1)Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Боковые грани прямого параллелепипеда —

Билет 1

1)Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Боковые грани прямого параллелепипеда — прямоугольники. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

2)Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная данной плоскости и притом только одна. Обозначим данную плоскость буквой a, а произвольную точку пространства – буквой М. 1. Докажем существование прямой, перпендикулярной плоскости? и проходящей через точку М. Проведем в плоскости? прямую b. Через точку М проведем плоскость?, перпендикулярную прямой b (это мы можем сделать на основании предыдущей теоремы о плоскости перпендикулярной прямой). Пусть с –общая прямая плоскостей? и?. Проведем в плоскости? через точку М прямую а, перпендикулярную прямой с. Тогда прямая а перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости?. Следовательно, прямая а перпендикулярна плоскости a (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Следовательно, а - искомая прямая. Существование доказано.

Билет 2

1)Тетраэдр— простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Элементы сечения правильный, равнобедренный и разносторонний треугольники; квадрат, прямоугольник и четырехугольник с непараллельными сторонами.

2) Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Доказательство: Пусть - плоскость, b - перпендикулярная ей прямая, - плоскость проходящая через прямую b, и с - прямая по которой пересекаются плоскости и. Докажем, что плоскости и перпендикулярны. Проведем в плоскости через точку пересечения прямой b с плоскостью прямую а, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и b плоскость. Она перпендикулярна прямой с, так как прямые а и b перпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны. Теорема доказана.

Билет 3

1)Параллелепипед — призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм. Элементами сечения являются 3,4,5,6-угольники

2)Теорема Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны. Рассмотрим углы О и О1 с соответственно сонаправленными сторонами и докажем, что угол O равен углу O1. Отметим на сторонах угла О какие-нибудь точки А и В и отложим на соответственных сторонах угла О1 отрезки О1А1=ОА и 01В1=ОВ. Четырехугольник ОО1А1А — параллелограмм, так как противоположные стороны OA и O1A1 параллельны и равны. Отсюда следует, что АА1||001 и AA1=OO1. Аналогично четырехугольник OO1BB1 —параллелограмм, поэтому ВВ1||001 и ВВ1=ОО1 Так как АА1||ОО1 и BBl||001, то по теореме о трех параллельных прямых АА1||ВВ1. Кроме того, АА1=001=ВВ1. Таким образом, в четырехугольнике АВВ1А1 противоположные стороны АА1 и ВВ1 параллельны и равны. Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм, и значит, стороны АВ и А1В1 равны. Сравним теперь треугольники АОВ и A1O1B1. Они равны по трем сторонам, и поэтому угол O равен углу O1. Теорема доказана.

Билет4

правила для построения сечений: Для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами куба (тетраэдра, параллелепипеда).

Через полученные точки, лежащие в одной грани, провести отрезки.

Многоугольник, ограниченный данными отрезками, и есть построенное сечение.

Если секущая плоскость пересекает противоположные грани куба (параллелепипеда) по каким-либо отрезкам, то эти отрезки параллельны.

2)Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы мы их не продолжали.Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Доказательство. Пусть a и b - данные плоскости, а1 и а2 – прямые в плоскости a, пересекающиеся в точке А, b1 и b2 соответственно параллельные им прямые в плоскости b. Допустим, что плоскости a и b не параллельны, то есть они пересекаются по некоторой прямой с. Прямая а1 параллельна прямой b1, значит она параллельна и самой плоскости b. Прямая а2 параллельна прямой b2, значит она параллельна и самой плоскости b (признак параллельности прямой и плоскости). Прямая с принадлежит плоскости a, значит хотя бы одна из прямых а1 или а2 пересекает прямую с, то есть имеет с ней общую точку. Но прямая с также принадлежит и плоскости b, значит, пересекая прямую с, прямая а1 или а2 пересекает плоскость b, чего быть не может, так как прямые а1 и а2 параллельны плоскости b. Из этого следует, что плоскости a и b не пересекаются, то есть они параллельны.

