Предел функции.Теоремы о пределах.Вычисление пределов функций.Пример.

Билет 1

Предел функции.Теоремы о пределах.Вычисление пределов функций.Пример.

Пусть функция f(x) определена в некоторой точке а.Число В называется пределом функции f(x) в точке а(или при х,стремящемся к а),lim f(x)=B при х->а.

теоремы:

1.Функция не может иметь двух разных пределов в точке.

2.Предел суммы(разности) функций равен сумме(разности) их пределов: lim(f(x)+-g(x))=lim f(x)+-lim g(x) при х->а.

3.Предел произведения функций равен произведению их пределов: lim (f(x)*g(x))=lim f(x)*lim g(x) при х->а.

4.Постоянный множитель можно выносить за знак предела,т.е. lim(cf(x))=c*lim f(x) при х->а.

5.Предел отношения двух функций равен отношению их пределов,предел делителя не равен 0: lim f(x)/g(x)=lim f(x)/lim g(x) при х->а, если lim g(x) не равен 0 при x->a.

6.Предел постоянной равен самой постоянной: lim c=c приx->a.

7.Предел степени равен степени предела: lim (f(x))^n=(lim f(x))^n при x->a.

8.Предел корня n-ой степени равен корню из предела: lim (кор. n-ой степени из(f(x))=кор. n-ой степени из (lim f(x)) при x->a.

Чтобы вычислить предел функции нужно подставить в функцию вместо аргумента х его предельное значение,т.е. к чему стремится.

Пример: lim(x^3-4x+10x^2) x->2=2^3-4*2+10*2^2=8-8+40=40.

Билет 2

Раскрытие неопределенностей при вычислении пределов.Пример.

Пусть функция f(x) определена в некоторой точке а.Число В называется пределом функции f(x) в точке а(или при х,стремящемся к а),lim f(x)=B при х->а.

При вычислении пределов можем получить неопределенность.Рассмотрим раскрытие некоторых видов неопределенностей.

1.неопределенность 0/0.

Для раскрытия такой неопределенности нужно данную функцию преобразить одним из двух способов:

1)Если возможно,разложить числитель и знаменатель на множители(используя формулы сокращенного умножения или вынесением общего множителя за скобки,для квадратного трехчлена используем формулу ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),где х1 и х2 корни данного квадратного трехчлена).Затем дробь сократить.Если избавились от неопред.0/0,то найти предел полученной функции.

Пример: lim (x^2-144)/(3x-36) при x->12=lim ((x-12)(x+12))/3(x-12) при x->12=lim (x+12)/3 при x->12=(12+12)/3=8.

2)Если в числителе или знаменателе содержатся корни при неопред.0/0,то можно числитель и знаменатель умножить на число сопряженное числителю(или знаменателю),чтобы избавиться от неопред.,а затем найти предел полученной функции.Числа (а+в) и (а-в) называют сопряженными(отличаются знаком).

Пример:lim (2-кор.из х)/(х-4) при x->4=lim ((2-кор.из х)(2+кор.из х)/(х-4)(2+кор.изх)) при х->4=lim ((4-x)/(-(4-x)(2+кор.из х)) при x->4=lim 1/(-(2+кор.из х)) при x->4=-1/4.

2.неопределенность (бесконечность/бесконечность).

В данном случае в ответе может быть постоянная,или 0,или бесконечность.

Для раскрытия такой неопред.при х->бесконечности можно числитель и знаменатель данной дроби сократить на стершую степень данной дроби.

Пример:lim ((4x^5+3)/(8x^3-3x)) при x->беск.=lim ((4x^5/x^5 + 3/x^5)/(8x^3/x^5 - 3x/x^5)) при х->беск.=lim ((4+3/x^5)/(8/x^2 - 3/X^4)) при х->беск.=(4+3/беск.)/(8/беск. - 3/беск.)=4/0=бесконечность.

а/беск.=0; беск./а=беск.; а/0=беск.; 0/а=0, где а=const, 0-бесконечно малая величина величина, беск.-бесконечно большая величина.

Билет 3

Непрерывность функции.Точки разрыва.

