Федеральное агентство связи

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Московский технический университет связи и информатики

Волго-Вятский филиал

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1–1

Механический удар

для студентов по направлению «Телекоммуникации»

Нижний Новгород 2008

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

Механический удар

Составитель Б.М. Горюнов.

Научный редактор Н.Ф. Перепеченков

Издание одобрено на заседании кафедры «___» _____________ 200__ г.

Протокол № ____

Цель работы: ознакомиться с элементами теории механического удара и экспериментально определить времяудара τ, среднюю силуудара F, коэффициентвосстановления ξ.

Практическая ценность работы: в работеизучается экспериментальный метод измерениявременных интервалов порядка 10^-5 с, атакже методыобработки экспериментальных данных.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1. Основные характеристики удара

Ударом называется изменение состояния движения тела вследствие кратковременного взаимодействия его с другим телом. Во время удара оба тела претерпевают изменения формы (деформацию).

Сущность удара заключается в том, что кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел за короткое время преобразуется в энергию упругой деформации и в той или иной степени в энергию молекулярного движения. В процессе удара происходит перераспределение энергии между соударяющимися телами.

Процесс удара можно разделить на две фазы. В течение первой фазыпроисходит сближение тел: при этом кинетическая энергия системы тел уменьшается, относительная скорость убывает до нуля. Вслед за этим наступает вторая фаза удара: тела начинают удаляться друг от друга, восстанавливая свою форму, кинетическая энергия и относительная скорость возрастают. Когда тела отдаляются, процесс удара заканчивается.

Наблюдения показывают, что относительная скорость после удара не достигает своей прежней численной величины. Это объясняется тем, что на практике мы никогда не имеем дело с идеально жесткими телами и идеально гладкими поверхностями.

Рис. 1

Пусть на поверхность падает шар с некоторой скоростью и отскакивает от нее со скоростью (рис. 1). Обозначим: , , , – нормальные и тангенциальные составляющие скоростей и , а β₁ и β₂ – соответственно углы падения и отражения. В идеальном случае, при абсолютно упругом ударе и идеально гладкой поверхности, нормальные составляющие скорости падения и отраженияи их касательные составляющие были бы равны = ; = . Это означало бы, что скорость шара до удара равна его скорости после удара = , а также угол падения равен углуотражения β₁=β₂. В условиях реального ударавсегда происходит потеря энергии, вследствие чего как нормальные, так итангенциальные составляющие скорости после удара уменьшаются: < ; < . Отношение численной величины нормальной составляющейотносительнойскорости после ударе кее величине до удараесть физическая характеристика,зависящая от природы сталкивающихся тел,

. (1)

Эту характеристику ε называют коэффициентом восстановления. Числовое значение его лежит между 0 и 1.

2.2. Определение средней силы, начальной и конечной скоростей шарика при ударе

Экспериментальная установка состоит из стального шарика А, подвешенного на проводящих нитях, инеподвижного тела В большой массы, с которой шарик соударяется (рис. 2). Угол отклонения подвеса α измеряется по шкале. В момент удара на шар массой т действует сила тяжести со стороны Земли , сила реакции со стороны нити , средняя сила удара со стороны тела В. На основании теоремы об изменении импульса материальной точки

т ( – ) = ( + + )τ, (2)

где и – векторы скоростей шара до и после удара; τ – длительность удара.

После проектирования уравнения (2) на горизонтальную ось х определим среднюю силу удара F:

. (3)

Скорости шарика и определяются на основании теоремы об изменении механической энергии системы «шар–Земля». Изменение механической энергии системы определяется суммарной работой всех внешних и внутренних непотенциальных сил. Поскольку внешняя сила , перпендикулярна перемещению и нить нерастяжима, то эта сила работу не совершает, внутренняя же сила потенциальна, поэтому энергия системы «шар–Земля» не меняется,

. (4)

Из чертежа (рис. 2) следует, что и тогда из уравнения (4) получим значения начальной и конечной скоростей шарика:

. (5)

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

2.1. Метод определения длительности удара

В данной работе длительность удара шарика о плиту определяется частотомером ЧЗ-54, функциональная схема которого представлена на рис. 3. Генератор Г подает на вход системы управления СУ импульсы с периодом Т. Система управления пропускает эти импульсы на вход счетчика импульсов Се только в интервале времени τ, при котором шарик А контактирует с плитой В. Число импульсов, зарегистрированных за время τ, равно п = τ/ Т,откуда τ = п · Т. Таким образом, чтобы определить длительность удара τ,необходимо число импульсов, зарегистрированных счетчиком, умножить на период импульсов, подаваемых генератором Г. Сброс показаний частотомера осуществляется нажатием кнопки ПУСК.

