Тема роботи: Багатофакторна виробнича функція.

Лабораторна робота № 8.

Тема роботи: Багатофакторна виробнича функція.

Мета роботи: здобути навики побудови та аналізу параметрів багатофакторної моделі.

Приклад розв’язання задачі.

Задача. На основі статистичних даних показника Y та Х (таблиця 1), 1 МНК знайти оцінки параметрів багатофакторної регресії, якщо припустити, що стохастична залежність між факторами Yі Х мають вигляд:

Y = ln(a₀ + a₁/X₁ + a₂X₂)

За критерієм Фішера з надійністю 0,95 оцінити адекватність регресії статистичним даним. Якщо економетрична модель адекватна статистичним даним, то знайти оцінку прогнозу та його надійний інтервал.

Таблиця 1.

№	Х1	Х2	Y	Y1	Z1	Z2	Yp
	1,0	2,0	1,5	4,482	1,000	2,0	0,579
	1,5	4,0	1,8	6,050	0,667	4,0	1,462
	2,0	8,0	2,5	12,182	0,500	8,0	2,864
	2,5	10,0	3,0	20,086	0,400	10,0	3,307
	3,0	12,0	3,2	24,533	0,333	12,0	3,673
	3,5	12,5	3,4	29,964	0,286	12,5	3,696
	4,0	13,0	3,6	36,598	0,250	13,0	3,737
	4,5	13,5	3,8	44,701	0,222	13,5	3,790
	5,0	15,0	4,0	54,598	0,200	15,0	4,010
	5,5	16,0	4,2	66,686	0,182	16,0	4,131
	6,0	16,5	4,4	81,451	0,167	16,5	4,180
	6,5	18,0	4,5	90,017	0,154	18,0	4,343
	7,0	20,0	4,6	99,484	0,143	20,0	4,530
	7,5	22,0	4,7	109,947	0,133	22,0	4,689
	8,0	25,0	4,8	121,510	0,125	25,0	4,890
пр	9,0	26,0			0,111	26,0	4,944

Для того щоб скористатися 1 МНК, спочатку перетворимо дані шляхом заміни змінних:

Z₁ = 1/X₁; Z₂ = X₂; Y₁ = e^Y = exp(Y)

Всі перетворені дані знаходяться в таблиці 1. Далі до перетворених даних застосуємо 1 МНК. Отримаємо наступні оцінки параметрів моделі:

Y₁ = a₀ + a₁Z₁ + a₂Z₂

8,295131	68,06307	-82,8686
0,934708	24,14934	20,23221
0,944939	9,920856	#Н/Д
102,9692		#Н/Д
20269,15	1181,08	#Н/Д

Тобто, ми отримали модель:

Y₁ = – 82,869 + 68,063Z₁ + 8,295Z₂

Або, повертаючись до початкової моделі:

Y = ln(– 82,869 + 68,063/X₁ + 8,295X₂)

Коефіцієнт детермінації R² = 0,9449 та коефіцієнт кореляції R = 0,972 говорять про достатньо тісний зв’язок між фактором Y та факторами Х₁ та Х₂.

Перевіримо достовірність отриманої моделі. для цього обчислимо критичне значення критерію Фішера на рівні значимості α = 0,05 та числу степенів свободи m₁ = 2 та m₂ = 12.

F_кр = 3,885

F = 102,969

Так як F > F_кр, то отримана нами модель достовірна з ймовірністю 0,95.

Для перевірки на достовірність коефіцієнтів моделі, обчислимо значення критеріїв Стьюдента для коефіцієнтів та порівняємо їх з критичним значенням критерію Стьюдента на рівні значимості α = 0,05 та числу степенів свободи m = 12. Отримаємо:

t_a0 = 4,096

t_a1 = 2,818

t_a2 = 8,875

t_кр = 2,179

Так як всі значення t_ai > t_кр, то всі коефіцієнти а₀, а₁ і а₂ достовірні з ймовірністю 0,95.

Підставивши прогнозні значення у формулу отриманої регресії, знайдемо середнє значення прогнозу: Y_пр = 4,944.

Для знаходження 95% надійного інтервалу прогнозу, знайдемо спочатку надійний інтервал для перетворених даних Z₁ і Z₂, а потім, шляхом оберненого перетворення перейдемо до вихідних даних. Так як довірчий інтервал прогнозу знаходиться за формулами:

Y_min = Y_пр – ΔY

Y_max = Y_пр + ΔY

де ΔY – помилка прогнозу.

