Министерство образования и науки республики

Министерство образования и науки республики

казахстан

Казахский национальный технический университет имени

К.И.Сатпаева

Институт высоких технологий и устойчивого развития

Кафедра общей и теоретической физики

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Методические указания к лабораторному занятию по дисциплине

«Механика и молекулярная физика»

(для студентов 1 курса для всех специальностей КазНТУ)

Алматы 2013

6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы: изучение свободных гармонических колебаний, определение их характеристик, ознакомление с математическим маятником.

6.1 Теоретическое введение

Движение тела под действием одной только силы тяжести называется свободным падением, а ускорение, приобретаемое при этом, ускорением свободного падения или ускорением силы тяжести.

Под действием силы тяжести, определяемой из закона всемирного тяготения, тело массой падает на Землю с ускорением (второй закон Ньютона)

, (6.1)

где - масса Земли, - расстояние от тела до центра Земли, - радиус поверхности Земли, - расстояние от центра тяжести тела до поверхности Земли.

Из (6.1) следует, что

(6.2)

и не зависит от массы, размеров и других характеристик падающего тела, а зависит от географической широты и высоты поднятия тела над поверхностью Земли.

Значение ускорения вблизи поверхности Земли, рассчитанное теоретически равно

. (6.3)

Существует много способов экспериментального определения величины ускорения свободного падения. В данной работе ускорение рассчитывается из рассмотрения гармонических колебаний, совершаемых математическим маятником при малых углах отклонения от положения равновесия.

Математический маятник – идеализированная система, состоящая из материальной точки массой , подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, совершающая колебательное движение в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Небольшой тяжелый шарик массой , подвешенный на тонкой нити, длина которой намного больше размеров шарика, является хорошим приближением к математическому маятнику (рисунок 6.1).

В точке сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити . Это положение равновесия. При отклонении маятника (в точке ) силы и расположены под углом друг к другу. Разложим силу на

Рис.6.1

две составляющие силы и , направленные соответственно перпендикулярно нити и вдоль нее. Сила уравновешивается силой , а сила вызывает ускоренное движение шарика к положению равновесия. Точку шарик проходит по инерции, дальше движется замедленно, в точке останавливается и начинает движение в противоположную сторону. Таким образом, маятник совершает свободные (только под действием силы тяжести) колебания относительно положения

равновесия. Выведем уравнение этих колебаний. При малых углах отклонения маятника () дуга траектории шарика приближается к прямой линии и выполняются равенства

, (6.4)

где - отклонение шарика от положения равновесия. Из силового треугольника на рисунке 6.1 можно определить результирующую силу . С учетом (6.4) она равна

. (6.5)

Знак минус указывает на то, что сила направлена противоположно смещению шарика . По второму закону Ньютона

(6.6)

или

, (6.7)

где . (6.8)

Таким образом, при малых отклонениях от равновесного положения движение шарика описывается линейным, однородным дифференциальным уравнением второго порядка, общее решение которого имеет вид:

(6.9)

Рис.6.2

Смещение шарика изменяется со временем по синусоидальному закону, т.е. маятник совершает гармонические колебания, график которых представлен на рисунке 6.2.. Максимальное отклонение маятника а от положения равновесия называется амплитудой, величина , стоящая под знаком синуса, называется фазой колебаний, - начальной фазой (фаза в момент времени ),

- циклической частотой, которая связана с периодом колебаний Т (временем одного полного колебания) соотношением

. (6.10)

Из равенств (6.8) и (6.10) получаем:

. (6.11)

Откуда период колебаний математического маятника:

. (6.12)

Из (6.12) вытекает расчетная формула для экспериментального определения ускорения свободного падения

. (6.13)

Погрешность ускорения , определяемого косвенно по формуле (6.13), следует оценить путем дифференцирования натурального логарифма функции (см. формулу (1.16) лаб. раб. №1)

. (6.14)

Прологарифмируем выражение (6.13): .

Возьмем дифференциал натурального логарифма: .

Заменяя знак на и минус перед дифференциалом на плюс, получим

. (6.15)

Погрешность определения длины маятника зависит от точности отсчета по вертикальной шкале. Ее можно оценить в половину цены наименьшего деления шкалы, т.е. 0,5 см.

Рис.6.3

6.2 Выполнение работы Приборы и принадлежности: работа выполняется на математическом маятнике, общий вид которого представлен на рисунке 6.3. На основании (1) укреплена колонна (2) с двумя кронштейнами (3) и (4). На верхнем кронштейне на двух нитях (5) подвешен шарик (6). Положение кронштейна фиксируется затяжением воротка (7). Длину маятника можно регулировать с помощью воротка (8), а ее величину определять по шкале на колонне (2). На нижнем кронштейне установлен фотоэлектрический датчик (9), соединенный с секундомером(10). Кронштейн с датчиком можно перемещать вдоль колонны и фиксировать в любом положении.

6.2.2 Порядок выполнения работы

1) Установить необходимую длину маятника (). Значение занести в таблицу 7.1;

2) Установить нижний кронштейн с фотодатчиком так, чтобы черта на шарике была продолжением черты на корпусе датчика;

3) Подключить прибор к питающей сети, нажав кнопку «сеть»;

4) Нажать кнопку «сброс» - обнулить секундомер;

5) Отклонить маятник на угол от положения равновесия и отпустить;

6) После совершения маятником колебаний ( задается преподавателем), нажать кнопку «стоп»;

7) Секундомер замерит время колебаний. Значения и занести в таблицу;

8) Повторить измерение времени 5 раз;

9) Вычислить значения , и ;

10) Определить период колебаний по формуле и погрешность определения периода ;

11) По формуле (6.13) вычислить ускорение свободного падения .

12) По формулу (6.15) вычислить относительную погрешность измерений ;

13) Абсолютную погрешность рассчитать по формуле (6.14) ;

14) Окончательный результат представить в виде:

Таблица 6.1

7.3 Контрольные вопросы

1 Ускорение свободного падения.

2 Гармонические колебания. Дифференциальное уравнение свободных колебаний. График гармонических колебаний. Период, амплитуда, фаза, циклическая частота.

3 Математический маятник. Вывод формулы периода колебаний математического маятника.

4 Порядок выполнения работы.

Дата добавления: 2015-09-29