2.2. Порядок выполнения работы.

Задание №1

1. Включить шнур питания частотомера ЧЗ-54 в сеть переменного напряжения 220 В.

2. Нажать кнопку ПУСК, при этом показания частотомера устанавливаются в нулевое положение.

3. Соблюдая осторожность в обращении с шариком и проводкой к нему, отвести нить с шариком на заданный угол α₁.

4. Отпустить шарик и отметить угол максимального отклонения нити α₂ после удара. При этом рукой следует поймать шарик, чтобы исключить возможность повторного удара его о тело В.

5. Для каждого из пяти значений α₁ (20^о, 30^о, 40^о, 50^о, 60^о) проделать опыт по 10 раз, результаты занести в таблицу 1.

Таблица 1

α1	20^о	30^о	40^о	50^о	60^о
№ опыта	τ i	α2 i	τ i	α2 i	τ i	α2 i	τ i	α2 i	τ i	α2 i

Примечание: буквой τ _i обозначено время удара в i- м опыте.

6. Используя программируемый микрокалькулятор, рассчитать для каждого значения α₁:

а) скорости шарика до удара и после удара ,

б) среднее значение силы удара < F >,

в) среднюю длительность удара <τ>‚

г) коэффициент восстановления ε,

д) погрешности измеренных и вычисляемых величин.

Инструкция по использованию микрокалькулятора приложена к микрокалькулятору.

7. Результаты расчетов занести в таблицу 2.

Таблица 2

α1	< F >			<τ>	ε	Δ F	Δ	Δ	Δτ	Δε
20^о
–//–
60^о

8. По полученным данным построить графики зависимостей <τ>; < F >; ε от .

ЗАДАНИЕ НА УИРС

3.1. Дополнительные теоретические сведения. Уравнение баланса энергии

Опыт показывает, что время удара шарика о плиту зависит от его скорости. Найдем эту зависимость. Рассмотрим удар двух тел, движущихся по линии, соединяющей их центры инерции (О₁ и О₂) со скоростями и . Относительная скорость тел будет

= – (6)

и движение можно рассматривать в системе координат, движущейся со скоростью (рис. 4). В некоторый момент времени тела коснутся друг друга, при этом направлении нормали к плоскости касания параллельно относительной скорости. Если нормаль проходит через центры инерции, то произойдет явление прямого центрального удара. Тела начнут деформироваться, при этом часть кинетической энергии относительного движения перейдет в потенциальную энергию деформации, другая часть в энергию упругих волн, распространяющихся по обоим телам от места соударения.

Промежуток времени, в течение которого тела касаются друг друга, назовем временем удара τ. Очевидно, что τ = τ₁ + τ₂, где τ₁ – длительность первого акта удара (от момента касания до момента наибольшего сжатия тел); τ₂ – длительность второго акта (от момента наибольшего сжатия до момента рассоединения тел). В случае абсолютно упругого удара (без диссипации энергии механического движения) . Поэтому для анализа явления удара достаточно рассмотреть только первую половину удара.

Обозначим массы тел через т ₁и т ₂, тогда общая скорость в момент наибольшего сжатия по закону сохранения импульса будет

. (7)

К этому моменту времени кинетическая энергия системы уменьшится на величину

. (8)

Назовем величину х = ε₁ + ε₂ сближением тел в произвольный момент времени t (внутри интервала 0< t <τ₁), где ε₁ и ε₂ – абсолютные деформации тел вдоль линииудара, и относительной скоростью сближения величину

. (9)

Тогда потерянная системой кинетическая энергия от момента t до момента t = τ₁ будет

. (10)

В уравнении (10) учтено, что массы областей деформации Δ т _1,2<< т _1,2­ масс соударяющихся тел и что протяженность областей деформации ε₁ и ε₂ много меньше протяженности тел вдоль линии удара.

Кинетическая энергия, потерянная при движении от момента первого касания (t = 0)до момента t

. (11)

Одна часть этой энергии перешла в потенциальную энергию деформации П, другая – в энергию упругих колебаний Е, иуравнение баланса энергии системы имеет вид

Δ Т = П + Е. (12)

Обозначим через F упругую силу давления одного тела на другое, тогда

. (13)

На основе решения основных уравнений упругого равновесия, учитывающихвсе виды деформаций, Г. Герц показал, что дляабсолютно упругого удара двух шаров в квазистатическом приближении

F = k · x ^3/2 и , (14)

где k = const, определяемая выражением

. (15)

Здесь Е ₁и Е ₂ – модули Юнга, μ₁ и μ₂ – коэффициенты Пуассона, R ₁ и
R ₂ – радиусы шаров.

