з ним за конфігурацією. Якщо електроди покласти на електролітичний папір і приєднати до джерела е.р.с., то між ними піде електричний струм. Слід зауважити, що заміна непровідного середовища на провідне може, взагалі кажучи, змінити конфігурацію електричного поля.

Виявимо умови, при яких така зміна не відбувається. Електричне поле в просторі визначається диференціальними рівняннями в частинних похідних – рівняннями Максвела, розв’язки яких залежать як від форми рівнянь, так і від граничних умов. Покажемо, що форма рівнянь від заміни непровідного середовища на провідне не змінюється.

Дійсно, якщо в просторі між електродами відсутні об’ємні заряди, конфігурація електростатичного поля визначається рівнянням Пуассона: або , /1/
де , , - проекції на координатні вісі вектора електричної індукції /електричного зміщення/ .

Розглянемо малий паралелепіпед у провідному середовищі, побудований від точки з ребрами /мал. 8/. Розрахуємо потік вектора густини струму через поверхню паралелепіпеда. Потік через грань , що проходить через точку , дорівнює . Знак мінус береться тому, що зовнішня нормаль до цієї грані протилежна напряму вісі , тобто . Потік вектора через грань, паралельну попередній, але зміщену по вісі на з зовнішньою нормаллю, що нправленв вздовж вісі , буде дорвнювати Тому потік через обидві грані становить , .

Розраховуючи аналогічно потоки через дві інші пари граней та складаючи їх, одержимо повний потік через всю поверхню паралелепіпеда.
. /2/
Розділивши цей вираз на , знайдемо дивергенцію вектора в точці :
. /3/

За теоремою Остроградського-Гауса .
Але, за визначенням, потік вектора густини струму через будь-яку поверхню дорівнює заряду, який виходитть з об’єму , обмеженому цією поверхнею, за одиницю часу, тобто . Підставивши у вигляді , одержимо вираз:
,
де - об’ємна густина заряду в точці .

Під знаком інтегралу ми записали часткову похідну від по , оскільки густина заряду може залежати не лише від часу, але й від координат /інтеграл є функція лише часу/. Співвідношення

повинно виконуватись для будь-якого довільного обертання об’єму . Це можливо в тому випадку, коли значення підінтегральних функцій одинакові в кожній точці простору. Отже,
, . /4/
Це співвідношення називають рівнянням неперервності. Якщо ми маємо справу з постійним струмом, частота зміни якого задовольняє умову квазістаціонарності[1], всі електричні величини можна вважати незалежними від часу. Тоді для однорідного провідного середовища і , або . /5/
Але для такого середовища, згідно закону Ома,
, , , /6/
де - постійна /питома провідність середовища/.

Враховуючи /6/, формулу /5/ можна переписати у вигляді
, або . /7/
Ми бачимо, що поле у провідному середовищі задовольняє те ж саме рівняння, що і електростатичне поле /1/ у відсутності об’ємних зарядів. Але щоб показати тотожність конфігурацій і , необхідно довести, що для двох полів умови на межі електродів однакові.

У загальному випадку ці граничні умови різні. Вектори завжди перпендикулярні до поверхні провідника /за винятком випадків, коли простір між електродами заповнений анізотропним діелектриком/. Навпаки, може бути і не перпендикулярним до поверхні електродів. Але, якщо питома електропровідність провідного середовища /у нашому досліді електролітичного паперу/ буде меншою електропровідності речовини електродів, поле буде перпендикулярним до поверхні електродів будь-якої форми. Дійсно, в цьому випадку потенціали всіх точок електрода практично однакові.

Таким чином, можна вважати, що обидва поля і задовольняють не тільки одне й те ж диференціальне рівняння, а й однакові граничні умови. Це означає, що конфігурації полів тотожні, і дослідження конфігурації поля можна замінити дослідженням конфігурації поля .

Мета роботи: експериментально дослідити характер електростатичного поля, знайти еквіпотенціальні поверхні та лінії напруженості.

Необхідні прилади: джерело напруги, гальванометр-індикатор, вольтметр, пантограф, планшет з електролітичним папером і електродрами.