Функцию f(x) называют непрерывной в точке х=а, елси выполняется соотношение lim f(x)=f(a) при х->а.

Согласно этому определению непрерывность функции f в точке а означает выполнимость следующих условий:

1)функция f должна быть определена в точке а;

2)у функции f должен существовать предел в точке а;

3)предел функции f в точке а совпадает со значением функции в этой точке.

Функцию у=f(x) называют непрерывной на промежутке Х,если она непрерывна в каждой точке промежутка.

Если выражение f(x) составлено из рациональных,иррациональных,тригонометрических выражений,то функция у=f(x) непрерывна в любой точке,в которой определено выражение f(x).

Функция называется непрерывной на интервале (а;в),если она непрерывна в каждой точке интервала.Функция называется непрерывной на отрезке [a;b],если она непрерывна на интервале (а;в),непрерывна справа в точке а и непрервна слева в точке b.

Свойства непрерывных функций:

1.Сумма конечного числа функций,непрерывных в точке а,есть функция,непрерывная в этой точке.

2.Произведение конечного числа функций,непрерывных в точке а,есть функция,непрерывная в этой точке.

3.Отношение двух функций,непрерывных в точке а,есть функция,непрерывная в этой точке,если значение функции,стоящей в знаменателе,не равно 0 в точке а.

4.Многочлен есть функция,непрерывная по всей числовой прямой.

5.Любая рациональная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

6.Если функция f непрерывна на отрезке [a;b] и на концах его принимает значения разных знаков,то внутри отрезка [a;b] найдется хотя бы одна точка,в которой данная функция обращается в 0.

7.Если функция непрерывна на отрезке,то среди значений,принимаемых ею на этом отрезке,существуют наименьшее и наибольшее значения.При этом она принимает все значения между наибольшим и наименьшим значениями.

Точки разрыва.Если функция f(x) непрерывна в точке а,то точка а называется точкой непрерывности функции f(x).Когда предел функции f(x) в точке а не существует или существует,но не равен f(а),функция f(x) называется разрывной в точке а, а точка а-точкой разрыва функции f(x).

Билет 4

Понятие производной функции.Геометрический и физический смысл производной.

Производная функции-предел приращения функции к приращению аргумента при дельта_х->0,т.е. у^штрих=f^штрих(x)=lim (дельта_у)/(дельта_х) при дельта_х->0.

Пусть функция y=f(x) определена в точках х0 и х.Разность (х-х0) называют приращением аргумента,а разность (f(x)-f(x0)) называют приращением функции.

Физический смысл: Если s(t)-закон прямолинейного движения тела,то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t: v=s^штрих(t)-первая производная.Скорость изменения функции-есть производная от этой функции. При прямолинейном движении точки ускорение (а) есть вторая производная пути от времени t,т.е. а=s^два штриха(t).

Геометрический смысл: Если к графику функции у=f(x) в точке с абсцисссей х=а можно провести касательную,непараллельную оси у,то f^штрих(а) выражает угловой коэффициент касательной: k=f^штрих(а).

Билет 5

Производная функции.Общее правило нахождения производной.Производная суммы,произведения,частного и степени.Пример.

Производная функции-предел приращения функции к приращению аргумента при дельта_х->0,т.е. у^штрих=f^штрих(x)=lim (дельта_у)/(дельта_х) при дельта_х->0.

Пусть функция y=f(x) определена в точках х0 и х.Разность (х-х0) называют приращением аргумента,а разность (f(x)-f(x0)) называют приращением функции.

Чтобы вычислить производную функции f(x) в точке х0 нужно:

1)найти разность f(x)-f(x0)

2)найти отношение (f(x)-f(x0))/(x-x0)

3)найти предел этого отношения при x->x0

Пример:Найти производную f(x)=c,где c-const. 1)Находим разность: f(x)-f(x0)=c-c=0. 2)Находим отношение: (f(x)-f(x0))/(x-x0)=0/(x-x0)=0. 3)Находим предел: lim (f(x)-f(x0))/(x-x0) при x->x0=lim 0 при x->x0=0.

