1.Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см Х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах

Планиметрия (часть В)

1. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см Х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах

2. В треугольнике угол равен , углы и – острые, высоты и пересекаются в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

3. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

4. В треугольнике угол равен , биссектрисы и пересекаются в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

5. В треугольнике угол равен , . Найдите .

6. В треугольнике угол равен , , . Найдите высоту CH.

7. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см Х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах

8. Угол равен . Его сторона касается окружности в точке , сторона содержит диаметр окружности. Найдите градусную величину дуги окружности, заключенной внутри этого угла.

9. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см Х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах

10. Найдите градусную величину дуги окружности, на которую опирается угол .

11. В треугольнике , , высота . Найдите .

12. Площадь треугольника равна 12. – средняя линия. Найдите площадь трапеции .

13. Найдите величину угла .

14. Площадь параллелограмма равна 8. Точка – середина стороны . Найдите площадь треугольника .

15. В треугольнике – биссектриса, угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

16. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1;7); (5;7); (2;9).

17. Бассейн прямоугольной формы окружен вымощенной дорожкой, как показано на рисунке (дорожка заштрихована). Какова площадь дорожки (в квадратных метрах).

18. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см Х 1 см изображен заштрихованный четырехугольник (см. рис.). Чему равна площадь заштрихованного четырехугольника в квадратных сантиметрах?

19. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см Х 1 см изображен заштрихованный треугольник (см. рис.). Чему равна площадь заштрихованного треугольника в квадратных сантиметрах?

20. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (2;3); (2;5); (10;1); (10;7).

21. Найдите ординату точки, симметричной точке относительно начала координат..

22. Окружность с центром в начале координат проходит через точку . Найдите ее радиус..

23. Вектор с началом в точке имеет координаты . Найдите абсциссу точки ..

24. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (2;3); (8;6); (12;1); (12;3).

25. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (0;0); (5;6); (9;4)..

26. Най клетчатой бумаге с размером клетки 1см Х 1см изображен четырехугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

27. Найдите абсциссу центра окружности, описанной около треугольника, вершины которого имеют координаты (-20;0); (0;21); (-20;21)..

28. Стороны правильного треугольника равны . Найдите длину вектора , где – середина ..

29. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 12..

30. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 9 и ..

31. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах..

32. Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 132, две его стороны (в последовательном порядке) равны 15 и 21. Найдите большую из оставшихся сторон..

33. В параллелограмме с острым углом . Найдите ..

34. В треугольнике Угол равен ? , . Найдите ..

35. Сторона треугольника равна 7. Противолежащий ей угол равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника..

36. В ромбе угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах..

37. Четырехугольник вписан в окружность. Угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусамх..

38. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 86. Ее большая боковая сторона равна 27. Найдите радиус окружности..

39. В треугольнике , . Найдите площадь треугольника ..

40. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 17 соответственно, боковые стороны равны 13. Найдите тангенс острого угла трапеции..

41. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 4:7:9. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 338..

42. Меньшая сторона прямоугольника равна 12, угол между диагоналями равен . Найдите радиус описанной окружности..

43. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник..

44. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник равен . Найдите сторону этого треугольника..

45. В равнобедренном треугольнике с основанием боковая сторона равна 22, а . Найдите высоту, проведенную к основанию..

46. В равнобедренном треугольнике с основанием 6 и высотой, проведенной к основанию, равной 4, найдите радиус описанной окружности..

47. В треугольнике угол в два раза больше угла , а длина стороны равна 9. Найдите биссектрису этого треугольника, если ..

Планиметрия (часть С)

48. В треугольнике известны стороны , , . Окружность, проходящая через точки и , пересекает прямые BA и BC, соответственно, в точках и , оличных от вершин треугольника. Отрезок касается окружности, вписанной в треугольник . Найдите длину отрезка .

49. Дан треугольник со сторонами 13; 13 и 24. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

50. Дан ромб с диагоналями и . Проведена окружность радиусом с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину , касается этой окружности и пересекает прямую в точке . Найдите .

51. Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине равен . Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие – на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон вдвое больше другой.

52. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 9, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 4. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.

53. Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 24, а отношение катетов треугольника равно .

54. Окружность проходит через вершину прямого угла и пересекает его стороны в точках, удаленных от вершины на расстояния 6 и 8. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности .

55. Боковые стороны и трапеции равны 5 и 13 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 6, средняя линия трапеции равна 12. Прямые и пересекаются в точке . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник .

56. Прямая, содержащая биссектрису угла треугольника , пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке . Сторона и делит отрезок в отношении, равном 3:1, считая от точки . Найдите периметр треугольника .

57. Прямая, содержащая биссектрису угла треугольника , пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке , причем . Найдите отношение , где – центр окружности, вписанной в треугольник .

58. Прямая, содержащая биссектрису угла треугольника , пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке , причем . Найдите площадь треугольника , если и .

59. В параллелограмме , биссектрисы углов при стороне делят сторону точками и так, что . Найдите .

60. В окружность радиуса вписана трапеция с основаниями и . Найдите диагональ трапеции.

61. В окружность радиуса вписана трапеция с основаниями и . Найдите боковую сторону трапеции.

62. Две окружности с радусами 36 и 9 касаются внешним образом. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в окружность; касательную к двум данным окружностям и к их общей касательной.

63. В трапеции с основаниями и диагонали и пересекаются в точке так, что одна из них делится в отношении 1:2. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника равна 8.

64. Прямая касается двух окружностей с радиусами 4 и 8 в точках и соответственно. Найдите расстояние между центрами этих окружностей, если .

65. Точка –середина отрезка , длина которого равна 12. Проведены три окружности радиуса 10 с центрами в точках , и . Найдите радиус четвертой окружности, касающейся всех трех данных окружностей.

66. Расстояние между центрами двух окружностей равно 50. Одна из окружностей имеет радиус 25, вторая –30. Некоторая прямая пересекает меньшую окружность в точках и и касается большей в точке . Найдите длину хорды , если .

67. Две окружности с радиусами и () касаются в точке . Определите сторону равностороннего треугольника, одна из вершин которого находится в точке , а две другие лежат на разных окружностях, если , .

68. В треугольнике , , . Точка лежит на прямой так, что . Окружности, вписанные в каждый из треугольников и , касаются стороны в точках и . Найдите длину отрезка .

69. В трапеции точки , , , лежат соответственно на , , и так, что . Найдите , если , , , .

70. Трапеция вписана в окружность, расстояния от центра окружности до её оснований и равны 4 и 3 соответственно, синус угла равен 0,8. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон .

71. В треугольнике на стороне выбраны точки и так, что . Медиана пересекает прямые и в точках и cоответственно. Найдите отношение площади треугольника к площади треугольника .

Биссектриса треугольника пересекает медиану и биссектрису в точках и соответственно. Найдите отношение , если .

---

Дата добавления: 2015-09-29