Билет 5

1 Сложение векторных величин производится по правилу параллелограмма: сумма двух векторов и, приведенных к общему началу, есть третий вектор, длина которого равна длине параллелограмма, построенного на векторах и, а направлен он от точки A к точке B

Определение. Произведением вектора а на действительное число d называется вектор b, удовлетворяющий следующим двум условиям: ; если и если

2)Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (на рис. 32, ||). Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны. Это утверждение вытекает из единственности плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой. Параллельные плоскости обладают следующими свойствами:

1. Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекают третью плоскость, параллельны В самом деле. Пусть A ||B и Y пересекает A и B по прямым а и b. Тогда а и b не имеют общих точек, так как они лежат в плоскостях A и B, которые не имеют общих точек. Прямые A и B лежат в плоскости Y, поэтому они параллельны.

2.Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны. Действительно, пусть a и b - параллельные плоскости, а и в - пересекающие их параллельные прямые, А1, А2,и В1, В2 - точки пересечения прямых с плоскостями. Проведем через прямые а и в плоскость. Она пересекает плоскости a и b по параллельным прямым А1В1 и А2В2. Четырехугольник А1В1В2А2 - параллелограмм, т.к. у него противолежащие стороны параллельны. А у параллелограмма противолежащие стороны равны. Значит А1А2=В1В2.

Билет 6

1)Прямоугольный параллелепипед - это объемная фигура, у которой шесть граней, и каждая из них является прямоугольником. Свойства: Все грани – прямоугольники. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов трех его измерений. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равняется сумме квадратов его измерений: d^2 = a^2 + b^2 + c^2. показан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. По теореме Пифагора имеем: BD1^2=DD1^2+BD^2=DD1^2+DA^2+DC^2

2) Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Две прямые, параллельные третьей, параллельны. Доказательство Пусть прямые a и b одновременно параллельны прямой c. Допустим, что a не параллельна b, тогда прямая a пересекается с прямой b в некоторой точке A, не лежащей на прямой c по условию. Следовательно, мы имеем две прямые a и b, проходящие через точку A, не лежащую на данной прямой c, и одновременно параллельные ей. Это противоречит аксиоме 3.1. Теорема доказана.

Билет 7

1) Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра призмы, т. е.Sбок. = Р• l где Р — периметр перпендикулярного сечения, а l — длина бокового ребра Проведем доказательство для треугольной призмы (см. рис. 180). Пусть А'В'С — перпендикулярное сечение данной призмы. Так как (А'В') _|_ (ВВ1), то [А'В'] — высота параллелограмма АВВ1А1. Его площадь равна SABB1A1= |A'B'| • l Аналогично,SBCC1B1=|B'C'| • l, SACC1A1= |A'C'| • l. Следовательно, Sбок = (|A'B'| + |B'C'| +|A'C'|)• l = Р• l

2) Терема 1:Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 1) а ^ a, х Ì a =>a ^ x 2) a II a1, a ^ x => a1 ^ x => а1 ^ a, т.к. х – произвольная прямая плоскости a.

Теорема 2:Если две прямые перпендикулярны к плоскости,то они параллельны между собой. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Пусть в неII а. Проведем в1 II а (М прин в, М прин в1) 2) в ^ a, с прин a => в ^ с 3) а ^ a, с прин a => а ^ с 4) а ^ с, в1 II а => в1 ^ с 5) в ^ с, в1 ^ с, М прин в, М прин в1 => в º в1 6) в1 II а, в º в1 => а ll в

Билет 8

1) Многогранник— поверхность, составленная из многоугольников, которые ограничивают некоторое геометрическое тело, оно также иногда называется многогранником. Многогранник есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется многогранником. Отсюда возникает третье определение многогранника, как самого геометрического тела

2) Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.

Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

Билет 9

1) Точки А и А1 называются симметричными относительно плоскости (плоскость симметрии), если эта плоскость проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку. Каждая точка плоскости считается симметричной самой себе.

2) Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Докозательство. Пусть α - плоскость, a – не лежащая в ней прямая и a1 – прямая в плоскости α, параллельная прямой a. Проведем плоскость α1 через прямые a и a1. Плоскости α и α1 пересекаются по прямой a1. Если бы прямая a пересекала плоскость α, то точка пересечения принадлежала бы прямой a1. Но это невозможно, так как прямые a и a1 параллельны. Следовательно, прямая a не пересекает плоскостью α, а значит, параллельна плоскости α. Теорема доказана.

Следствие 1. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Следствие 2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Билет 10

1)Многогранник называется правильным, если все его грани – равные между собой правильные многоугольники, из каждой его вершины выходит одинаковое число ребер и все двугранные углы равны. Оказывается, что существует всего пять видов правильных многогранников. правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр

2) Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Если одна из скрещивающихся прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Билет 11

Элементы симметрии

симметрии	Тетраэдр	Октаэдр	Икосаэдр	Гексаэдр	Додекаэдр
Центры	-
Оси
Плоскости

2)А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Билет 12

Вектор – направленный отрезок. Другими словами, вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов является началом, а какой концом.

Определение. Два вектора называются равными, если они сонаправленные и имеют равные модули.

2)Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися. Лемма: Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Билет 14

Разностью векторов a(a1;a2) и b(b1;b2) называют такой вектор c(c1c2), который в сумме с вектором b(b1;b2) дает вектор a(a1;a2). Таким образом: c(c1c2) + b(b1;b2) = a(a1;a2), откуда c1 = a1 - b1 и c2 = a2 - b2.

Правило треугольника. Чтобы найти разность двух векторов, нужно: изобразить их исходящими из одной точки; дополнить чертеж отрезком так. чтобы получился треугольник; придать отрезку направление от вычитаемого к уменьшаемому; этот направленный отрезок и будет вектором разности.

Суммой векторов a и b называется вектор c=(a+b);

Правило треугольника: Свойство дает следующий способ построения суммы произвольных векторов a и b. Надо от конца вектора a отложить вектор равный вектору b. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора −a, а конец - с концом вектора b, будет суммой векторов a и b.

Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

2)Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости. Доказательство: Пусть а прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости. Тогда прямая а проходит через точку А пересечения прямых b и c. Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости.Проведем произвольную прямую х через точку А в плоскости и покажем, что она перпендикулярна прямой а. Проведем в плоскости произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую прямые b, c и х. Пусть точками пересечения будут В, С и Х. Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные отрезки АА1 и АА2. Треугольник А1СА2 равнобедренный, так как отрезок АС является высотой по условию теоремы и медианой по построению (АА1=АА2). по той же причине треугольник А1ВА2 тоже равнобедренный. Следовательно, треугольники А1ВС и А2ВС равны по трем сторонам. Из равенства треугольников А1ВС и А2ВС следует равенство углов А1ВХ и А2ВХ и, следовательно равенство треугольников А1ВХ и А2ВХ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства сторон А1Х и А2Х этих треугольников заключаем, что треугольник А1ХА2 равнобедренный. Поэтому его медиана ХА является также высотой. А это и значит, что прямая х перпендикулярна а. По определению прямая а перпендикулярна плоскости. Теорема доказана.

Билет 15

1) Пусть Ф - некоторая фигура в пространстве. Проекции ее точек на плоскость p образуют фигуру Ф', которая называется параллельной проекцией фигуры Ф на плоскость p в направлении прямой l. Говорят также, что фигура Ф' получена из фигуры Ф параллельным проектированием. Примеры параллельных проекций дают, например, тени предметов под воздействием пучка параллельных солнечных лучей.

2) Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.

И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Доказательство: Пусть АВ - перпендикуляр плоскости аль, АС - наклонная и с - прямая в плоскости аль, проходящая через основание С. Проведем прямую СA1, параллельную прямой АВ. Она перпендикулярна плоскости аль. Проведем через прямые АВ и СA1 плоскость бет. Прямая с перпендикулярна прямой СA1. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости бет, а значит, и прямой АС. АНАЛОГИЧНО. Если прямая с перпендикулярна наклонной АС то она, будучи перпендикулярна и прямой СA1 перпендикулярна плоскости бет, а значит, и проекции наклонной СВ. Теорема доказана.

