3.3.6.9 Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии

3.3.6.9 Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии

Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии представляет большой практический интерес, так как в оптических приборах сами линзы и диафрагмы имеют обычно круглую форму.

Дифракционную картину Фраунгофера от круглого отверстия в преграде получают на экране Э в фокальной плоскости линзы L, нормально направив на отверстие плоскую световую волну.

Дифракционная картина будет иметь вид центрального светлого пятна, называемого пятном Эйри, окруженного чередующимися темными и светлыми кольцами.

Для качественного определения угловой ширины центрального пятна воспользуемся условием (3.171) дифрак-ционного минимума на щели:

, m =1,2,3…, (3.226)

где d – ширина щели. Расчеты будем производить для m = ±1, т.е. для первого минимума:

, (3.227)

Из (3.227) видно, что при m = 1 угол j_пр равен:

, (3.228)

а при m = -1 угол j_лев равен:

(3.229)

Из (3.228) и (3.229) получаем угловую ширину цент-рального максимума как угловое расстояние между двумя соседними минимумами первого порядка (рис. 3.75):

(3.230)

Таким образом, угловая ширина центрального пятна пропорциональна длине волны и ширине щели:

(3.231)

Более сложный расчет (который мы не будем здесь приводить) для круглых отверстий показывает, что минимум первого темного кольца отстоит от центра дифракционной картины на угловое расстояние:

, (3.232)

при условии, что диаметр отверстия D >> λ, что обычно выполняется в оптических приборах. Из (3.232) видно, что размер дифракционной картины зависит от диаметра отверстия: чем диаметр D больше, тем размер дифракционной картины меньше.

Подавляющая часть светового потока (84%) попадает в область центрального светлого пятна и поэтому в первом приближении дифракционную картину можно считать состоящей из одного светлого пятна с угловым радиусом dj. Это центральное светлое можно рассматривать как изображение удаленного точечного источника, расширенное дифракцией от краев круглого отверстия диаметра D.

При дифракции Фраунгофера в центре дифракционной картины всегда будет находиться светлое пятно.

Полученные результаты можно использовать для оценки дифракционной расходимости пучков света, диаметр которых ограничен. Поскольку основная часть светового потока приходится на центральный дифракционный максимум, поэтому его ширину можно использовать в качестве оценки угловой расходимости ¶j пучка с первоначальным диаметром поперечного сечения D:

(3.233)

Это очень важный вывод: из-за дифракции принципиально невозможно создать совершенно параллельный ограниченный в сечении пучок света. Таким уширением пучка можно пренебречь только тогда, когда оно мало по сравнению с исходной шириной пучка. Для примера рассмотрим расширение «параллельного» лазерного пучка с исходным диаметром на расстоянии от лазера при длине волны . Из-за дифракционной расходимости интересующий нас диаметр пучка становится равным:

.

Видно, что в данном случае расширение пучка весьма значительно.

3.3.6.10 Разрешающая способность оптических приборов

Критерий Рэлея определяет не только разрешающую способность дифракционной решётки, но и всех оптических приборов.

Вследствие волновой природы света изображение точки, даваемое линзой, имеет вид светового кружка. Это происходит из-за дифракции света на оправе (разных кон-цах) линзы. При этом световой кружок имеет вид центрального светлого пятна, окруженного чередующимися темными и светлыми кольцами. Так как на центральный максимум дифракционной картины, называемый пятном Эйри, приходится около 84% светового потока, на окружающие его кольца можно не обращать внимания.

Рассмотрим два одинаковых некогерентных точечных источника. Если расстояние между центрами из изображений мало по сравнению с размерами центральных пятен, то результирующая картина не отличается от картины одного точечного источника. Изображения не воспринимаются раздельно. В этом случае говорят, что объектив не разрешает рассматриваемые точки (рис. 3.76, а).

Начиная с некоторого расстояния между центрами обоих светлых кружков между ними появляется темный провал, то есть изображения будут восприниматься раздельно (рис. 3.76, б). В этом случае объектив будет разрешать точки. Согласно критерию Рэлея, два точечных источника будут разрешены, если центр дифракционного пятна от одного источника будет совпадать с ближайшим к центру дифракционным минимумом от другого источника. Величина, обратная наименьшему угловому расстоянию между двумя точками, при котором они разрешаются оптическим прибором, называется разрешающей силой прибора:

(3.234)

Наблюдение удаленных объектов с помощью оптических приборов можно с хорошей степенью точности считать дифракцией Фраунгофера. При этом первый минимум отстоит от центра дифракционной картины на угловое расстояние:

, (3.235)

где l – длина волны; D – диаметр отверстия объектива.

Если D >> l, то можно считать, что:

(3.236)

Дифракционная картина не зависит от расстояния между отверстием и линзой. Она будет такой же, если совместить края отверстия и линзы. Следовательно, никакая линза не может дать совершенного изображения. Угловой размер центрального пятна будет уменьшаться с ростом диаметра оправы линзы D.

При наблюдении удаленных объектов (учитывая условие D >> l) можно на основе (3.234) и (3.236) записать следующее выражение для разрешающей силы объектива (линзы):

(3.237)

Из формулы (3.237) видно, что разрешающая сила объектива тем больше, чем больше его диаметр (и чем меньше длина волны). Рассмотрим некоторые оптические приборы.

Телескоп. Изображение звезды в фокальной плоскости телескопа представляет собой дифракционную картину, образуемую круглой оправой объектива. Телескоп БТА (самый большой в мире однозеркальный телескоп) с диаметром зеркала может обеспечить для света с длиной волны угловое разрешение:

соответственно его разрешающая способность .

Дальнейшее увеличение диаметра зеркала не даёт выигрыша в разрешении, так как сказываются нестабильности атмосферы и неравномерные механические деформации огромного зеркала, приводящие к ухудшению разрешающей способности. Преодолеть эти трудности можно, применяя методы апертурного синтеза и адаптивной оптики. При апертурном синтезе сигналы от множества небольших зеркал складываются с соответствующими фазовыми сдвигами, компенсирующими временные задержки каждого сигнала. Проще изготовить несколько малых зеркал, чем одно большое. В методе адаптивной оптики большое зеркало телескопа делается составным из многих небольших зеркал, положение каждого из которых можно менять для получения наибольшего разрешения.

Человеческий глаз. Диаметр зрачка при нормальном освещении равен примерно 2 мм.

Взяв длину волны , получим:

его разрешающая способность

Угловое расстояние между точками, воспринимаемыми раздельно, равно угловому расстоянию между светочувствительными элементами сетчатки глаза.

Микроскоп. Для получения изображения необходимо, чтобы в объектив микроскопа попали лучи, образующие по меньшей мере первый минимум дифракционного изображения, в противном случае всё поле зрения будет засвечено более или менее равномерно. Если считать объект щелью шириной d, то для направления на первый минимум имеем:

. (3.238)

Поэтому наименьший размер доступного наблюдению объекта будет:

(3.239)

Здесь единственным способом увеличения разрешающей способности является уменьшение длины волны, чем и объясняется развитие ультрафиолетовой микроскопии (требующей специальных сортов стекла, прозрачных для ультрафиолета). Эта же идея (уменьшение длины волны) используется и в электронной микроскопии.

Дата добавления: 2015-08-29