|
2001/2002 21
5 | , , , . |
& $! Уроев стр. 47 –57 (пример 2 стр.51 –54)
& $ Уроев стр. 64 –65. Принцип Дюамеля дает решение задачи Коши
, , ,
, ,
, ,
L
J Воспользуемся линейностью задачи (на практике можно избежать вычисления интеграла Дюамеля, если удастся подобрать частное решение неоднородного уравнения):
Сведем ДУ к однородному уравнению:
- желательно, но не обязательно[1]
Т.к. - собственная функция оператора Лапласа D:
,
отвечающая собственному значению 9, то имеет смысл искать в виде:
,
где - неизвестная функция времени. Из ДУ вытекает, что функция удовлетворяет уравнению и НУ:
- желательно, но не обязательно
Общее решение последнего (обыкновенного) ДУ имеет вид:
,
где ищем в виде: .
Подставляя последнее выражение в ДУ для f, получаем:
откуда[2]
® ® ®
Из НУ для f: ® ® ® ,
или, из любви к искусству: ® ® ®
(1)
Поставим задачу Коши для однородного уравнения:
(2)
Снова воспользуемся линейностью однородного ДУ и будем искать решение в виде суммы трех функций:
,
которые являются решениями соответствующих задач:
V Т.к. , то - собственная функция оператора Лапласа, следовательно, V имеет смысл искать в виде:
,
где - неизвестная функция времени. Из ДУ для V вытекает, что функция удовлетворяет задаче:
общее решение которой имеет вид . Из НУ , т.о. .
W
I способ Замечая, что , воспользуемся формулой Даламбера[3]: | II способ Замечая, что , но, забыв формулу Даламбера, решение будем искать в виде: из НУ: Интегрируя второе уравнение: ®
| III способ Рассмотрим, как действует оператор Лапласа на : , , т.к. - собственная функция оператора Лапласа, то решение будем искать в виде: . ®[4] или -резонанс L Подставляя в ДУ для f, получаем , , т. е. из НУ: ® и |
G Решение будем искать в виде[5]:
[6]
Подставляя в ДУ для G, получаем
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях t:
Ответ:
[1] Если это условие не будет выполнено, то надо не забыть провести корректировку НУ для .
[2] Т.к. функции 1, t, t 2 – линейно независимы, то последнее равенство возможно, если равны коэффициенты при соответствующих степенях t.
[3] Уроев стр. 41:
[4] См. выше задачу для . Здесь просто повезло.
[5] Другие способы решения см. Уроев стр. 52-54 (пример 2 пункт б)
[6] Можно было воспользоваться результатом решения задачи 12.30:
12.30 | Найти решение задачи Коши: , , , если , , . |
Ответ:
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 34 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Кременчуцький льотний коледж | | | ЗАДАЧА1.Больной В.19 лет, студент |