Ймовірність здійснення якого-небудь однієї з двох (або декілька) несумісних подій дорівнює сумі їх ймовірностей (теорема складання ймовірностей).

Ймовірність здійснення якого-небудь однієї з двох (або декілька) несумісних подій дорівнює сумі їх ймовірностей (теорема складання ймовірностей).

Приклад. При підрахунку числа рядів у 1000 качанів першого покоління гібриду кукурудзи Буковинський 3 знайдено, що серед них було качанів з 12-ма рядами – 490, з 14-ма рядами – 270, останні мали 16–18 рядів. Визначити ймовірність того, що будь-який, навмання узятий качан з іншої тисячі матиме 12-ть або 14-ть рядів.

Ймовірність може приймати значення в межах від 0 до 1. Чим ближче до 1, тим більш вірогідне настання певної події.

Ймовірність сумісного здійснення взаємонезалежних подій дорівнює здобутку їх ймовірності (теорема множення ймовірностей).

Приклад. При вивченні мінливості вмісту жиру в насінні рослин супереліти сорту соняшнику ВНІІМК 6540 встановлено, що високоолійні рослини (з маслянистістою вище 48 %) складають приблизно 18 %. З іншого боку, у цього сорту зустрічаються близько 0,2 % рослин з сірими сім'янками. Необхідно розрахувати вірогідність появи високоолійної сіросім'янної рослини.

Це означає, що одна сіросім'янна, але високоолійна рослина може зустрітися у вибірці з 2800 рослин.

Оцінка істотності результатів досліду може бути проведена з різним ступенем суворості або з різним рівнем ймовірності. У масових дослідах достатнім вважають Р = 0,95 (тобто в 95 випадків з 100). При більш суворому підході ця цифра підвищується до 0,99 і навіть до 0,999. Ймовірність, що вважається достатньою при оцінці результатів дослідів, називається достовірною. Можливий і інший підхід до інтерпретації результатів досліду, а саме з точки зору, що отримані в досліді відмінності є випадковими, неістотними. Величину (1 – Р) називають рівнем істотності або рівнем значущості. Ця величина показує ймовірність, з якою гіпотеза, що перевіряється, може дати помилковий результат. Достатнім вважати 0,05 (або 5%-вий рівень), більш точний – 0,01 і навіть 0,001 або відповідно 1%- і 0,1%-вий рівень.

4. Теорема складання ймовірностей. Сумою А+В двох подій А і В називається подія, що полягає в появі події А, або події В, або обох цих подій. Наприклад, із знаряддя зроблено два постріли і А – попадання при першому пострілі, В – попадання при другому пострілі, то А+В – попадання при першому, або при другому, або в обох пострілах.

Якщо дві події несумісні, то А+В – подія, що полягає в появі однієї з цих подій, байдуже якої. Сумою декількох подій називають подію, яка полягає в появі хоч б однієї з цих подій. А+В+С.

Теорема складання. Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій, байдужої якого, дорівнює сумі ймовірності цих подій.

Р(А+В)= Р(А)+ Р(В)

Завдання. В урні 30 куль: 10 червоних, 5 синіх і 15 білих. Знайти ймовірність появи кольорової кулі.

Червоної Р(А)= 10/30 = 1/3.

Синьої Р(В)= 5/30 = 1/6.

Р(А+В)= – кольорова куля

Теорема. Сума ймовірності подій А₁, А₂..., А_n, які створюють повну групу, дорівнює одиниці.

Р(А₁)+ Р(А₂)+... + Р(А_n) = 1

Сума ймовірності протилежних подій дорівнює одиниці:

Р(А) + Р(В) = 1

Різниця подій А₁ і А₂ – це така подія А, яке полягає в певному здійсненні двох фактів: подія А₁ відбулася, а подія А₂ не відбулася. На мові елементарних подій різниця А = А₁ – А₂ визначається як подія, що складається з усіх тих елементарних подій, які входять до А₁, але не входять до А₂.

Повна система подій – це такий набір несумісних подій А₁, А₂..., А_n, який в сумі вичерпує весь простір елементарних подій.

5. Теорема множення ймовірностей. Здобутком двох подій А і В називають подію АВ, що полягає в сумісній появі (поєднанні) цих подій. Наприклад, якщо А – деталь придатна, В – деталь забарвлена, то АВ – деталь придатна і забарвлена.

Випадкова подія нами визначена як подія, яка при здійсненні сукупностей умов S може відбутися або не відбутися. Якщо при обчисленні ймовірності події ніяких інших обмежень, окрім умов S не накладається, то таку ймовірність називають безумовною; якщо ж накладаються й інші додаткові умови, то ймовірність події називають умовною. Наприклад, часто обчислюють ймовірність події В за додаткової умови, що відбулася подія А. Слід відмітити, що і безумовна ймовірність є умовною, оскільки передбачається здійснення умов S.

Умовною ймовірністю РА(В) називають ймовірність події В, обчислену в припущенні, що подія А вже наступила.

Ймовірність сумісної появи двох подій дорівнює здобутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчислену в припущенні, що перша подія вже наступила. Вірогідність появи декількох подій дорівнює здобутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність усіх останніх, причому ймовірність кожної наступної події обчислюється в припущенні, що всі попередні події вже з'явилися.

Наприклад. Є 3 саджанця білого бузку і 7 – бузкового. Озеленювач спочатку посадив один саджанець, а потім другий. Знайти ймовірність того, що перший з узятих саджанців – білий, а другий – бузковий. Вірогідність того, що перший саджанець виявиться білим (подія А) дорівнює:

Р(А)= 3/10.