Если материал соударяющихся тел одинаково: Е ₁ = Е ₂= Е, μ₁ = μ₂ = μ, а R ₂→∞ (удар шара о плоскость), то постоянная k принимает вид

. (16)

Тогда уравнение (12) может быть переписано в виде

. (17)

Релей [2] показал, что отношение энергии Е к кинетической энергии системы определяется равенством

. (18)

Поскольку скорость звука υ _зв >> υ, то, как следует из (18), величиной Е по сравнению с Δ T_max можно пренебречь.

В случае удара шара о стенку из того же материала, масса которой
т ₂>> т ₁, если принять, т ₁ = т ₂, уравнение баланса энергии (17) преобразуется квиду

или . (19)

В момент окончания первого акта удара скорость относительного сближения тел х обращается в нуль, х = 0 тогда, как видно из (19) и (14),максимальное значение сближения инаибольшая упругая сила, действующая на тела, будут иметь значения

, . (20)

3.2. Определение времени удара

Найдем теперь время абсолютно упругого удара. Из уравнения (19) имеем

,

откуда

. (21)

Введем обозначение σ = х / х_max, тогда уравнение (21) перепишется в виде

.

Последний интеграл вычисляется через Г –функции и имеет значение

, .

После этого для времени удара шарика оплиту получим выражение

. (22)

Подставляя х_max и k из (20) и (16) в (22), а также учитывая, что масса шарика может быть выражена через его плотность т = 4/3π R ³ρ, окончательно получим

, (23)

откуда

(24)

Отметим, что в эксперименте τ₁ ≠ τ₂, что обусловлено диссипацией энергии, а также передачей импульса стенке, масса которой имеет конечную величину. Модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона μ в (24) соответствуют адиабатному удару. Значения адиабатного модуля Юнга Е _ад и адиабатного коэффициента Пуассона μ_ад могут быть рассчитаны через соответствующие изотермические значения по формулам

; , (25)

где α – коэффициент теплового расширения тела,

Т – температура тела,

С _р - теплоемкость единицы объема вещества при постоянном давлении.

Изотермические значения Е _из и μ_из берут из таблиц.

3.3. Задание №2

1. Построить теоретическую зависимость τ = τ(υ), используя формулу (23), и сравнить ее с ранее полученной экспериментальной зависимостью.

2. Из формулы (20) определить наибольшую силу давления соударяющихся тел F_max и наибольшее сближение тел х_max.

3. Рассчитать по формуле (24) модуль Юнга, используя уточнения (25), взятые для стали.

РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЯЕМЫХ ВЕЛИЧИН

Расчет погрешностей прямых измерений производится по формулам

, (26)

где

– среднеквадратичное отклонение угла α,

, п – число измерений величины α,

t_β (n) – коэффициент Стьюдента,

δ_α = 2,5^о – приборная погрешность измерения угла α.

Аналогично

.

Для расчета погрешности косвенных измерений используется формула

, (27)

где

f = f (x ₁, x ₂, … x_i, … x_m) – физическая величина, косвенно измеряемая через физические величины x_i,

– частная производная величины f по переменному x_i,

Δ x_i – абсолютная погрешность величины x_i, определяемая по формуле (26) или (27) в зависимости от характера ее измерения (прямо или косвенно) в данной работе. Например, скорость шарика вблизи плиты определяется формулой (5)

.

Тогда

,

где

частные производные функции (5) υ = υ (g, l, α), Δg, Δ l и Δα – абсолютные погрешности табличных величин g и α и прямого измерения угла α.

Можно записать абсолютную погрешность скорости

(здесь Δα безразмерная величина в радианах).

Рабочая формула (3) косвенного измерения силы взаимодействия шарика с плитой

.

Тогда

,

где

Можно записать абсолютную погрешность в виде

И для коэффициента восстановления по формуле (1)

.

Здесь

,

где

.

Тогда

.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Две формулировки 2-го закона Ньютона.

2. Теорема об изменении и закон сохранения импульса системы тел.

3. Консервативные и неконсервативные системы.

4. Теорема об изменении и закон сохранения механической энергии.

5. Удар упругий и неупругий.

6. Метод определения времени и силы взаимодействия при ударе шарика о плиту в данной работе.

Литература

1. Пановко Я.Г. Введение в теорию механического удара. – М.: Наука, 1977.

2. Динник А.Н. Избранные труды. Т.I. Киев: Изд-во АН УССР, 1952.

3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Академия, 2007.

---

Дата добавления: 2015-09-29