Производная суммы: (u+-v)^штрих=u^штрих +- v^штрих, где u=u(x), v=v(x). Пример: y^штрих=(10x^8+3x^4+7x-3)^штрих=80x^7+12x^3+7.

Производная произведения: (u*v)^штрих=(u^штрих)*v + u*(V^штрих), где u=u(x), v=v(x).

Производная частного: (u/v)^штрих=((u^штрих)*v - u*(V^штрих))/v^2, где u=u(x), v=v(x).

Производная степени: (x^n)^штрих=nx^(n-1); (1/x^n)^штрих=-n/x^(n+1). Пример: у=х^4, у^штрих=(x^4)^штрих=4x^3. y^штрих=(11/x)^штрих=11(1/х)^штрих=-11/x^2.

Билет 6

Производная степенной,показательной,логарифмической и тригонометрических функций.Производная сложной функции.

Производная степенной функции: Степенная функция дифференцируема в своей области определения,и ее производная вычисляется по формуле (x^a)^штрих=ax^(a-1).

Производная показательной функции: Функция е^х имеет производную в каждой точке числовой прямой,и ее производная вычисляется по формуле (е^х)^штрих=е^х. Следствие: Показательная функция f(x)=a^x,где а>0,а не равно 1,дифференцирума в каждой точке числовой прямой,и ее производная вычисляется по формуле (a^x)^штрих=a^x*ln_a.

Производная логарифмической функции: Логарифмическая функция дифференцируема в своей области определения,и ее производная вычисляется по формуле (log числа х по основания а)^штрих=1/x*ln_a.

Производная тригонометрических функций:

1.Производная sin: Синус есть функция,дифференцируемая в каждой точке числовой прямой,и ее производная вычисляется по формуле (sin x)^штрих=cos x.

2.Производная cos: Косинус есть функция,дифференцируемая в каждой точке числовой прямой,и ее производная вычисляется по формуле (cos x)^штрих=-sin x.

3.Производная tg: Тангенс есть функция,дифференцируемая в своей области определения,и ее производная вычисляется по формуле (tg x)^штрих=1/cos^2 x.

4.Производная ctg: Котангенс есть функция,дифференцируемая в своей области определения,и ее производная вычисляется по формуле (ctg x)^штрих=-1/sin^2 x.

5.Производная arcsin: Арксинус есть функция,дифференцируемая в каждой точке интервала (-1;1),и ее производная вычисляется по формуле (arcsin x)^штрих=1/кор.из (1-x^2).

6.Производная arccos: Арккосинус есть функция,дифференцируемая в каждой точке интервала (-1;1),и ее производная вычисляется по формуле (arccos x)^штрих=-1/кор.из (1-x^2).

7.Производная arctg: Арктангенс есть функция,дифференцируемая в каждой точке числовой прямой,и ее производная вычисляется по формуле (arctg x)^штрих=1/1+x^2.

8.Производная arcctg: Арккотангенс есть функция,дифференцируемая в каждой точке числовой прямой,и ее производная вычисляется по формуле (arcctg x)^штрих=-1/1+x^2.

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.

Билет 7

Дифференциал функции.Геометрический смысл дифференциала.Приложение дифференциала к приближенным вычислениям.Пример.

Дифференциалом функции y=f(x) (дифференциалом первого порядка) называется произведение производной этой функции на приращение аргумента дельта_х.

Дифференциал функции обозначается dy,т.е. dy=f^штрих(x)*дельта_x.

Дифференциал аргумента равен приращению аргумента,т.е. dx=дельта_х.Тогда диф-ал первого порядка равен произведению производной этой функции на dx,т.е. dy=f^штрих(x)*dx.

Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от диф-ла первого порядка,т.е. диф-ал второго порядка y=f(x) равен произведению второй производной этой функции на квадрат диф-ала аргумента,т.е. d^2y=f^два штриха(x)*dx^2.

Геометрический смысл диф-ала: Если функция f имеет производную в точке х0,то диф-ал функции f в точке х0 равен приращению ординаты касательной,проведенной к графику данной функции в точке с абсциссей х0,при переходе от точки касания в точку с абсциссей (х0+дельта_х).