У роботі вимірюється не вектор напруженості поля , а електричні потенціали. Для вимірювання використовується зонд – тонкий металевий стержень, приєднаний до вимірювальної апаратури. Електрична схема показана на мал. 9. Провідним середовищем є електролітичний папір. До його поверхні прикладаються електроди. Завдяки тому, що провідність паперу значно менша провідності електродів, поверхні останніх можна вважати еквіпотенціальними.

Таким чином, обидві умови еквівалентності конфігурацій полів і у нашому досліді виконані.

Для вивчення розподілу потенціалу між електродами зонд з’єднують через гальванометр-індикатор з точкою подільника напруги . Якщо між зондом і точкою є якась різниця потенціалів, індикатор покаже відхилення. Відхилення на ідикаторі дорівнюватиме нулеві лише тоді, коли точки і еквіпотенціальні. Відшукуючи ряд таких точок, визначаємо еквіпотенціальну поверхню, потенціал якої відповідає напрузі на вольтметрі .

Змінюючи напругу на зонді за допомогою подільника напруги , визначаємо серію еквіпотенціальних поверхонь /вірніше, їх перетин площиною/ і будуємо систему ортогональних ліній – ліній напруженості. Для зручності зонд з’єднаний з пантографом, який переносить положення ліній на аркуш паперу.

Завдання та оброька результатів вимірюваннь

1. Скласти схему згідно мал. 9.

2. Встановити на вольтметрі напругу від напруги і зняти еквіпотенціальну лінію. Напруга на становить , її знімають з джерела напруги В4-12. Нанести на папір еквіпотенціальні лінії проколами голки пантографа для таких електродів, які моделюють електростатичне поле: а/ двох точкових зарядів, б/ двох паралельно заряджених площин.

3. Обчислити розподіл напруженості електростатичного поля: а/ двох точкових зарядів; б/ двох нескінченних повідників. Визначити розподіл напруженості у площині, яка містить обидва заряди, чи нормальна до нескінченних провідників. Результати обчислень нанести на міліметровий папір з експериментально визначеним розподілом напруженості досліджуваних полів.

4. До звіту про роботу, крім протоколу, додати: а/ оригінали одержаних еквіпотенціальних ліній* з сіткою ліній електричного зміщення /п. 1/; б/ графіки зіставлення розрахованих полів з експериментально визначеними.

Контрольні питання

1. Що називають: а/ напруженістю в точці електричного поля; б/ лініями напруженості?

2. Чому дорівнює напруженість електричного поля між двома нескінченними плоскими зарядженими поверхнями, між концентричними і сферичними поверхнями? Вивести формулу напруженості поля для цих двох випадків.

3. Яке електричне поле називається однорідним? Навести приклади.

4. Що показує потенціал кожної точки електростатичного поля? Що називається еквіпотенціальною поверхнею?

5. Як в електричному полі взаємно орієнтовані еквіпотенціальні поверхні і лінії напруженості?

6. На якій підставі можна електричне поле моделювати полем електричних струмів в електроліті?

Список літератури

1. Савельев И. В. Курс общей физики: В 2 т. – М., 1982. – Т.2. – с.9-50,32.

2. Калашников С. Г. Электричество. – М., 1985. – с.28-77.

Руководство к лабораторным занятиям по физике / Под ред. Л. Л. Гольдина. – М., 1964

[1] Умова квазістаціонарності буде виконана, якщо за час , протягом якого зміна струму /або напруги/ передається з одного кінця електричного кола в інший, сам струм /напруга/ практично не змінюється. Для цього необхідно, щоб було , де - період електричних коливань. Оскільки , де - довжина електричного кола; а - швидкість поширення електричного сигналу в колі, то необхідно, щоб було .

Якщо умова квазістаціонарності виконана, то зміни струму /напруги/ в колі настільки повільні, що до миттєвих їх значень можна застосувати закони постійного струму.

* Якщо робота виконується двома студентами, то папір під пантограф слід класти у двох примірниках.

Дата добавления: 2015-09-29