Тема: Натуральное число как мера величины.

Тема: Натуральное число как мера величины.

1. понятие положительной скалярной величины и ее изменения. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины.

2. свойства величины.

3. геометрические величины (длина отрезка, площадь фигуры, объем, масса предмета, время).

4. Использование данных понятий в начальном курсе математике.

На какие две группы можно разбить записи?

50,74 см 3,4 кг, 17 л, 164

Каков теоретике - множественный смысл натурального числа 3? (количественная характеристика множества). Что же такое величина?

Понятие величины, так же как и число, является основным в начальном курсе математики. Понятие «число» и «величина» тесно связаны между собой, но различные по своей сути понятия. Чтобы сформировать у учащихся представления о числе, о величинах (длина, масса) учителю начальных классов необходимо знать, как связаны эти понятия смысл каждого понятия и различие.

Понятие «величина» - это одно из основных понятий не только в математике, но и в других науках. Понятие «величина» формировалось постепенно. Впервые это понятие пытался определить древний философ Аристотель (4-й в. до н.э.). «То или иное количество есть множество, если его счесть, т.е. пересчитать или есть величина, если можно измерить».

В «Началах» Евклида (3 в. до н.э) нет определения величины, но отчетливо сформулированы некоторые свойства величин в виде аксиом.

В настоящее время в математике определилось несколько подходов к понятию скалярной величины. Далее признание завоевала система аксиом, определяющая косвенно понятие «величина» через её свойства по Колмогорову.

Задание: Показать два карандаша и попросить охарактеризовать их (назовите свойства этих объектов).

- Чем свойство «имеет длины» отличается от другого свойства этого предмета деревянный, (Это свойство позволяет сравнивать предметы). Оно позволяется, когда объекты сравниваются по их протяженности.

Величины — это особые свойства окружающих нас предметов и явлений, которые проявляются при сравнении предметов и явлений по этому свойству (Длина, масса, ёмкость, площадь, время).

Величины, которые выражают одно и то же свойство объектов некоторого множества, называются величинами одного рода или однородными величинами.

Пример. Длина стола и длина комнаты - это величины одного рода.

Величины, которые выражают различные свойства объектов называют разнородными величинами.

Пример. Длина стола и масса стола - разнородные величины.

Мы установили, что объекты (предметы, явления), могут обладать особыми свойствами, которые называются величинами. Чтобы свойство можно было считать величиной, оно должно удовлетворять ряду условий.

Общие свойства однородных величин

1. Любые две величины одного рода сравнимы: они либо равны, либо одна
меньше другой.

а, в а = в

а > в

а < в

а - масса арбуза, в - масса яблока; а>в

2. Величины одного рода можно складывать, получим величину того же
рода.

ав с = а + в

Пр. а - масса арбуза, в - масса яблока, то с = а + в - масса арбуза и яблока.

Сложение величины коммунитативно и сониативно

авс а + в = в + с, а + (в + с) = (а + в) + с

3. Величины одного рода можно вычитать, получим величину того же рода
Определяют вычитание величин через сложение. Разность величин
существует тогда и только тогда, когда а > в

а>в 3 с =а - в

4. Величину можно умножить на положительное действительное число,
получим величину того же рода. (В математике принято при записи
произведения величины а на число ж, число писать перед величиной).

а и х > 0 в = Xxа

Пр. а - время, отведенное на 1 урок x= 3

в= 3 а - время, отведенное на три ypoка.

5. Величины одного рода можно делить, получая в результате число.

V ав; а: в = х

число x называют отношением величин а и в и записывают в виде = х

Пр. а- длина отрезка

Отношение длины отрезка АС к длине отрезка АВ равна 2

В
А С

в

Некоторые разнородные величины умножаются и делятся, получают в

результате величину третьего рода

Пр. Расстояние разделить на скорость получим время.

Величины, как свойство объектов, обладает еще одной особенностью

- Их можно оценить количественно. Для этого величину надо примерить. Чтобы осуществить измерение из данного рода величин выбирают величину, которую называют единицей измерения. (Мы будем обозначать её буквой е), а затем сравнивают данную величину а с выбранной единицей величины.