Приложение диф-ала к приближенным вычислениям - для дифференцируемой в точке х0 функции f,у которой f^штрих(х0) не равно 0,при всех достаточно малых дельта_х(приращение аргумента) имеет место следующая формула: дельта_f(x0) приближенно равно dy(x0),т.е. дельта_f(x0) приближенно равно f^штрих(х0)*дельта_х.

Пример: Пусть f(x)=sin x.Известно,что f^штрих(x)=cos x.Используя формулу,получим: дельта_f(x0)=sin(x0+дельта_х)-sin x0 приближенно равно cos_x0*дельта_х.Для всех достаточно малых дельта_х sin(x0+дельта_х) приближенно равно sin x0 + cos_x0*дельта_х.При х0=0 получим sin дельта_х приближенно равно дельта_х для всех достаточно малых дельта_х.Если в формулу положить х=П/4,то получим sin(П/4+дельта_х) приближенно равно ((кор.из 2)/2)*(1+дельта_х).

Билет 8

Возрастание и убывание функции.Экстремумы функции.

Возрастание и убывание функции.

Необходимые условия:

1.Если дифференцируемая функцмя f(x), х принадлежит (a;b),возрастает на интервале (a;b),то f^штрих(х)>=0 для любого х из интервала (a;b).

2.Если дифференцируемая функция f(x), х принадлежит (a;b),убывает на интервале (a;b),то f^штрих(х)<=0 для любого х из интервала (a;b).

Интервалы,на которых функция возрастает или убывает,называются интервалами монотонности этой функции.

Достаточные условия:

1.Если функция f имеет неотрицательную производную в каждой точке интервала (a;b),то функция f возрастает на интервале (a;b).

2.Если функция f имеет неположительную производную в каждой точке интервала (a;b),то функция f убывает на интервале (a;b).

Правило нахождения интервалов монотонности:

1.Вычисляем производную f^штрих(х) данной функции f(x),а затем находим точки,в которых f^штрих(х) равна 0 или не существует.Эти точки называются критическими для функции f(x).

2.Критическими точками область определения функции f(x) разбивается на интервалы,на каждом из которых производная f^штрих(х) сохраняет свой знак.Эти интервалы будут интервалами монотонности.

3.Определяем знак f^штрих(х) на каждом из найденных интервалов.Если на рассматриваемом интервале f^штрих(х)>=0,то на этом интервале f(x) возрастает,если же f^штрих(х)<=0,то на таком интервале f(x) убывает.

Экстремумы функции.

Точка х0 называется точкой минимума функции f(x),если существует такая окрестность точки х0,что для всех х не равных х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)>f(x0).

Точка х0 называется точкой максимума функции f(x),если существует такая окрестность точки х0,что для всех х не равных х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)<f(x0).

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума данной функции,а значения функции в этих точках-максимума и минимумами функции или экстремумами функции.

Необходимое условие: Если точка х0 является точкой экстремума функции y=f(x) и в этой точке существует производная f^штрих(x0),то она равна 0: f^штрих(x0)=0 (теорема Ферма).

Достаточные условия:

1.Пусть функция f(x) непрерывна в точке х0 и в ее сигма-окрестности имеет производную,кроме самой точки х0.Тогда

а)если производная f^штрих(x) при переходе через точку х0 меняет знак с + на -,то точка х0 является точкой максимума функции f(x);

б)если производная f^штрих(x) при переходе через точку х0 меняет знак с - на +,то точка х0 является точкой минимума функции f(x);

в)если существует окрестность (х0-сигма;х0+сигма) точки х0,в которой производная f^штрих(x) сохраняет свой знак,то в точке х0 данная функция f(x) не имеет экстремума.

2.Если функция f(x),определенная в некоторой окрестности точки х0,имеет первую и вторую производные и f^штрих(х0)=0,а f^два штриха(х0) не равно 0,то в точке х0 функция f(x) имеет экстремум,причем максимум,если f^два штриха(х0)<0,и минимум,если f^два штриха(х0)>0.