Обчислимо помилку прогнозу за формулою (див. лабораторну роботу №1), записаною в матричному вигляді:

ΔY₁ = t_крS (10.1)

Тут, ΔY₁ – помилка прогнозу для перетворених даних.

Отримаємо:

ΔY₁ = 2,851

Тоді, для вихідних даних ця помилка буде:

ΔY = ln(ΔY₁) = 1,048

Отже, інтервальний прогноз шуканої регресії є:

Y_min = 4,944 – 1,048 = 3,896

Y_max = 4,944 + 1,048 = 5,992

Висновки: 1.Так як F > F_кр, то отримана нами модель

Y = ln(– 82,869 + 68,063/X₁ + 8,295X₂)

відповідає вибірковим даним. Це значить, що її можна застосовувати для використання аналізу даного економічного процесу.

2.Середнє значення прогнозу при прогнозних значеннях Х₁ = 9 і Х₂ = 26 буде Y_пр = 4,944 у.о. З ймовірністю 0,95 отриманий прогноз буде знаходитися в межах від 3,896 у.о. до 5,992 у.о.

Варіанти для самостійної роботи (вихідні бази даних Х_і та Y_і)

Таблиця 1.

№	Y= e^a0+a1X1+a2X2	Y=e^a0+a1lnX1+a2X2	Y=e^a0+a1/X1+a2lnX2	Y=e^a0+a1^/^X1+a2/X2
Х1	Х2	Y	Х1	Х2	Y	Х1	Х2	Y	Х1	Х2	Y
	0,4	5,1	21,2	5,1	3,0	31,4	0,5	24,1	972,3	5,1	0,5	41,1
	0,8	5,1	23,9	5,4	2,9	31,7	0,6	22,9	406,1	5,7	0,8	42,8
	0,9	4,7	21,8	7,1	2,8	43,7	0,9	22,8	150,3	6,5	1,1	40,2
	1,0	4,2	17,8	8,7	2,8	54,4	1,1	20,8	87,0	7,2	1,3	39,7
	1,3	3,9	17,3	9,9	2,6	59,5	1,3	19,9	65,7	7,9	1,6	37,5
	1,3	3,4	12,7	10,7	2,4	59,1	1,4	19,5	56,4	8,2	1,7	37,5
	1,6	3,3	14,6	11,8	2,4	66,6	1,5	19,4	48,2	8,4	1,7	36,4
	1,7	2,8	11,1	12,1	2,3	67,9	1,5	18,7	45,8	9,3	2,1	37,0
	1,7	2,6	9,8	12,2	2,1	62,3	1,8	18,3	38,2	9,7	2,3	31,2
	1,8	2,5	10,2	13,7	2,1	73,3	2,1	18,2	31,9	10,0	2,5	30,7
	2,0	2,1	8,9	15,1	2,1	80,7	2,2	16,2	27,2	10,3	2,8	29,6
	2,1	1,7	7,9	15,9	1,9	77,8	2,3	14,5	25,7	10,4	2,8	30,9
пр	2,4	1,4		18,5	1,8		2,4	13,0		10,5	3,1

