Виды уравнений на плоскости

Виды уравнений на плоскости

1.Линии на плоскости рассм. Как множество точек, обладающих некоторыми, только им присущим св-вом. Например W(0;r) есть множество точек плоскости удалённых на раст. r от некоторой фиксированной точки.

Введение на плоскости системы координат позволяет опр. линию на плоскости с помощью уравнения. Уравнением линии на плоскости наз. такое уравнение f(x,y)=0 с двумя переменными x и y,которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и только они. Например рассмотрим на плоскости прямую параллельную Oy:

пусть А(а,0) есть точка пересечения этой прямой с осью Ox. Уравнением этой прямой явл. уравнение: x=a. Действительно координаты любой точки М этой прямой равны (а,у) и очевидно удовлетворяют данному уравнению.

Если же точка не лежит на прямой, то её первая координата отлична от а и поэтому координаты этой точки не удовл. этому уравнению.

2.УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не параллельная оси Оу

S

Пусть N(0,b) точка пересечения прямой l с Oy и угол α -угол наклона этой прямой, т.е. наименьший угол, на который надо повернуть вокруг точки А ось Ox против часовой стрелки до совпадения этой оси с прямой l. Пусть M(x,y) произвольная точка l. Из рисунка не трудно заметить, что точка S имеет координаты (x,b). Из треугольника NMS

tgα= = =

Величину tgα наз. угловым коэффициентом прямой и обозн. К. Это уравн. прямой l наз. уравнением прямой с угловым коэффициентом: y=kx+b

3.УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ПО ТОЧКЕ И УГЛОВОМУ КОЭФФИЦИЕНТУ

Пусть прямая l проходит через M₀(x₀,y₀) и имеет угловой коэффициент К.Пусть уравнение прямой l имеет вид y=kx+b, где b-неизвестное число.Т.к. l проходит через точку M₀,то её координаты удовлетворяют этому уравнению,т.е.: y₀=kx₀+b, тогда:

b=y₀-kx₀ ,подставляя в уравнение получим:y=kx+y₀-kx₀=y₀+k(x-x₀)

y-y₀=k(x-x₀) Это уравнение наз.уравнением по точке и угловому коэффициенту

4.УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ПО ДВУМ ТОЧКАМ

Пусть l проходит через M₁(x₁,y₁) и M₂(x₂,y₂).Т.к. l имеет уравнение: y=kx+b, где неизвестны k и b и прох. через точкиM₁ и M₂,то её уравн. можно записать в виде: y-y₁=k(x-x₁)

Т.к. l прох. через точку M₂ ,то её координаты удовл. последнему уравнению,т.е.: y₂-y₁=k(x₂-x₁)

Откуда:k= = - уравнение прямой по двум точкам.При чём это уравнение применяется и в тех случаях,когда x₂=x₁ или y₂=y₁

4.ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

Если прямая парал. Oy, то она имеет уравн. x=a; если же не парал. Oy: y=kx+b

Во всех этих случаях уравнение прямой можно записать в виде Ax+By+C=0

1)1*x+0*y-a=0

2)k*x-1*y+b=0

Оказ.,что любое уравнение первой степени относительно x и y: Ax+By+C=0, где A,B и C-действительные числа; A,B≠0 опред.на плоскости прямую

Уравнение такого вида для прямой наз. общим уравнением прямой. При чём вектор (A,B) перпендикулярный данной прямой и наз. нормальным вектором прямой.

6.ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

Пусть l проходит через A(x₀,y₀) и =(a,m) парал. l.

Пусть B(x,y) произвольная точка l.Тогда векторы и коллиниарны.Поэтому по критерию коллиниарности =t , где t-действительное число.

Тогда:

(x-x₀,y-y₀)=t*(a,m)

Уравнения ,где t∈R наз. параметрическими уравнениями прямой. Число t наз. параметром точки B. В этих уравнениях:A-начальная точка; -направляющий вектор прямой

Изменяя параметр t можно получить координаты точек лежащих на данной прямой l.

7.КАНАНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

В параметрических уравнениях прямой исключим параметр t:

-кананическое уравнение прямой

8.УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ОТРЕЗКАХ НА ОСЯХ

Пусть l пересекает Ox в точке А(а,0),а Oy в В(0,b)

Запишем уравнение l по точкам А и В:

=

–уравнение прямой в отрезках на осях

---

Дата добавления: 2015-08-29