Правила нахождения экстремумов функции:

1.Найти производную f^штрих(x)

2.Найти критические точки функции y=f(x),т.е. точки,в которых f^штрих(x) обращается в 0 или терпит разрыв

3.Исследовать знак производной f^штрих(x) в промежутках,на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x).При этом критическая точка х0 есть точка минимума,если она отделяет промежуток,в котором f^штрих(x)<0,от промежутка,в котором f^штрих(x)>0,и точка максимума в противном случае.Если же в соседних промежутках,разделенных критической точкой х0,знак не меняется,то в точке х0 функция экстремума не имеет.

Билет 9

Выпуклость и вогнутость кривой.Точки перегиба.

Выпуклость и вогнутость кривой.

График непрерывно дифференцируемой функции f(x),х принадлежит (a;b),называется выпуклым на интервале (a;b),если производная f^штрих(x) убывает на (a;b).А если f^штрих(x) возрастает на (a;b),то график этой функции вогнутый.

Интервалы,на которых график функции выпуклый или вогнутый,называют интервалами выпуклости графика функции.

Достаточное условие: пусть функция f(x),х принадлежит (a;b),имеет первую и вторую производные.Тогда,если f^два штриха(х)<0 для всех х принадлежащих (a;b),то на интервале (a;b) график функции f(x) выпуклый,если же f^два штриха(х)>0 для всех х принадлежащих (a;b),то график функции f(x) вогнутый на (a;b).

Правило нахождения интервалов выпуклости:

1.Найти все точки,в которых или f^два штриха(х)=0, или f^два штриха(х) не существует(эти точки называются критическими точками функции по второй производной);

2.В каждом из интервалов,на которые разбивается интервал (a;b) критическими точками,найденными в первом пункте данного правила,установить знак f^два штриха(х).Если в рассматриваемом интервале f^два штриха(х)>0,то на этом интервале график функции выпуклый,если же f^два штриха(х)<0,то вогнутый.

Точки перегиба.

Точка графика дифференцируемой функции,абсцисса которой является одновременно концом интервала выпуклости и концом интервала вогнутости,называется точкой перегиба графика этой функции.

Необходимое условие:Пусть функция f(x) на интервале (a;b) имеет непрерывную производную второго порядка.Тогда,если точка с абсциссой х0 принадлежит (a;b) является точкой перегиба графика этой функции, то f^два штриха(х0)=0.

Достаточное условие:Пусть функция f(x) на интервале (a;b) имеет производную второго порядка.Тогда,если f^два штриха(х) меняет знак при переходе аргумента через х0 принадлежащего (a;b),то х0 является абсциссой точки перегиба графика данной функции.

Правило нахождения точек перегиба графика функции:

1.Найти критические точки функции по второй производной;

2.Исследовать знак второй производной в некоторой окрестности критической точки.Если f^два штриха(х) меняет знак при переходе аргумента через критическую точку х0,то (х0;f(x0))-точка перегиба графика данной функции.

Билет 10

Исследование функции при помощи производных.

Возрастание и убывание функции.

Необходимые условия:

1.Если дифференцируемая функцмя f(x), х принадлежит (a;b),возрастает на интервале (a;b),то f^штрих(х)>=0 для любого х из интервала (a;b).

2.Если дифференцируемая функция f(x), х принадлежит (a;b),убывает на интервале (a;b),то f^штрих(х)<=0 для любого х из интервала (a;b).

Интервалы,на которых функция возрастает или убывает,называются интервалами монотонности этой функции.

Достаточные условия:

1.Если функция f имеет неотрицательную производную в каждой точке интервала (a;b),то функция f возрастает на интервале (a;b).

2.Если функция f имеет неположительную производную в каждой точке интервала (a;b),то функция f убывает на интервале (a;b).

Правило нахождения интервалов монотонности:

1.Вычисляем производную f^штрих(х) данной функции f(x),а затем находим точки,в которых f^штрих(х) равна 0 или не существует.Эти точки называются критическими для функции f(x).

2.Критическими точками область определения функции f(x) разбивается на интервалы,на каждом из которых производная f^штрих(х) сохраняет свой знак.Эти интервалы будут интервалами монотонности.

