Глава 1. Элементы линейной алгебры.

614,624 группы ГФ

Лекции

Практика

Неделя 1

4.9.2014

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

4-5.9.2014

Входной контроль (тест) по школьной программе

Неделя 2

11.9.2014

11-12.9.2014

Действия над матрицами, сложение, умножение, Определители 2,3 порядка.

Неделя 3

18.9.2014

Глава 2. Элементы аналитической геометрии.

Уравнение прямой по точке и нормали, по точке и направляющему вектору, по двум точкам.

Уравнение плоскости по точке и нормали, по точке и двум направляющим векторам.

Кривые. Эллипс, парабола, гипербола.

18-19.9.2014

Определители.

Системы линейных уравнений.

Однородные системы, ФСР.

Неделя 4

25.9.2014

Глава 3. Введение в мат. анализ.

Множества, операции над ними.

Функции и из свойства. Графики для f(x) и f(x,y).

Окрестности точек, открытое и замкнутое множество, предельная и изолированная точка.

Композиция функций и обратная функция.

Особенности строения графиков основных элементарных функций.

25-26.9.2014

Уравнение прямой по точке и нормали (2 задачи)

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору (2-3 задачи)

Уравнение прямой по двум точкам.

Уравнение плоскости по точке и нормали (2 задачи)

Уравнение плоскости по точке и двум направляющим векторам (2-3 задачи)

Неделя 5

2.10.2014

Предел последовательности. Определение, методы нахождения, примеры.

Предел функции. Определение, методы нахождения, примеры.

2-3.10.2014

Уравнение плоскости по 3 точкам

Разные задачи, повторение.

45 минут: к-р (алгебра, геометрия) темы:

1 Определитель 3 порядка

2 Неоднородные системы

3 Однородные системы

4 Уравнение прямой и плоскости

Неделя 6

Лекция 9.10.2014

1-й и 2-й зам. lim и их следствия

(доказать)

Пример

Односторонние пределы и непрерывность функций. Классификация точек разрыва (устранимый, 1 рода, 2 рода)

Пример

Практика 9-10.10.2014 Основы пределов.

(отв. 2) (отв. 2) (3) (1)

(3/2)

Найти сумму рекуррентно заданной пос-ти: , ,..., ,...(отв: 3)

Пределы функций.

(отв. 6) (отв. 1/3)

(отв. 10/9)

(отв. 5/3)

Неделя 7

Лекция 16.10.2014

Бесконечно малые - разного порядка, одного порядка, эквивалентные.

Свойства эквивалентности бесконечно-малых, (некоторые - доказать)

Вычисление пределов с помощью этих свойств, например sin(6x)/x

Главная часть бесконечно-малой, метод её нахождения.

Примеры. sin(x²) sin(x²-1)

Выделить главную часть бесконечно-малой:

отв:

перерыв

Производная, определение с помощью предела

Геометрический смысл

Доказать что (x²)’=2x

Таблица основных производных

Основные правила вычисления (производная суммы, произведения, частного, композиции функций)

Практика 16-17.10.2014

1. (отв. 27)

2. (отв. 1/3).

3. (отв. -3)

4. (отв. 1/2)

5. (отв. -2)

6. (отв.0)

7. (отв.1/6)

8. (отв. 24)

9. (отв. 1/4)

10. отв.

11. отв.

Неделя 8

23.10.2014

Дифференциальное исчисление:

Вычислить производную

Частные производные 1 и 2 порядка, примеры

f = x²y³

Правило Лопиталя для пределов

(16/50) (-1/2)

(1/2) по-старому и с произв.

Уравнение касательной

Вывод уравнения.

Найти касательную к графику в точке с абсциссой 2 и расстояние от неё до начала координат ()

Найти уравнение касательной к кривой в точке и точки её пересечения с осью Ох и Оу.

Монотонность и экстремумы, определения.

23-24.10.2014

Пределы, 1-й и 2-й зам. lim

1. отв.

2. отв.

3. отв.

4. отв. 2

5. отв.

6. замена, отв.

7,8. и отв. 4,-2

9. отв. 1.

10. отв. 6. по пр. Лопиталя

11. (1/3) по пр. Лопиталя

12. запасной (614 решили) = 2

Неделя 9

30.10.2014

Дифференциальное исчисление

Нахождение экстремумов с помощью 1-й и 2-й производной

Найти интервалы монотонности и экстремумы

Найти экстремумы

***

Теорема о знаке производной и поведении функции в окрестности.

Теорема Ферма об экстремумах

Теорема Ролля

Теорема Лагранжа

30-31.10.2014

Повторение.

(1/2) (-3)

(5) отв.

отв.

45 минут: к-р

5 Предел последовательности

6 Предел функции, с неопределённостью 0/0.