Если задана величина а и выбрана единица величины е (того же рода), то измерить величину а - это, значит, найти такое положительное число х, что а = ж х е.

Число х называют численным значением величины а при единице величины е. оно показывает, во - сколько раз величины е, принятой за единицу измерения

х = т_е (А)

х — мера величины а при единице е

Исходя из понятия измерения следует единица длины.

1. Любую величину можно представить в виде произведения числа и
единицы величины.

Пр. а - длина стола, а =7 ручек

2. Можнообосновать процесс перехода от одной единицы величины к
другой.

Пр. Выразить ч в минутах

ч = x 60= мин = 25 мин

3. Изменение величин позволяет перейти от сравнения величин к сравнению чисел, от действия над величинами к соответствующим действиям над числами и наоборот.

а) а = в m_е (а) = m_е (в)

а < в m_e (а) < m_e (в)

а > в m_e (а) > m_e (в)

Пр. а = 5 кг, в = 3 кг., а > в, т.к. 5 > 3

а - масса арбуза, в - масса яблока

б) с = а + в т_е (с) = т_е(а) + <-» т_е (в)
Пр. если а = 5 кг., в = 3 кг.

а + в = 5 кг + 3 кг = (5 + 3) кг = 8 кг

в) с = а - в m_e (с) = m_e (а) - m_e (в)

Пр. если а = 5 м в = 3 м, то а - в = 5м - Зм = (5 - 3) м = 2 м

г) а = х х в m (а) = х m_e (в)

Пр. Если масса а = 40 кг, масса в в три раза больше, массы а, то в = 2 кг х 3 = (2x3) кг = 6 кг

д) а: в = x m_e (а): m_e (в) = х

Пр. Если а=8м в = 4м, то а: в = 8м: 4м = (8: 4) м = 2

4. При замене единицы величины численное значение (мера) величины увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой. Доказательство:

Пусть величина а измерена, т.е. а= х*е⁽¹⁾, где x=m_e(A), e - единица

величины. Заменим единицу величины е на е где е =ke, тогда е = = e1

Представим в выражении (1) вместо е выражение e1, получим а = х *( e1)

Итак, новая единица величины e_t > е в к раз мера величины уменьшилось в к раз.

Пр.Выразить в дм.
40 см = 4 дм Новая единица длины в 10 раз больше старой, значит

3 м = 30 дм численное значение величины уменьшилось в 10 раз.

Новая единица меньше старой, значит численное значение увеличилось в 10 раз. Пр. Длина отрезка 4,6 е. Каким будет численное значение длины этого отрезка, если единицу длины е

1. увеличить в 2 раза; (2,3)

2. уменьшить в 3 раза (13,8)

Человек давно осознал необходимость измерять разные величины, причем измерять как можно точно. Бурное развитие науки и производства в XX веке привело к тому, что к 50 годам возникло множество различных систем единиц величин. Обилие единиц измерения (Англия, единица

измерения длины фут (ступня); Россия - аршин, локоть, шаг; Голландия -дюйм).

Сложная зависимость между ними приводили к путанице, особенно при торговле между государствами, при обмене научными знаниями. Назрела необходимость в создании Международной системы мер. Собравшаяся в Париже в 1960 году XI генеральная конференция по мерам и весам, утвердила новую Международную систему единиц, си. (в русской транскрипции си означает «система интернациональная», читается «эс - и»).

В этой системе 7 основных единиц (метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль, кандела) и две дополнительные единицы (радиан и стерадиан).

Были изготовлены платиновые эталоны метра и килограмма. Метр представляла линейка со штрихами, на концах, килограмм - цилиндрическая гиря. Эти эталоны находятся на хранении в национальном архиве Франции («архивный метр», «архивный килограмм»).

Из основных единиц образуют другие единицы величин с помощью приставок «кило», «санти», «деце», «микро».