3.Определяем знак f^штрих(х) на каждом из найденных интервалов.Если на рассматриваемом интервале f^штрих(х)>=0,то на этом интервале f(x) возрастает,если же f^штрих(х)<=0,то на таком интервале f(x) убывает.

Экстремумы функции.

Точка х0 называется точкой минимума функции f(x),если существует такая окрестность точки х0,что для всех х не равных х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)>f(x0).

Точка х0 называется точкой максимума функции f(x),если существует такая окрестность точки х0,что для всех х не равных х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)<f(x0).

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума данной функции,а значения функции в этих точках-максимума и минимумами функции или экстремумами функции.

Необходимое условие: Если точка х0 является точкой экстремума функции y=f(x) и в этой точке существует производная f^штрих(x0),то она равна 0: f^штрих(x0)=0 (теорема Ферма).

Достаточные условия:

1.Пусть функция f(x) непрерывна в точке х0 и в ее сигма-окрестности имеет производную,кроме самой точки х0.Тогда

а)если производная f^штрих(x) при переходе через точку х0 меняет знак с + на -,то точка х0 является точкой максимума функции f(x);

б)если производная f^штрих(x) при переходе через точку х0 меняет знак с - на +,то точка х0 является точкой минимума функции f(x);

в)если существует окрестность (х0-сигма;х0+сигма) точки х0,в которой производная f^штрих(x) сохраняет свой знак,то в точке х0 данная функция f(x) не имеет экстремума.

2.Если функция f(x),определенная в некоторой окрестности точки х0,имеет первую и вторую производные и f^штрих(х0)=0,а f^два штриха(х0) не равно 0,то в точке х0 функция f(x) имеет экстремум,причем максимум,если f^два штриха(х0)<0,и минимум,если f^два штриха(х0)>0.

Правила нахождения экстремумов функции:

1.Найти производную f^штрих(x)

2.Найти критические точки функции y=f(x),т.е. точки,в которых f^штрих(x) обращается в 0 или терпит разрыв

3.Исследовать знак производной f^штрих(x) в промежутках,на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x).При этом критическая точка х0 есть точка минимума,если она отделяет промежуток,в котором f^штрих(x)<0,от промежутка,в котором f^штрих(x)>0,и точка максимума в противном случае.Если же в соседних промежутках,разделенных критической точкой х0,знак не меняется,то в точке х0 функция экстремума не имеет.

Выпуклость и вогнутость кривой.

График непрерывно дифференцируемой функции f(x),х принадлежит (a;b),называется выпуклым на интервале (a;b),если производная f^штрих(x) убывает на (a;b).А если f^штрих(x) возрастает на (a;b),то график этой функции вогнутый.

Интервалы,на которых график функции выпуклый или вогнутый,называют интервалами выпуклости графика функции.

Достаточное условие: пусть функция f(x),х принадлежит (a;b),имеет первую и вторую производные.Тогда,если f^два штриха(х)<0 для всех х принадлежащих (a;b),то на интервале (a;b) график функции f(x) выпуклый,если же f^два штриха(х)>0 для всех х принадлежащих (a;b),то график функции f(x) вогнутый на (a;b).

Правило нахождения интервалов выпуклости:

1.Найти все точки,в которых или f^два штриха(х)=0, или f^два штриха(х) не существует(эти точки называются критическими точками функции по второй производной);

2.В каждом из интервалов,на которые разбивается интервал (a;b) критическими точками,найденными в первом пункте данного правила,установить знак f^два штриха(х).Если в рассматриваемом интервале f^два штриха(х)>0,то на этом интервале график функции выпуклый,если же f^два штриха(х)<0,то вогнутый.

Точки перегиба.

Точка графика дифференцируемой функции,абсцисса которой является одновременно концом интервала выпуклости и концом интервала вогнутости,называется точкой перегиба графика этой функции.

Необходимое условие:Пусть функция f(x) на интервале (a;b) имеет непрерывную производную второго порядка.Тогда,если точка с абсциссой х0 принадлежит (a;b) является точкой перегиба графика этой функции, то f^два штриха(х0)=0.