7 Предел функции, 1-й замеч. lim

8 Предел функции, 2-й замеч. lim

Неделя 10,11 (лекция 6 ноября, 3 практики 624: 6,7,13 ноября 614: 6,12,14 ноября)

Лекция 6.11.2014

Первообразная, F+C. Неопределённый интеграл. Свойства (линейность и т.д.).

Табличные интегралы и вывод некоторых из них.

Методы интегрирования.

1. Преобразования выражения. Примеры

2. Замена переменной.

3. Подведение под знак dx.

Примеры

4. Интегрирование по частям.

Доказательство формулы

Примеры

Практика 1

Выделить главную часть бесконечно-малой:

в точке 1. Отв:

в точке -3. Отв:

в точке 0. Отв. .

в точке 0. Отв: .

Найти точки разрыва и установить их тип: (устранимый, если там модуль то 1 рода).

(-2 - 1 рода, 2 - 2 рода)

1: (x=0 разрыв 1 рода, x=4 точка непрерывности)

2: (-3 устранимый 1 - 1 рода, 2 - 2 рода).

Практика 2 Вычислить производную.

, , , - показать 2 способа - как композиция и с помощью дробной степени.

Вывести формулу

Найти произв.

отв

найти , . (1 и -е).

Найти 1-ю и 2-ю производную для .

Найти найти ,

отв , =2.

Отв

Практика 3 Уравнение касательной.

1. Найти уравнение касательной к графику y=x² в точке x₀=2 и расстояние от касательной до начала координат. Ответ y = 4x-4. d= .

2. Найти уравнение касательной к графику

y=2x³+3x²+3 в точке x₀=1 и площадь треугольника, отсекаемого ею в одной из четвертей.

Ответ y = 12x-4. S = 2/3.

3. Найти уравнение касательной к графику

y=2x⁴+x²+1 в точке x₀=2 и точки пересечения с коорд. осями. Ответ. y = 68x-99.

4. На графике взята точка. Касательная в ней наклонена под углом, тангенс которого (-4).

Найти точку. Ответ. (1/4; 2).

5. (18.3) Найти касательную и нормаль к кривой

y = x³-3x+5 в точке x₀=2. Отв. y=9x=11, x+9y-65=0.

6. Найти касательную к кривой в точке 0, в точке .

Отв. ,

7. (614 гр) Для параболы есть касательная в точке x=1. Найти такую точку, в которой касательная перпендикулярна этой. Отв .

8. (614) Найти касательную для в точке . Отв. .

Неделя 12,13 (лекция 20 ноября, 3 практики 624: 20,21,27 ноября 614: 20,26,28 ноября)

Лекция 20.11.2014

Ещё примеры на интегрирование по частям

циклические интегралы

интегрирование рациональных дробей

сведение неправильной к правильной дроби

Виды простейших дробей и их интегрирование

(в знаменателе многочлен 1 или 2 степени)

Общий случай, когда степень произвольна - разложение на простейшие, то есть метод неопр. коэффициентов.

Примеры на 3 ситуации -

1) все корни различные и

2) все корни но есть кратные

3) не все корни (есть множители 2 степени или )

Практика 1 Экстремумы

1. Найти экстремумы функции

2. Найти интервалы монотонности и экстремумы f(x)= .

3. Найти интервалы монотонности и экстремумы

4. Найти интервалы монотонности и экстремумы для сведения: график и :

5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

на отрезке [0,3].

6. Дана функция . Найти её наибольшее и наименьшее знач. на отрезке .

7. Дана функция . Найти её наибольшее и наименьшее значения на отрезке .

8. Доказать, что функция не имеет экстремумов.

Практика 2 Выпуклость вверх (вниз) и 2-я производная. Асимптоты.

Теоретические моменты, взаимосвязь второй производной с выпуклостью графика. Точка перегиба.

Найти интервалы выпуклости вверх (вниз) и точки перегиба для функций:

, , .

Метод поиска наклонных асимптот (вывод формул)

Найти асимптоты графика .

Найти наклонные асимптоты графика функции .

Найти асимптоты графика функции

Практика 3

30-45 минут - повторение к контрольной.

Найти 2-ю производную для

Найти экстремумы для

Ответ: максимум , минимум .

45 минут - контрольная

1) 1-я производная

2) 2-я производная

3) Уравнение касательной

4) Экстремумы функции

Неделя 14,15 (лекция 4 декабря, 3 практики 624: 4,5,11 декабря 614: 4,10,12 декабря)

Лекция 4.12.2014

Интегрирование иррациональностей, замена на корень порядка НОК (r₁,...,r_k).

Пример =

Интегрирование тригонометрических выражений.

1. Нечётная относительно cos функция в интеграле.

Замена: , , , . Пример.

2. Нечётная относительно sin функция в интеграле.

Замена: , , , .

Смысл всех этих подстановок: в результате получается корень в чётной степени, и делится или домножается ещё на корень из dx, в итоге в любом случае будет чётная степень корня. .