замечания об устойчивости непрерывно-дискретных систем

Лекция 4

замечания об устойчивости непрерывно-дискретных систем

Последовательное применение частотного метода для описания и анализа непрерывно-дискретных в общем случае нестационарных систем предполагает определение и использование бичастотных передаточных функций, которые в отличие от привычных передаточных функций Лапласа для стационарных линейных систем к настоящему моменту еще не получили широкого распространения в инженерной практике. Сама конструкция передаточных функций, зависящих от двух комплексных переменных, достаточно сложна, что, очевидно, является платой за возможность описания достаточно сложных классов динамических систем.

Задачей данного раздела не является формулировка критериев устойчивости. Здесь обсуждается несравненно более скромная задача. Целью последующего изложения будет интерпретация классических понятий устойчивости по Ляпунову, когда в качестве объекта исследования выступает бичастотная передаточная функция.

Рассмотрим сначала непрерывные объекты. Для скалярной весовой функции воспользуемся оценкой

.

Система является асимптотически устойчивой, если при любом выполняется условие

.

Упомянутое условие заведомо выполняется, если .

Определим двумерное преобразование Лапласа соотношением

Нетрудно заметить, что определенная здесь функция очевидным образом связана с бичастотной передаточной функцией

.

Другими словами, указанная связь определяется соотношением

.

Интеграл сходится, если , . Тогда функция является заведомо аналитической всюду, где выполняются эти неравенства , .

На плоскости неравенства выделяют область, где функция является заведомо аналитической (заштрихованная область на рис. 11.13).

Рис. 11.13. Область аналитичности W(s, p)

Истинный вид области сходимости, расположенной в правом верхнем углу, определяется особенностями функции .

Нанося на плоскость все нарушения аналитичности , получим монотонно невозрастающую характеристику сходимости (рис. 11.14).

Рис. 11.14. Характеристика сходимости

Если она такова, что включает в себя точки, где , то выполняется неравенство , где , что гарантирует асимптотическую устойчивость.

Учитывая связь между и , для оценки устойчивости динамической системы, описываемой бичастотной передаточной функцией , следует формально положить и для полученной функции строить характеристику сходимости.

В стационарных системах , и

.

Ясно, что особенности не зависят от , и, таким образом, приходим к хорошо известному результату: стационарная система, описываемая передаточной функцией Лапласа , устойчива, если все полюсы расположены в левой полуплоскости.

Для весовой функции дискретной системы рассмотрим оценку

.

Динамическая система с весовой функцией асимптотически устойчива, если для любого .

Определим двумерное Z-преобразование функции соотношением

Двумерная функция является аналитической всюду, где . Последние неравенства на плоскости выделяют правый верхний угол (заштрихованная область на рис. 11.15).

Рис. 11.15. Область аналитичности W(z₂, z₁)

Система будет асимптотически устойчивой, если этот угол заходит в область, где .

Как и выше, вычисляя нарушение аналитичности для функции , можно построить характеристику сходимости, которая является невозрастающей функцией (рис. 11.16). Если эта характеристика заходит в область, где , то система асимптотически устойчива.

Рис. 11.16. Характеристика сходимости

Переписав определение в виде

и сравнивая его с определением бичастотной передаточной функции дискретной системы

легко видеть, что и связаны соотношением

.

Для стационарной дискретной системы бичастотная передаточная функция записывается в виде

.

Тогда

.

У функции особенности не зависят от , и, как следствие, получаем привычное условие устойчивости: все корни характеристического уравнения передаточной функции должны удовлетворять условию .

Обратимся к рассмотрению дискретно-непрерывных систем. Пусть весовая функция системы , которая является непрерывной по первому аргументу и дискретной по второму , удовлетворяет неравенству

.

Система с такой весовой функцией будет асимптотически устойчива, если для любого

,

что, очевидно, будет иметь место при

Определим двумерное преобразование функции соотношением

.

Интеграл и сумма сходятся, если . Другими словами, функция является асимптотической всюду, где выполняются неравенства . На плоскости эти условия выделяют область (заштрихованную на рис. 11.17), где функция является аналитической. Более того, область сходимости определяется особенностями функции . Невозрастающая характеристика сходимости может быть получена при нанесении на плоскость нарушений аналитичности.

Рис. 11.17. Область аналитичности W(s, z)

Если область сходимости включает в себя точки, где , где , то система является асимптотически устойчивой.

Сравнивая определения и , установим связь между ними

.

Откуда искомая зависимость устанавливается соотношением

.

Итак, если известна бичастотная передаточная функция дискретно-непрерывной
в общем случае нестационарной системы , то для оценки устойчивости следует вместо в выражении для положить и по полученной функции оценивать устойчивость.

В качестве принципиального примера рассмотрим устойчивость типовой стационарной дискретно-непрерывной системы (рис. 11.18).

Рис. 11.18. Дискретно-непрерывная система

Здесь непрерывная часть системы, описываемая передаточной функцией Лапласа включает в себя и формирующее устройство экстраполятора.

Бичастотная передаточная функция замкнутой системы определяется выражением

.

Переходя к , найдем

.

Таким образом, особенности по и независимы. Особенности по совпадают с особенностями функций и , или, что то же, с особенностями непрерывной разомкнутой системы и замкнутой дискретной системы .

Отсюда следует, что замкнутая дискретно-непрерывная система будет устойчива, если:

· полюсы разомкнутой непрерывной системы лежат в левой полуплоскости (т.е. );

· полюсы замкнутой системы удовлетворяют условию , т.е. – характеристическое уравнение замкнутой системы имеет корни, по модулю не превосходящие единицы .

Дата добавления: 2015-08-29