3. Вывод уравнения колебаний струны. Пусть конеч­ные точки струны закреплены, а сама струна туго натянута. Если вывести струну из положения равновесия, то струна

3. Вывод уравнения колебаний струны. Пусть конеч­ные точки струны закреплены, а сама струна туго натянута. Если вывести струну из положения равновесия, то струна начнет коле­баться. Будем предполагать, что все точки струны движутся перпендикулярно ее положению равновесия (поперечные коле­бания), причем в каждый момент времени струна лежит в одной и той же плоскости.

Возьмем в этой плоскости систему прямоугольных коор­динат хОи. Тогда, если в начальный момент времени струна располагалась вдоль оси Ох, то и будет означать отклонение струны от положения равновесия. В процессе колебания ве­личина отклонения и будет зависеть от абсциссы точки струны х и от вре­мени t. Таким образом, чтобы знать положение любой точки струны в произвольный момент времени, нам надо найти функцию u(x, t). При каждом фиксированном значении t график фикции u(x, t), представляет форму колеблющейся струны в момент времени t (рис. 1);

- отклонение т. Х оот оси Ох

Ограничения геометрического и физического порядка, которые используются в данной методике: 1.Струна абсолютно гибкая, т. е. не сопротивляющейся изгибу; это означает, что если удалить часть струны, лежащую по одну сторону от какой-либо ее точки, то сила натяжения Т, заменяющая действие удаленней части, всегда будет направлена по касательной к струне;

2. Струна абсолютно упругая и подчиняющейся закону Гука;

3. Однородность:

4. Все силы действуют || Ou

5.1.Угол α мал => и

Уравнения малых колебаний структуры:

5.2.

5.3.

5.4.

5.5. ;

5.6. -- абсолютная гибкость.

Докажем, что

5.7. T=T₀; ;

5.8. =

5.9.

5.10. ;

Мы получили линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение называется уравнением колебаний струны или одномерным волновым уравнением.

---

Дата добавления: 2015-08-29