Каждый корень уравнения

Уравнение sin х = а

Каждый корень уравнения

sin х = а (1)

можно рассматривать как абсциссу некоторой точки пересечения синусоиды у = sin х с прямой у = а, и, наоборот, абсцисса каждой такой точки пересечения является одним из корней уравнения (1).

При | а | >1 синусоида у = sin х не пересекается с прямой у = а. В этом случае уравнение (1) корней не имеет.

Если же | а | < 1, то синусоида у = sin х и прямая у = а имеют бесконечно много общих точек. В этом случае уравнение (1) имеет бесконечное множество корней.

Пусть 0<а<1. Тогда в интервале 0 < x < π имеем две точки пересечения: А и В.

Точка А попадает в интервал — ^π/ ₂ < x < ^π/ ₂ . Поэтому ее абсцисса равна arcsin а. Чтоже касается точки В, то ее абсцисса, как легко понять из рисунка, равна π — arcsin а.

Все остальные точки пересечения синусоиды у = sin х с прямой у = а мы разобьем на две группы:

..., A_—2, A _{— 1}, A ₁, A₂,...,

..., B_—2, B _{— 1}, B ₁, B₂,...,

Точки первой группы удалены от А на расстояния, кратные 2 π, и потому имеют абсциссы arcsin a + 2n π, где n пробегает все целые числа (n = 0, ± 1, ± 2, ± 3,...).

Точки второй группы удалены от В на расстояния, кратные 2 π, и потому имеют абсциссы π — arcsin а + 2k π = —arcsin а + (2k + 1) π, где k пробегает все целые числа (k = 0, ± 1, ±2, ±3,...). Таким образом, уравнение (1) имеет две группы корней:

х = arcsin a + 2n π (2) и

х = —arcsin а + (2k + 1) π. (3)

Легко понять, что обе эти группы корней можно представить одной формулой

х = (—1)^m arcsin a + m π, (4)

где т пробегает все целые числа (m = 0, ±1, ±,2, ±3,...).

Действительно, при m четном (m = 2n) (4) обращается в (2), а при m нечетном (m = 2k + 1) — в (3).

Итак, при 0 < а < 1 все корни уравнения (1) задаются формулой (4).

К такому же результату можно прийти и в случае

—1< а < 0.

Мы не будем подробно разбирать этот случай, предлагая учащимся сделать это самостоятельно с помощью рисунка.

Нам осталось рассмотреть случай, когда а = 0 и а = ±1.

При а = 0 уравнение sin x = а имеет корни

х = m π, (5)

где m пробегает все целые числа (m = 0, ±1, ±2, ±3,...). Такой же результат дает и формула (4) при а = 0. Действительно, arcsin 0 = 0 и потому

(—1)^m arcsin 0 + m π = m π

Следовательно, формула (4) формально дает все корни уравнения (1) и в случае, когда а = 0.

Если а =1, то корнями уравнения sin x = а будут числа

х = ^π/ ₂ + 2k π, (6)

где k пробегает все целые числа (k = 0, ±1, ±2, ±3,...).

Формула (4) охватывает и этот случай. Действительно, полагая в ней а = 1 и учитывая, что arcsin 1 = ^π/ ₂, получаем: (— 1)^m arcsin 1 + m π = (— 1)^{m π}/ ₂ + m π.

Если m четно (m = 2k), то (— 1)^m arcsin 1 + m π = ^π/ ₂ + 2k π.

Если же m нечетно (m = 2k + 1), то (— 1)^m arcsin 1 + m π = — ^π/ ₂+ 2k π + π = ^π/ ₂+ 2k π.

И тот и другой случай учитываются формулой (6).

Наконец, если а = —1, то корнями уравнения sin x = а будут числа:

x = — ^π/ ₂ + 2k π, (7)

где k пробегает все целые числа (k = 0, ±1, ±2, ±3,...).

Предлагаем учащимся доказать, что при а = —1 формула (7) дает тот же результат, что и общая формула (4).

Таким образом, формула (4) задаст все корни уравнения (1) при любых значениях а, если только | а | < 1. Однако при а = 0, а = +1 и а = —1 целесообразнее сразу же использовать формулы (5), (6) и (7), не обращаясь к общей формуле (4).

В заключение отметим, что формулы (4), (5), (6) и (7) можно использовать лишь тогда, когда искомый угол х выражен в радианах. Если же х выражен в градусах, то эти формулы нужно естественным образом изменить. Например, вместо формулы (4) нужно использовать формулу

х = (—1)^m arcsin а + 180°m,

вместо формулы (5) — формулу х = 180°m и т. д.

Примеры.

1) Решить уравнение

sin х = ^{\/ 3}/ ₂ .

Приведем два возможных варианта записи решения.

Недопустимо в одном и том же решении частично использовать 1-й и частично 2-й варианты. Например, ответ к данному упражнению нельзя записать в виде

х = (—1)^m 60° + m π или х = (—1)^{m π}/ ₃ + 180°m

2) Решить уравнение

sin (l - 2 x)= — ¹/ ₂

В отличие от примера 1, здесь искомые значения х нельзя выражать в градусах. В условии задачи под знаком синуса стоит выражение 1 — 2 х. Наличие единицы указывает, что х — либо угол, выраженный в радианах, либо просто число. Поэтому решение данного уравнения нужно записать следующим образом:

1— 2 x = (—1)^m arcsin(— ¹/ ₂) + m π = (—1)^m arcsin(— ^π/ ₆) + m π = (—1)^m+1arcsin(^π/ ₆) + m π

Отсюда x = ¹/ ₂ + (—1)^{m π} / ₁₂ — ^π/ ₂ m

Например, при m = 0 x = ¹/ ₂ + ^π/ ₁₂;

при m = 1 x = ¹/ ₂ — ^π/ ₁₂ — ^π/ ₂ = ¹/ ₂ — ^7π/ ₁₂ и т. д.

3) Решить уравнение

sin (30° — х) = 0.

Здесь, как легко понять, под х подразумевается угол, выраженный в градусах. Поэтому решение данного уравнения нужно записать следующим образом:

30° — х = 180°m, х = 30° — 180°m.

Поскольку под m мы подразумеваем любое целое число (в том числе и отрицательное), то полученный результат можно, конечно, представить и в другой форме, а именно:

х = 30° + 180° n, где n — любое целое число.

Дата добавления: 2015-08-29