Определение двойного интеграла

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Определение двойного интеграла

Пусть на плоскости имеется замкнутая и ограниченная область D, в которой задана функция . Проделаем следующие операции:

1. Разобьем область D сетью кривых на n частей . Обозначим площади этих частей , а диаметры (диаметром области называется максимальное расстояние между всевозможными парами точек области) - . Наибольший из этих диаметров обозначим через .

2. Выберем произвольно в каждой ячейке по точке и вычислим .

3. Найдем сумму . Ее называют интегральной суммой для функции в области D.

4. Вычислим .

Если этот предел существует, конечен и не зависит ни от способа разбиения области D, ни от выбора точек то он называется двойным интегралом от функции пo области D и обозначается символами или ,

где - подынтегральная функция,

D - область интегрирования,

х,у - переменные интегрирования,

или dxdy - элемент площади.
Тогда по определению .

Геометрический смысл двойного интеграла (рис.)

Если в некоторой области D двумерного пространства задана неотрицательная функция , то двойной интеграл представляет собой объем тела, ограниченного снизу областью D, сверху - поверхностью , с боков - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, направляющей которой является граница области D:

Механический смысл двойного интеграла
Если в некоторой области D двумерного пространства определена неотрицательная функция , задающая плотность фигуры D, то двойной интеграл определяет массу фигуры D:

Достаточные условия существования двойного интеграла.

Если функция непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то двойной интеграл существует.

Основные свойства двойных интегралов

1. где - площадь области D.

2. Свойство линейности двойного интеграла:

3. Свойство аддитивности относительно области интегрирования: если область D разбита на две части и , имеющие лишь общую границу, то .

4. Если всюду в области D, то .

5. Если всюду в области D, то .

6. .

7. Теорема о среднем.

Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области D площади S, то в этой области найдется хотя бы одна точка такая, что выполнено равенство ,

где - площадь области D.

Геометрическая интерпретация теоремы о среднем

Если функция неотрицательна, то левая часть равенства

дает объем цилиндрического тела, ограниченного снизу областью D, а сверху - поверхностью На рисунке оно изображено более жирными линиями. Правая часть этого равенства соответствует объему прямого цилиндра с основанием D

и высотой, равной значению функции в некоторой точке . Объемы этих цилиндрических тел равны.

Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах

Теорема. Если функция непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями , причем функции и непрерывны на промежутке и , то

Это выражение называется повторным (двукратным) интегралом и записывается в виде

При использовании указанной формулы сначала вычисляется внутренний интеграл при этом считается постоянным. Затем полученная функция, зависящая от переменной , интегрируется по х по промежутку .

Если функция непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями , причем функции и непрерывны на промежутке и , то

Пример. Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями и осью Ох.

Решение. Изобразим область D. За внешнюю переменную возьмем х, за внутреннюю - у. Внешняя переменная х меняется в пределах от 1 до 2. Мысленно отметим на оси Ох произвольно точку между 1 и 2 и проведем через нее вертикальную прямую. Нижняя граница отрезка этой прямой, который попал в область D, соответствует значению y= 0, а верхняя – ординате наклонной прямой y= 2 x. Тогда

Вычисляем внутренний интеграл, считая х постоянным:

Теперь вычисляем внешний интеграл:

Пример. Вычислить интеграл , если область D оганичена линиями

Решение. Изобразим область D. Координаты точки пересечения кривых находим из системы уравнений

Получаем точку (1;1). В данном случае за внешнюю переменную интегрирования удобнее принять y.

Пример. Вычислить интеграл

по области D, задаваемой неравенствами:

Решение. Изобразим область D. Разобьем ее,

как показано на рисунке, на области и . Тогда

x

Вычислим первый из этих интегралов, беря за внешнюю переменную х, за внутреннюю – у.

Аналогично вычислим второй интеграл:

Окончательно получаем

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Вспомним формулы, связывающие декартову и полярную системы координат:

Если область D ограничена двумя лучами и и кривыми и , где , то формула перехода в двойном интеграле к полярным координатам имеет вид:

Пример. Вычислить двойной интеграл по области D, определяемой неравенствами

Решение. Область D представляет собой четверть круга радиуса 2. Она ограничена лучами и (оси Ох и Оу) и четвертью окружности , Нижний предел изменения - это . Тогда

Пример. Вычислить двойной интеграл по области D, задаваемой неравенствами

ешение. Область D - это сегмент круга радиуса 2, отсекаемый хордой, проходящей через точку на оси Оу с ординатой, равной 1. Уравнению окружности в полярных координатах соответствует уравнение , а прямой - уравнение т.е. . Найдем общие точки двух линий:

Ясно, что . Тогда

Применение двойных интегралов

Геометрические приложения

С помощью двойного интеграла можно вычислить

1. площадь плоской области D:

2. объем цилиндрического тела, ограниченного с боков цилиндрической поверхностью с образующими, параллельным оси , сверху - проверхностью , и снизу - областью D на плоскости Оху:

3. площадь части поверхности :

где D - проекция заданной части поверхности на плоскость Оху. При этом предполагается, что частные производные и непрерывны.

Механические приложения

Если - поверхностная плотность плоской пластины D, то с помощью двойного интеграла вычисляются

1. масса m пластины:

Пример. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Данное тело ограниченно координатными плоскостями Oxz, Oyz и плоскостью , т.е. является цилиндрическим телом. Снизу оно ограниченно плоскостью Оху, а сверху - параболическим цилиндром . Воспользуемся формулой .

Область D – треугольник в плоскости . Перейдем в интеграле к повторному, беря за внешнюю переменную . Тогда

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями

, лежащую вне окружности .

Решение. Найдем координаты точки А:

, т.е. А (1, ). Тогда

Пример. Вычислить площадь поверхности сферы , заключенной внутри цилиндра

Решение. На рисунке изображена та часть сферы, которая лежит в I октанте. Такие же части находятся еще в трех октантах. Используем для вычислений формулу

Найдем предварительно

Перейдем в полярную систему координат, учитывая вид области D и уравнений кривых в этой системе

Пример. Найти массу пластины, ограниченной линиями: ,

и имеющей плотность .

Решение. Область интегрирования D ограничена снизу параболой , а сверху прямой . Точки пересечения этих линий находим из уравнения ,

т.е. A (-2,4), B (1,1).

Переменная изменяется в пределах ,

а y - в пределах

Дата добавления: 2015-09-29