Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации

Пермский государственный технический университет

Кафедра МСИ

Расчетная работа

НАДЕЖНОСТЬ И ДИАГНОСТИКА ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Вариант 18.

Выполнил: студент ГНФ

гр. ГНП-06 Малюгин А.В.

Проверил: Никитин С.П.

Пермь 2010

Оглавление

1. Введение …………………………………………………………………………………3

2. Исходные данные………………………………………………………………………..4

3. Оценка вероятности безотказной работы системы …………………………………...5

4. Построение гистограммы ………………………………………………………………7

5. Использование вероятностной сетки Вейбулла ………………………………………9

6. Определение вероятности безотказной работы 2 - го элемента в указанный пери­од времени …………………………………………………………………………………10

7. Определение вероятности безотказной работы технической системы в указан­ный период времени ………………………………………………………………………..11

8. Определение интенсивности отказов технической системы ……………………….14

9. Определение доли времени работы технических систем и доли времени их про­стоя …………………………………………………………………………………………..15

Приложение – рис.3. Вейбулловская сетка вероятности

1. Введение

Бригада из r рабочих обслуживает участок из n технических систем (ТС) (r < n).

Предполагается, что ТС однотипны, т.е. имеют одинаковую производительность и требуют одинаковое время для обслуживания t_cp = l/ν.

Каждый рабочий может обслуживать только одну ТС.

Каждая ТС обслуживается одновременно только одним рабочим.

ТС обслуживается в порядке поступления заказов.

Все рабочие имеют одинаковую квалификацию.

Предполагается, что время, через которое требуется вмешательство оператора, подчиняется экспоненциальному закону распределения, среднее время восстановления также подчиняется экспоненциальному закону.

ТС имеет сложную структуру.

Вероятность безотказной работы всех элементов, кроме k-того, известна.

С целью определения надежности k-того элемента проведены испытания, для чего были отобраны N элементов. При испытании фиксировалось время и количество отказов элементов.

Необходимо оценить долю времени, в течение которого технические системы на участке находятся в работе и долю времени, в течение которого технические системы простаивают.

2. Исходные данные

Параметры технической системы:

Количество ТС, n	Количество обслуживающих рабочих, r	Интенсивность вступления элементов в строй, ν	№ элемента с неизвестной p(t), k
		0,130

Вероятность безотказной работы элементов ТС:

0,88		0,85	0,84	0,86

Данные испытаний:

71,6	14,8	26,6		74,5	74,1		44,6
	14,6				38,2	48,9	33,4
87,7						2,92
16,2	69,8		20,2	65,2	87,9	3,6	3,25
58,5					25,2	36,4	18,4
81,3	71,2	3,93		19,3		66,7

Структурная схема:

3. Оценка вероятности безотказной работы системы.

Задача: необходимо по данным эксперимента построить график изменения вероятности безотказной работы, в зависимости от полученного графика дать оценку типу распределения отказов системы.

Решение.

Для оценки вероятности безотказной работы p(t) системы по эксперименталь­ным данным используем метод Каплана-Майера.

p(t) =

где - число изделий, оставшихся в работоспособном состоянии на момент времени .

( смотри в табл.2)

N=48.

P₆ – не определяется, так как на ноль не делят.

Результаты расчета сводим в таблицу (табл.1).

Таблица 1

i		(ti)		Pi(ti)
		57,5	0,929	0,9286
		172,5	0,800	0,7429
		287,5	0,667	0,4952
		402,5	0,500	0,2476
		517,5	0,000	0,0000
		632,5	-	-

По данным таблицы строим график изменения вероятности безотказной работы системы (рис. 1).

Рис.1. Вероятность безотказной работы системы

Вывод: получили экспоненциальный закон распределения вероятности безотказной работы системы от времени.

4. Построение гистограммы.

Задача: На испытания было поставлено N = 48 элементов. Моменты отказов элементов представлены в исходных данных.

Необходимо по данным эксперимента построить гистограмму и определить тип распределения.

Решение:

На основе экспериментальных данных строим гистограмму.

1. Определяем максимальное значение и минимальное значение времени отказов.

t_max = 688

t_min = 0

2. Размах времени отказов равен R = 688 - 0 = 688.

3. Определяем число интервалов

m = = = 6,9

Устанавливаем 6 интервалов.

4. Определяем ширину интервала

b = 688 / 6 = 114,67 => 115

Округляем ширину интервала до 115 мм.

5. Устанавливаем последовательно границы интервалов

t_i = t_i-1 + b

6. Группируем собранные данные в пределах интервалов и подсчитываем частоту по­падания данных в этот интервал.

Результаты заносим в табл. 2.

Таблица 2

Таблица частот

№ п/п	Границы интер­вала	Значение середины интервала	Графические отметки частоты	Частота отказов в интервале bi Nот	Относительная частота N%от
				Nот	∑ Nот	N%от	∑ N%от
	0-115,05	57,5	||||| ||||| ||||| ||||| ||||| ||||| ||||			70,83	70,83
	115,05-230,05	172,5	||||| ||||			18,75	89,58
	230,05- 345,05	287,5	||			4,17	93,75
	345,05- 460,05	402,5	|			2,08	95,83
	460,05-575,05	517,5	|			2,08	97,92
	575,05-690,05	632,5	|			2,08	100,00

7. Данные из таблицы переносим на диаграмму (рис. 2) в виде столбиков, высота ко­торых пропорциональна частоте попадания данных в соответствующий интервал.

Рис.2. Гистограмма отказов элементов системы

Вывод: увидели по диаграмме экспоненциальный закон распределения отказов.

5. Использование вероятностной сетки Вейбулла.