Комитет по мерам и весам единицы величин, применяемые в нашей стране, их наименование, обозначения, правила применения устанавливаются государственным стандартом. В соответствии с ним используется международная система единиц и группа внесистемных единиц. Для массы -тонна, для времени - минута, час, сутки, неделя, месяц, год, век; для площади - га; для температуры - градус Цельсия - с°.

Такие единицы, как центнер (для массы) и ар (площади) изъяты из употребления согласно ГОСТу.

Следует обратить внимание на правильное употребление терминов, связанных с единицами величины.

Эти правила установлены гостом так, вместо термина «единица величины» не допускается применять термин «единица измерения величины».

Следовательно, надо говорить и писать: «Метр ~ единица длины», «грамм - единица массы», «час - единица времени».

Определение: Если при выбранной единице измерения скалярная величина принимает только положительные численные значения, то её называют положительной скалярной величиной.

Величины, которые определяются через длину, массу, время, называют производными величинами (площадь, объем, скорость).

Кроме скалярных величин, в математике рассматривают еще векторные величины.

Векторная величина определяется не только её численным значением, но и направлением.

Векторными величинами являются сила, ускорение, напряженность электрического поля и др.

Мы будем рассматривать в нашем курсе только положительные скалярные величины.

Величина, так же как и число, является основным понятием математики начальных классов

В 1 -4 классах формируются представления о таких величинах, как длина, масса, время, площадь, объем. В процессе решения задач они знакомятся с величинами: цена, количество, стоимость, скорость, производительность и так далее. Изучение величины связано с такими разделами курса, как «Нумерация» и «Арифметические действия». Так для усвоения структуры двузначных чисел можно использовать модели единиц длины: 1 дм и 1 см (1 дм = 10 см; 1 дес =10 ед).

В основе методики формирования представления о величинах лежит практический метод, при широком использовании проблемных ситуаций.

Хотя формирование представлений о той или иной конкретной величине и о способах её измерения имеет свои особенности, тем не менее целесообразно выделить общие этапы, которые имеют место при изучении каждой величины и ориентируясь на которые учитель организует деятельность учащихся.

Общая методика изучения каждой величины

1. Выяснение, уточнение имеющихся у детей представлений о данной величине. Введение понятия, соответствующего термина.

2. Сравнение однородных величин (визуально, с помощью ощущений, наложением, приложением, путем использования различных мерок).

3. Знакомство с единицей измерения данной величины и с измерительным прибором.

4. Формирование измерительных умений.

5. Сложение и вычитание однородных дисциплин, выраженных в единицах одного наименования.

6. Знакомство с новыми единицами величины в тесной связи с изучением нумерации по концентрам, перевод однородных величин, выраженных в единицах одних наименований, в другие, перевод величин, выраженных в единицах одного наименования в величины, выраженные в единицах двух наименований, и наоборот.

7. Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.

8. Умножение и деление величины на число.

Основные выводы: сегодня на лекционном занятии мы уточнили смысл понятий:

- величина;

- единица величины;

- численное значение величины (мера величины);

- однородные величины;

- разнородные величины;

- положительная скалярная величина;

- векторная величина;

- производные величины.

2. О каких величинах идет речь в следующих предложениях:

а) Книга тяжелее тетради;

б) Груша дороже яблок.

3. Какие величины могут характеризовать следующие объекты:

а) карандаш;

б) человек (рост, масса, возраст);

в) озеро (объем, площадь, длина).

4. назовите объект, его величину, численное значение и единицу величины в
каждом их следующих предложений:

а) в коробке 8 кг яблок;

б) площадь садового участка 6 соток;
в) в сервизе 6 тарелок;

г) рост девочки 1м. 20 см.
глубина оврага 2м.

Один и тот же объект может обладать несколькими свойствами, которые являются величинами.

Литература:

1. Стойлова, Л.П. Математика [Текст]: учебное пособие для студентов средних пед. Учебных заведений/ Л. П. Стойлова. – М.: «Академия».- 2002г.

2. Журналы: «Начальная школа», «Начальная школа плюс до и после».

3. Учебники математики 1- 4 классы.

Дата добавления: 2015-09-29