Билет 16

1)

2) Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они перпендикулярны.

Пусть a и b – перпендикулярные прямые, a1 и b1 – параллельные им пересекающиеся прямые. Если прямые a, b, a1, b1 лежат в одной плоскости, то они обладают указанными в теореме свойством, кА это известно из планиметрии. Предположим, что прямые е лежат в одной плоскости. Тогда прямые a и b лежат в плоскости α, а прямые a1 и b1 – в некоторой плоскости α1. По теореме о признаке параллельных прямых плоскости α и α1 параллельны. Пусть С – точка пересечения прямых a и b, а точка С – точка пересечения прямых a1 и b1. Проведем в плоскости параллельных прямых a и a1 прямую, параллельную прямой СС1. Она пересечет прямые a и a1 в точках A и A1. В плоскости прямых b и b1 проведем прямую, параллельную прямой СС1, и обозначим через B и B1 точки ее пересечения с прямыми b и b1. Четырехугольник CAA1C1 и CBB1C1 – параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник ABB1A1 так же параллелограмм. У него стороны AA1, BB1 параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой CC1. Следовательно, четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые AA1 и BB1. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости α и α1 по параллельным прямым AB и A1B1. Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Δ ABC = ΔA1B1C1 (по третьему признаку равенства треугольников). ∠ ACB = ∠A1C1B1 = 90º. Следовательно, прямые a1 и b1 перпендикулярны.

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Доказательство: Пусть a || b и a? с. Докажем, что b? c. Через произвольную т. М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым a и c. Так как a? c, то AMC = 90°. По условию b || а, а по построению а || МА, поэтому b || МА. Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между которыми равен 90°. Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90°, т. е. b? c. a. b. M. A. c. C.

Билет 17

1)

2) Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Прямая a и точка A определяют единственную плоскость α. В этой плоскости проведем через точку A прямую b, параллельную прямой a. Если существует еще одна прямая c, параллельная a и проходящая через точку A, то по определению параллельных прямых c и a определяют некоторую плоскость. Эта плоскость содержит прямую a и точку A, то есть совпадает с плоскостью α. Следовательно, в плоскости α через точку A проходят две прямые, параллельные прямой a, что противоречит аксиоме о параллельных прямых в планиметрии.

Билет 18

1) Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро. Боковые грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых-стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Sбок поверхности призмы равна сумме S указанных треугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h. Вынося множитель h за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е. периметр P. Итак, Sбок =Ph. Теорема доказана.

2) Двугранным углом называется фигура, образованная двумя не принадлежащими одной плоскости полуплоскостями, имеющими общую границу – прямую а. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями, а общая граница этих плоскостей – ребром двугранного угла. Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи, по которым грани двугранного угла пересекаются плоскостью, перпендикулярной ребру двугранного угла.

Билет 19

1) Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему

Sбок = (½ad + ½ad + ½ad) = ½d(a + a + a)= ½dP

2) Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.

Билет 20

1) Усечённая пирамида — многогранник, образованный пирамидой и её сечением, параллельным основанию. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна полпроизведению суммы периметров её оснований и апофемы

2) Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. Доказательство Рассмотрим прямую АВ, лежащую в плоскости а, и прямую CD, пересекающую эту плоскость в точке С, не лежащей на прямой АВ (рис. 20). Докажем, что АВ и CD — скрещивающиеся прямые, т. е. они не лежат в одной плоскости. Действительно, если допустить, что прямые АВ и CD лежат в некоторой плоскости B, то плоскость (3 будет проходить через прямую АВ и точку С и поэтому совпадет с плоскостью а. Но это невозможно, так как прямая CD не лежит в плоскости а. Теорема доказана

Билет 21

Компланарные векторы – векторы, при откладывании которых от одной и той же точки пространства, они будут лежать в одной плоскости.

1)

2)

Билет 22

1) Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство:

2)

Дата добавления: 2015-08-29