Ймовірність того, що другий саджанець виявиться бузковим (подія В), обчислюється в припущенні, що перший саджанець білий, тобто умовна вірогідність:

РА (В) = 7/9.

За теорією множення, ймовірність яку необхідно винайти дорівнює:

Р(АВ) = Р(А) РА(В) = (3/10) · (7/9) = 7/30

Ймовірність появи хоч би однієї з подій А₁, А₂..., А_n, незалежних у сукупності, дорівнює різниці між одиницею і здобутком ймовірностей протилежних подій Ā₁, Ā₂, …, Ā_n:

Р(А) = 1 – q₁ q₂ … q_n

Були розглянуті теореми складання для несумісних подій, розглянемо тепер для сумісних. Дві події називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появу іншої в одному і тому ж випробуванні.

Ймовірність появи хоч би однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірності цих подій без ймовірності їх сумісної появи:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)

6. Випадкові величини. При киданні гральній кістки могли з'явиться числа 1, 2, 3, 4, 5 і 6. Наперед визначити число очок, що випали неможливо, оскільки воно залежить від багатьох випадкових причин, які повністю не можуть бути враховані. Число очків є величина випадкова; числа 1, 2, 3, 4, 5 і 6 – можливі значення цієї величини.

Випадковою називають величину, яка в результаті випробування прийме одне і лише одне можливе значення, наперед не відоме і залежне від випадкових причин, які не можуть бути враховані. Позначаються випадкові величини X, Y, Z, а їх можливі значення відповідно – x, у, z. Наприклад, якщо випадкова величина Х має 3 можливі значення, то вони позначатимуться так: х₁, х₂, х₃.

Приклад. Число хлопчиків, що народилися, серед 100 новонароджених є випадкова величина, яка має наступні можливі значення: 0, 1, 2..., 100.

Дискретною (переривчастою) називають випадкову величину, яка приймає окремі, ізольовані можливі значення з певною ймовірністю. Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим або нескінченним.

Безперервною називають випадкову величину, яка може приймати всі значення з деякого кінцевого або нескінченного проміжку. Очевидно, число можливих значень безперервної випадкової величини нескінченне.

Законом розподілу дискретної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями і їх вірогідністю; його можна задати таблично, аналітично (у вигляді формули) і графічно. При табличному перший рядок містить можливі значення, а другий – їх ймовірність:

Х х₁ х₂ … х_n

Р р₁ р₂ … р_n

Взявши до уваги, що в одному випробуванні випадкова величина приймає одне і лише одне можливе значення, зробимо висновок, що подія Х = х₁, Х = х₂, …, Х = х_n утворює повну групу; в результаті, сума ймовірності цих подій, тобто сума ймовірності другого рядка таблиці, дорівнює 1:

р₁ + р₂ + … р_n = 1

Приклад. У грошовій лотереї випущено 100 квитків. Виграші: 1 – 50 грн., 10 – по 1 грн. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – вартості можливого виграшу для власника лотерейного квитка.

Можливі значення Х: х₁ = 50, х₂ = 1, х₃ = 0. Вірогідності їх будуть такі: р₁ = 0,01; р₂ = 0,1; р₃ = 1 – (р₁ + р₂) = 1 – (0,01 – 0,1) =0,89.

Х 50 10 0

р 0,01 0,1 0,89 = 1

Для наочності закон розподілу дискретної випадкової величини можна зобразити і графічно, для чого в прямокутній системі координат будують крапки (х_і; р_і), а потім сполучають їх відрізками прямих. Отриману фігуру називають багатокутником розподілу.

Потоком подій називають послідовність подій, які наступають у випадкові моменти часу. Наприклад, надходження викликів на АТС, в швидку, прибуття літака в аеропорт.

Серед властивостей, які можуть мати потоки, виділимо властивості стаціонарності, відсутності післядії і ординарності.

Властивість стаціонарності характеризується тим, що ймовірність появи k подій на будь-якому проміжку часу залежить тільки від n і від тривалості t проміжку і не залежить від початку його відліку.

Властивість відсутності післядії характеризується тим, що ймовірність появи k подій на будь-якому проміжку часу не залежить від того, з'являлися чи ні події у момент часу, які передують початку даного проміжку. Т.ч. передісторія потоку не позначається на ймовірності появи подій у найближчому майбутньому.

Властивість ординарності характеризується тим, що поява двох і більше подій за малий проміжок часу практично неможливо.

7. Функція і щільність розподілу.

Функцією розподілу називають функцію F(x), яка визначає ймовірність того, що випадкова величина Х в результаті випробування прийме значення, менше х, тобто

F(x) = Р(Х < х)

Геометрично цю рівність можна тлумачити так: F(x) є ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, яке відображується на числовій осі крапкою, яка лежить лівіше точки х.

Значення функції розподілу належить відрізку [0, 1]

0 ≤ F(x) ≤ 1.

Іноді замість терміну «функція розподілу» використовують термін «інтегральна функція».

Щільністю розподілу ймовірності безперервної випадкової величини Х називають функцію f(x) – першу похідну від функції розподілу F(x):

f (x) = F′ (x).

Функція розподілу є первісною для щільності розподілу. Щільність розподілу – ненегативна функція:

f (x) ≥ 0.

Дата добавления: 2015-08-29