Пусть задана функция z = f ( x , y ); тогда, если функция дифференцируема, её приращение можно выразить как

Пусть задана функция z = f (x, y); тогда, если функция дифференцируема, её приращение можно выразить как

,

где изменение функции; изменение первого фактора;

изменение второго фактора;

бесконечно малая величина более высокого порядка, чем .

Эта величина в расчётах отбрасывается (её часто обозначают - эпсилон).

Влияние фактора x и у на изменение z определяется как

и ,

а их сумма представляет собой главную, линейную относительно приращения фактора часть приращения дифференцируемой функции.

Следует отметить, что параметр мал при достаточно малых изменениях факторов и его значения могут существенно отличаться от нуля при больших изменениях факторов.

Так как этот метод даёт однозначное разложение влияния факторов на изменение результирующего показателя, то это разложение может привести к значительным ошибкам в оценке влияния факторов, поскольку в ней не учитывается величина остаточного члена, т.е. .

Рассмотрим применение метода на примере конкретной функции: z = xy. Пусть известны начальные и конечные значения факторов и результирующего показателя (x ₀, y ₀, z ₀, x ₁, y ₁, z ₁), тогда влияние факторов на изменение разультирующего показателя определяется соответствующими формулами

,

Легко показать, что остаточный член в линейном разложении функции z = xy равен . Действительно, общее изменение функции составило x ₁ y ₁ – x ₀ y ₀, а разность между общим изменением и вычисляется по формуле

.

(1)

(2)

(3)

где I ^N – общий индекс изменения объёма продаж продукции;

I ^R – индивидуальный (факторный) индекс изменения численности работающих;

I ^D – факторный индекс изменения производительности труда реботающих;

D ₀, D ₁ – среднегодовая выработка продукции на одного работающего соответственно в базисном и отчётным периодах;

R ₀, R ₁ – среднегодовая численность персонала соотвестственно в базисном и отчётном периодах.

где - абсолютный прирост объёма продукции в анализируемом периоде.

.

.

Факторную систему z = xy можно представить

в виде lg z = lg x + lg y, тогда

= lg z ₁ – lg z ₀ = (lg x ₁ – lg x ₀) + (lg y ₁ – lg y ₀)

или

,

где: lg z ₁ = lg x ₁ + lg y ₁;

lg z ₀ = lg x ₀ + lg y _0.

Разделив обе части формулы на и умножив на , получим:

, (4)

или

,

где

, или .

, (5)

где , или .

Дата добавления: 2015-09-29