4.5. Вейвлет-преобразование

4.5. Вейвлет-преобразование

4.5.1. Вейвлет-преобразование аналогового сигнала

Недостатком прямого преобразования Фурье при анализе спектра сигнала является невозможность оценить характер изменения спектра во времени, т.к. при определении спектральной плотности интегрирование по времени осуществляется в пределах от до .

.

На рисунке 1 показан дискретный сигнал, представляющий собой сумму двух синусоидальных колебаний с одинаковыми амплитудами, но разными частотам, отличающимися друг от друга в 6 раз, и их спектр, полученный методом БПФ.

Рисунок 1 – Сигнал в виде суммы двух синусоидальных колебаний и его спектр

На рисунке 2 приведены те же синусоидальные колебания, но действующие поочередно, и их спектр

Рисунок 2 – Сигнал, образованный двумя синусоидальными колебаниями, действующими поочередно, и его спектр

Из сравнения этих рисунков следует, что сигналы, существенно отличающиеся друг от друга, имеют практически одинаковый спектр, полученный методом ДПФ.

Этот недостаток частично устраняется при использовании оконного преобразования Фурье, которое определяется следующим соотношением

,

где - оконная функция, - временной сдвиг оконной функции относительно начала координат (t = 0).

Рисунок 3 – Анализируемый сигнал и оконная функция

Типичной оконной функцией является функция Гаусса

.

С помощью оконой функции оценивается спектр сигнала на ограниченном временном интервале, а перемещение окна позволяет выявить временные характеристики спектра. Однако при использовании оконного преобразования Фурье возникает проблема выбора ширины окна. При малой ширине окна получается хорошее временное разрешение, но плохое частотное, при широком окне – наоборот. Возможности изменения ширины окна это преобразование не предоставляет. Кроме того базисными функциями оконного преобразования, как и обычного преобразования Фурье остаются гармонические функции, которые хорошо описывают плавно изменяющийся сигнал, но плохо приспособлены для выделения скачков сигнала.

Указанных недостатков лишено вейвлет-преобразование. Непрерывное вейвлет-преобразование аналогового сигнала x(t) определяется следующим соотношением

, где - вейвлет.

В обозначении функции нижний индекс x соответствует анализируемой функции x(t), а верхний индекс – вейвлету .

Слово «вейвлет» означает маленькая волна. Эта волна имеет конечную длительность и может рассматриваться как оконная функция.

Параметры этой функции:

- параметр сдвига относительно начала координат, s – параметр масштаба, определяющий ширину вейвлета. Большие значения масштаба позволяют получить глобальное представление о сигнале, а малые значения позволяют различать детали.

При и s = 1 вейвлет называется материнским вейвлетом

Материнский вейвлет должен удовлетворять условию

Существует большое количество различных вейвлетов. На рисунках 4 и 5 показан вейвлет «Мексиканская шляпа» при различных значениях параметров и s.

Рисунок 4 – Вейвлет “Мексиканская шляпа” при разных значениях параметра s

Рисунок 5– Вейвлет “Мексиканская шляпа” при разных значениях параметра

Процедура анализа сигнала стартует с масштаба s = 1. Вейвлет сначала помещается в начало координат, умножается на сигнал и результат умножения интегрируется на всем временном интервале. Затем он сдвигается вправо на величину τ и описанная процедура повторяется. Затем масштаб увеличивается и снова осуществляется перемещение вейвлета вдоль оси времени.

Значение s = 1 соответствует сжатому вельвету и позволяет выявить высокочастотные составляющие сигнала. Большие значения масштаба выделяют низкочастотные составляющие сигнала.

4.5.2.Дискретизация непрерывного вейвлет-преобразования

Для осуществления непрерывного вейвлет-преобразования на ЭВМ необходимо задавать дискретные значения параметров вейвлета s и .

Рисунок 6– Частотно-временная плоскость

По оси ординат вместо s для удобства отложена величина логарифма s по основанию 2.

Интуитивно понятно, что чем шире вейвлет, тем больше можно выбрать шаг изменения .

На рисунке s = 1,2,4,8.., и при каждом удвоении масштаба интервал дискретизации также увеличивается в 2 раза.

Плоскость, представленную на рисунке, принято называть частотно-временной плоскостью, т.к. масштаб s связан с частотой анализируемого сигнала: большему масштабу соответствуют более низкие частоты.

Рисунок 7 – Вейвлет-преобразование сигнала, представленного на рисунке 1

На рисунке 7 показаны сигнал и его вейвлет-преобразование. Вейвлет-преобразование представлено в трехмерной системе координат и картой линий уровня в системе координат «сдвиг-частота» с учетом того, что уменьшению масштаба соответствует увеличение частоты.

Линией уровня называется линия вдоль которой величина функции, заданной на плоскости двух переменных, остается постоянной.

Одновременному существованию двух синусоидальных колебаний соответствует однородная во времени структура вейвлет-преобразования с выраженными периодами, соответствующими низкочастотной и высокочастотной синусоидам.

На рисунке 8 показано вейвлет-преобразование сигнала рисунка 2.

Рисунок 8 – Вейвлет-преобразование сигнала рисунка 2

Переходу от низкочастотной в высокочастотной синусоиде соответствует резкое изменение во времени структуры вейвлет-преобразования. Таким образом, информативность вейвлет-преобразования значительно выше информативности преобразования Фурье.

4.5.3. Дискретное вейвлет-преобразование

При дискретном вейвлет – преобразовании частотно-временное представление сигнала получается с использованием методов цифровой фильтрации и субполосного кодирования.

Рисунок 9 – Алгоритм реализации дискретного вейвлет-преобразования

Входной сигнал , спектр которого находится в интервале Котельникова от 0 до поступает на фильтры верхних и нижних частот, на выходах которых ширина спектра в два раза уже по сравнению с шириной спектра на входе.

Это позволяет выполнить прореживание отсчетов выходных сигналов фильтра с коэффициентом 2, т.е. уменьшить частоту дискретизации в два раза. На выходе прореживателя ФВЧ верхнего уровня получают коэффициенты дискретного вейвлет-преобразования (ДВП) первого уровня.

С выхода прореживателя ФНЧ сигнал поступает на входы ФНЧ и ФВЧ второго уровня. На их выходах действует сигнал с шириной спектра , что позволяет уменьшить частоту дискретизации еще в два раза. На выходе прореживателя ФВЧ второго уровня получаются коэффициенты ДВП второго уровня. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будут пройдены все наперед заданные уровни анализа сигнала.

При непрерывном вейвлет-преобразовании изменялся масштаб окна анализа. При дискретном вейвлет-преобразовании изменяется частота среза фильтра.

На рисунке 10 показан зашумленный сигнал x_n, и вейвлет-коэффициенты с первого по шестой уровень (D1_n..D6_n). Из рисунка 10 видно, что коэффициенты D1_n и D2_n отражают шумовой сигнал, поэтому, если их приравнять нулю и выполнить обратное вейвлет-преобразование, то можно существенно ослабить шумы.

Дата добавления: 2015-09-29