Уравнения, приводимые к виду

Уравнения, приводимые к виду

Данное уравнение степени не выше второй. Рассмотрим два случая:

а= 0

(смотри приводимые к линейным) квадратное (количество

корней зависит от дискриминанта)

Пример. Найдите, при каких значениях а уравнение имеет один корень.

Решение. Рассмотрим два случая:

1) а = 0, то – один корень уравнения;

2) если , то уравнение является квадратным и количество корней зависит от дискриминанта: .

Чтобы квадратное уравнение имело один корень, должно выполняться условие D = 0: .

Ответ: .

Пример. Решите уравнение .

Решение. Распространенная ошибка при решении подобных уравнений состоит в том, что сразу рассматривают уравнение как квадратное, не принимая во внимание множество допустимых значений параметра, значения параметра, при которых первый коэффициент уравнения обращается в нуль.

Множество допустимых значений параметра с составляют все числа, удовлетворяющие условию с ≥ 2.

При с = 2 уравнение принимает вид и имеет корень х= 0;

при с> 2 оно является квадратным относительно х и имеет два корня ; .

Ответ: при с < 2 корней нет;

при с = 2 х = 0;

при с > 2 ; .

Для определения знаков корней уравнения () применяют теорему Виета.

	х 1	х 2
Корни одного знака	положительные	+	+	+	+
отрицательные	–	–	–	+
Корни разных знаков	+	–	Нельзя определить однозначно	–
–	+	–

В зависимости от условия задачи переходят к одной из систем неравенств:

1) корни одного знака (т.е. разные корни): (1)

2) корни разных знаков (т.е. разные корни): Û (2)

3) корни положительные (корни могут совпадать): (3)

4) корни отрицательные (корни могут совпадать): (4)

Пример. Найдите, при каких значениях параметра а уравнение имеет отрицательные корни.

Решение. Уравнение степени не выше второй. Необходимо рассмотреть два случая.

1) а= 0: 1=0 – ложное равенство, уравнение корней не имеет;

2) , уравнение квадратное.

так как уравнение должно иметь один или два корня: , но , следовательно, решением неравенства будет множество .

Чтобы корни были отрицательные, должно выполняться условие (4):

решением второго неравенства является вся числовая прямая, поэтому . С учетом знака дискриминанта получим: .

Ответ: .

Дата добавления: 2015-08-29