Задача: Необходимо по данным эксперимента, используя вероятно­стную сетку Вейбулла, проверить тип распределения и определить параметры рас­пределения.

Решение.

Определяем значение интегральной функции отказов технических систем при испытании F^-1(t):

F^-1(t) = .

Результаты расчета сводим в таблицу частот (табл.3):

i	ti	F^-1(t)
	57,5	0,698
	172,5	0,885
	287,5	0,927
	402,5	0,948
	517,5	0,969
	632,5	0,990

Наносим по данным таблицы экспериментальные точки на вероятностную сет­ку Вейбулла (рис. 3), соединяем их полигоном, аппроксимируем точки прямой лини­ей. С помощью полученной линии интегральной функции распределения определяем интенсивность отказов тормозных устройств λ и угол наклона прямой β.

λ = = = 0,02381,

β = = 0,5168.

Вывод: интенсивность отказов элементов системы λ равна 0,02381, это не очень низкое значение, значит, промежуток времени между отказами будет не слишком большой.

Угол наклона прямой β = 0,5168 < 1 – значит, что тип распределения далек от экспоненциального.

6. Определение вероятности безотказной работы 2 - го элемента в указанный пери­од времени.

Дано:

λ = 0,02381

t_i = 8 час.

Найти:

P₂ (t) -?

Решение.

Используем выражение вероятности безотказной работы для экспоненциально­го распределения.

P(t) =

P₂(t) = = 0,83.

Ответ: вероятность безотказной работы 2-го элемента в момент времени 8 часов составляет 0,83.

7. Определение вероятности безотказной работы технической системы в указан­ный период времени.

Дано: Структурная схема ТС.

P₁(t) = 0,88;

P₂(t) = 0,83;

P₃(t) = 0,85;

P₅(t) = 0,84;

P₅(t) = 0,86;

t_i = 8 час.

Найти:

P(t) =?

Решение.

Методом декомпозиции исходной системы на последовательные и параллельные участки:

Для последовательного соединения элементов технической системы использу­ем выражение

P(t) = .

Для параллельного соединения элементов технической системы используем выражение

P(t) =1 - .

В нашем случае мы имеем последовательное соединение первого элемента с подсистемой, состоящей из трех элементов(2-го, 3-го, 4-го), и с пятым элементом. Итак, используя декомпозицию, получим нашу систему в виде:

A

B

C

, где подсистема А:

подсистема B:

подсистема C:

Вероятности безотказной работы подсистем:

P_A = P₁(t) = 0,88;

P_B =1 – (1 – P₂(t)) (1 – P₃(t)) (1 – P₄(t))= 1- (1 - 0,83) * (1 - 0,85) * (1 - 0,84) = 0,99592;

P_C = P₅(t) = 0,86;

Вероятность безотказной работы ТС:

P(t) = P_A P_B P_C = 0,88 0,86 = 0,7537.

Методом минимальных путей:

Минимальный путь – такое минимальное множество элементов, работоспособность которых обеспечит работоспособность всей системы.

Выделяем минимальные пути для структурной схемы ТС:

{1,2,5}; {1,3,5}; {1,4,5}.

Изобразим графически выделенные минимальные пути в виде параллельной системы путей.

Определим вероятность безотказной работы для получившейся последователь­но-параллельной системы.

P(t) =1 - = 1 – (1 – p₁ p₂ p₅) (1 – p₁ p₃ p₅) (1 – p₁ p₄ p₅) = 1-(1-0,88*0,83*0,86)*(1-0,88*0,85*0,86)*(1-0,88*0,84*0,85) = 0,950697.

Метод минимальных путей дает верхнюю границу вероятности безотказной работы сложной ТС.

Методом минимальных сечений:

Минимальное сечение – такой набор элементов, при неисправном состоянии которых не работает вся система, а при восстановлении одного из элементов система полностью восстанавливается.

Выделяем минимальные сечения для структурной схемы ТС: {1}; {2,3,4}; {5}.

Изобразим графически выделенные минимальные пути в виде последователь­ной системы сечений.

Определим вероятность безотказной работы для получившейся параллельно-последовательной системы.

0,88 0,86 = 0,7537.

Метод минимальных сечений дает нижнюю границу вероятности безотказной работы сложной ТС.

Ответ: в результате расчетов вероятности безотказной работы системы методом декомпозиции исходной системы на последовательные и параллельные участки и методом минимальных сечений получили одинаковые значения вероятностей, а именно поэтому в дальнейших расчетах учитываем это значение.

8. Определение интенсивности отказов технической системы.

Дано:

P(t) = 0,7537

t_i =8 час.

Найти:

λ =?

Решение.

Используем выражение вероятности безотказной работы

После логарифмирования и преобразований получаем.

После подстановки найденных значений в выражение находим интенсив­ность отказов технической системы

Ответ: интенсивность отказов ТС при t_i =8 час. составляет

9. Определение доли времени работы технических систем и доли времени их про­стоя.

Дано:

r = 3;

n = 7;

;

ν = 0,13.

Найти:

f_раб =?

Решение.

1. Определение вероятности выбытия технических систем

, если

, если

2. Определение вероятности возвращения технических систем в строй

3. Определение вероятности, что в данный момент простаивает ноль технических систем

4. Определение вероятности простоя k -технических систем по формуле Эрланга.

0,34647,

0,28224,

0,12773,

0,04625,

0,01256,

0,00227,

0,00021.

5. Определение среднего количества работающих технических систем, как матема­тическое ожидание случайной величины.

6. Определение доли времени работы технических систем.

Ответ: доля времени работы данной нам технической системы составила 0,778.

Дата добавления: 2015-08-29