Блок №3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Блок №3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Цель работы: научиться решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Зейделя с помощью ЭВМ.

Содержание работы:

1. Изучить методы простых итераций и Зейделя для решения СЛАУ.

2. На конкретном примере усвоить порядок решения СЛАУ с помощью ЭВМ указанными методами.

3. Составить программу и с ее помощью решить СЛАУ с точностью

ɛ= 0.001.

4. Изменить ɛ=ɛ/10 и снова решить задачу. Сделать вывод о влиянии точности на количество итераций.

5. Составить отчет о работе.

Решение:

При решении данной системы средствами MS Excel по методу Крамера получаем значения:

Решим систему методом простых итераций. Из системы видно, что модули диагональных коэффициентов в каждом уравнении отличны от нуля и больше суммы модулей всех остальных коэффициентов, не считая столбца свободных членов.

Разделив каждое уравнение системы на соответствующий диагональный коэффициент, сформируем столбец в левой части и перенесем остальные слагаемые в правую часть и получим рабочие формулы МПИ вида:

где k=0,1,2…

Начальное приближение обычно выбирают равным столбцу свободных членов преобразованной системы . Процесс заканчивается при одновременном выполнении трех условий:

, , .

В этом случае значения являются приближенными значениями решения СЛАУ.

Метод Зейделя. Более быструю скорость сходимости имеет метод Зейделя, в котором найденное -е приближение сразу же используется для получения -го приближения последующих координат (Рис.1).

Рабочие формулы метода Зейделя запишутся так:

где k=0,1,2…

Условия выхода итерационного процесса и выбор начального приближения аналогичны МПИ.

Блок-схема метода простых итераций и метода Зейделя приведена на рисунке 2.

Рис.1 Схема МПИ и метода Зейделя.

Тексты программ:

1) МПИ:

Program P5;

uses Crt;

var n:integer;

x0,x,xn,y0,y,yn,z0,z,zn,eps,rx,ry,rz:real;

begin

clrscr;

n:=0; x0:=1; x:=x0; y0:=-0.6; y:=y0; z0:=0.2; z:=z0; eps:=0.001;

writeln (' n x(i) x(i-1) RAZ(x) y(i) y(i-1) RAZ(y) z(i) z(i-1) RAZ(z)');

repeat

xn:=1-(1/6)*y+(5/12)*z;

rx:=x;

yn:=-0.6+0.6*x+0.1*z;

ry:=y;

zn:=0.2-0.2*x+0.2*y;

rz:=z;

writeln (n:3, x:8:4, xn:8:4, (xn-x):8:4, y:8:4, yn:8:4, (yn-y):8:4, z:8:4, zn:8:4, (zn-y):8:4);

x:=xn;

y:=yn;

z:=zn;

n:=n+1;

until (abs(x-rx)<=eps) and (abs(y-ry)<=eps) and (abs(z-rz)<=eps);

readln;

end.

2) Метод Зейделя:

Program P5; {Zeydel}

uses Crt;

var n:integer;

x0,x,xn,y0,y,yn,z0,z,zn,eps,rx,ry,rz:real;

begin

clrscr;

n:=0; x0:=1; x:=x0; y0:=-0.6; y:=y0; z0:=0.2; z:=z0; eps:=0.001;

writeln (' n x(i) x(i-1) RAZ(x) y(i) y(i-1) RAZ(y) z(i) z(i-1) RAZ(z)');

repeat

xn:=1-(1/6)*y+(5/12)*z;

rx:=x;

yn:=-0.6+0.6*xn+0.1*z;

ry:=y;

zn:=0.2-0.2*xn+0.2*yn;

rz:=z;

writeln (n:3, x:8:4, xn:8:4, (xn-x):8:4, y:8:4, yn:8:4, (yn-y):8:4, z:8:4, zn:8:4, (zn-y):8:4);

x:=xn;

y:=yn;

z:=zn;

n:=n+1;

until (abs(x-rx)<=eps) and (abs(y-ry)<=eps) and (abs(z-rz)<=eps);

readln;

end.

Результаты отработки программы:

· Рис.2 (а,б)– программы, работающей по методу простых итераций;

· Рис.3(а,б) – программы, работающей по методу Зейделя.

а) ɛ=0,001 Ответ: х(11)≈0.9999, y(11)≈1.0001, z(11)≈0.9998.

а) ɛ=0,0001 Ответ: х(14)≈1,0000, y(14)≈ 1,0000, z(14)≈ 1,0000.

Рис.2. Ответ: х(10)≈0.9999, y(10)≈-1.0001, z(10)≈0.9998.

Рис.2. Ответ: х(5)≈1.0001, y(5)≈0.0000, z(5)≈-0.0000.

Дата добавления: 2015-09-29