№	Y=e^a0+a1lnX1+a2^/^X2	Y=a0+a1/X1+a2X2	Y=a0+a1lnX1+a2lnX2	Y=a0+a1lnX1+a2X2
Х1	Х2	Y	Х1	Х2	Y	Х1	Х2	Y	Х1	Х2	Y
	15,8	0,5	41,1	1,1	13,1	49,5	50,8	52,1	16,9	52,1	25,2	68,3
	15,3	0,8	42,8	1,4	15,5	54,3	58,5	57,4	18,1	73,8	27,3	73,1
	13,4	1,1	40,1	1,5	15,6	54,2	97,0	73,2	19,0	73,9	26,2	70,1
	13,1	1,3	39,7	2,0	17,3	58,5	126,2	75,0	19,8	84,3	27,4	73,9
	12,1	1,6	37,5	2,2	17,4	59,0	143,6	83,1	19,6	98,8	27,2	74,2
	11,5	1,7	37,5	2,3	19,7	64,8	152,6	88,9	20,6	103,3	27,2	74,8
	11,4	1,7	36,4	2,8	21,5	70,1	189,5	132,4	21,2	105,4	28,2	75,6
	10,2	2,1	37,0	3,0	23,5	76,5	198,9	155,4	21,9	108,4	30,5	80,1
	8,6	2,3	31,2	3,2	24,9	81,0	231,0	193,8	22,3	114,5	29,2	79,3
	8,0	2,5	30,7	3,2	26,9	85,0	243,4	231,0	22,7	148,8	30,5	82,6
	7,6	2,8	29,6	3,4	29,3	92,7	261,7	273,9	22,7	181,3	30,2	81,0
	7,6	2,8	30,9	3,7	29,4	92,7	264,1	308,2	23,6	206,6	31,9	86,1
пр	6,0	3,0		4,0	31,9		269,0	323,4		236,0	32,2
№	Y=a0+a1/X1+a2X2	Y=	Y=1/(a0+a1lnX1+a2X2)	Y=ln(a0+a1lnX1+a2√Х2)
Х1	Х2	Y	Х1	Х2	Y	Х1	Х2	Y	Х1	Х2	Y
	3,5	52,1	21,0	52,1	21,1	5,6	0,5	2,4	2,4	46,2	25,7	5,3
	4,7	53,1	19,2	52,6	22,9	6,5	5,3	7,0	0,9	49,5	33,4	5,6
	5,5	53,6	19,5	54,1	24,7	5,6	10,0	11,4	0,6	51,3	38,3	5,0
	7,7	55,1	18,1	57,9	29,0	5,8	14,6	14,3	0,6	51,3	45,8	5,1
	8,0	57,6	20,2	58,5	31,1	6,0	20,1	15,3	0,6	53,2	53,1	5,1
	10,1	58,9	19,9	61,7	35,5	6,1	20,2	17,3	0,4	54,5	55,5	5,9
	13,0	59,3	19,3	66,1	35,9	6,1	25,3	21,8	0,4	57,2	62,7	5,3
	14,8	62,2	18,3	68,2	39,9	6,5	27,6	24,7	0,4	59,6	68,4	5,3
	17,8	66,0	18,5	72,1	41,6	6,4	30,3	29,5	0,3	64,0	68,9	6,0
	18,7	67,4	18,2	72,4	43,4	6,6	32,1	33,0	0,4	65,4	65,4	5,4
	21,2	69,9	18,9	74,8	46,3	6,4	37,4	35,6	0,2	66,7	66,7	6,0
	23,1	70,5	19,5	78,6	49,3	6,6	41,0	40,5	0,2	67,5	67,5	5,7
пр	25,0	74,3		84,5	53,1		44,4	41,4		70,2	70,0
№	Y=e^a0+a1lnX1+a2√X2	Y=√a0+a1X1+a2lnX2	Y=a0+a1√X1+a2lnX2	Y=√a0+a1X1+a2X2
Х1	Х2	Y	Х1	Х2	Y	Х1	Х2	Y	Х1	Х2	Y
	3,1	4,3	2,6	52,1	35,6	9,8	52,1	34,5	31,4	25,3	31,3	15,7
	3,8	5,3	3,7	52,7	40,2	9,9	58,8	35,2	32,4	27,9	32,6	17,5
	4,1	7,3	1,8	56,5	41,6	9,4	64,7	37,3	34,3	31,4	34,7	17,9
	4,6	7,8	2,6	63,0	43,8	9,8	68,1	39,6	35,5	32,6	35,9	17,4
	6,1	8,7	5,7	67,1	47,0	10,1	69,3	41,0	35,8	38,3	37,6	18,1
	7,2	10,6	6,3	73,0	50,2	10,7	72,8	41,6	35,7	42,3	40,0	18,5
	7,5	12,0	4,3	77,2	51,7	10,9	77,1	44,3	37,7	43,9	41,9	20,3
	9,4	13,7	6,6	83,9	59,1	11,3	77,3	44,4	36,4	45,9	43,0	19,3
	9,7	14,6	5,8	87,5	63,2	12,3	82,9	47,8	38,8	46,2	43,4	19,3
	10,1	14,8	7,2	89,1	68,2	11,8	83,9	48,1	39,2	47,9	44,3	20,3
	11,0	16,8	6,6	95,4	74,6	12,8	88,4	48,8	39,9	50,9	44,9	21,1
	12,2	17,3	7,3	101,9	82,3	12,4	90,3	52,5	39,8	56,8	44,8	20,9
пр	13,1	18,7		104,2	87,3		93,4	54,6		58,3	47,1

Дата добавления: 2015-09-29