Достаточное условие:Пусть функция f(x) на интервале (a;b) имеет производную второго порядка.Тогда,если f^два штриха(х) меняет знак при переходе аргумента через х0 принадлежащего (a;b),то х0 является абсциссой точки перегиба графика данной функции.

Правило нахождения точек перегиба графика функции:

1.Найти критические точки функции по второй производной;

2.Исследовать знак второй производной в некоторой окрестности критической точки.Если f^два штриха(х) меняет знак при переходе аргумента через критическую точку х0,то (х0;f(x0))-точка перегиба графика данной функции.

Билет 11

Неопределенный интеграл и его свойства.Метод непосредственного интегрирования.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке х,если в любой точке этого промежутка ее производная равна f(x),т.е. F^штрих(x)=f(x).

Множество всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается символом инт.f(x)dx,т.е. инт.f(x)dx=F(x)+C, где f(x)-подынтегральная функция,f(x)dx-подынтегральное выражение,х-переменная интегрирования.

Свойства:

1.Если функция f(x) имеет первообразную,то (инт.f(x)dx)^штрих=f(x),т.е. производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2.Если f(x)-дифференцируемая функция,то инт.f^штрих(х)dx=f(x)+C, инт.dy(x)=f(x)+C.

3.Если функция f(x) имеет первообразную,то при а не равном 0 верно равенство инт.af(x)dx=a*инт.f(x)dx,т.е. постоянный не равный 0 множитель можно выносить за знак интеграла.

4.Если функция f(x) и g(x) имеют первообразные,то инт.(f(x)+g(x))dx=инт.f(x)dx+инт.g(x)dx,т.е. интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций.

Непосредственным интегрированием называется такой метод вычисления интегралов,при котором они сводятся к табличным путем применения к ним основных свойств неопределенных интегралов.При этом подынтегральную функцию обычно предварительно соответствующим образом преобразуют.

Билет 12

Неопределенный интеграл.Методы интегрирования неопределенного интеграла.Пример.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке х,если в любой точке этого промежутка ее производная равна f(x),т.е. F^штрих(x)=f(x).

Множество всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается символом инт.f(x)dx,т.е. инт.f(x)dx=F(x)+C, где f(x)-подынтегральная функция,f(x)dx-подынтегральное выражение,х-переменная интегрирования.

Методы интегрирования:

1.Непосредственным интегрированием называется такой метод вычисления интегралов,при котором они сводятся к табличным путем применения к ним основных свойств неопределенных интегралов.При этом подынтегральную функцию обычно предварительно соответствующим образом преобразуют.

Пример: инт.3х^2dx=3*инт.x^2dx=3x^3/3+C=x^3+C.

2.Метод замены переменной(метод подстановки).В основе вычисления неопределенных интегралов лежит следующая формула,являющаяся простым следствием правила дифференцирования сложной функции: инт.f(g(x))*g^штрих(x)dx=F(g(x))+C, где t=g(x), F(t)-какая-либо первообразная функции f(t).

Пример: Найти инт.(2х+1)^10dx. Так как (2х+1)^10dx=(1/2)*(2x+1)^10*d(2x+1),то,положив t=2x+1,получим инт.(2x+1)^10dx=1/2*инт.(2x+1)^10*d(2x+1)=1/2*инт.t^10dt=t^11/22 +C=((2x+1)^11)/22 +C.

3.Интегрирование по частям.Согласно правилу дифференцирования произведения имеем d(uv)=V*du+u*dv.Поэтому u*dv=d(uv)-v*du.Интегрируя обе части этого равенства,получим инт.u*dv=инт.d(uv)-инт.v*du.Используя свойство неопределенных интегралов: инт.d(uv)=uv+C, получим формулу инт.u*dv=uv-инт.v*du - эта формула интегрирования по частям.

Пример: Найти инт.xe^xdx.Положим u=x, dv=e^xdx, тогда du=dx, v=e^x. Таким образом,используя формулу интегрирования по частям,получим инт.xe^xdx=xe^x-инт.e^xdx=xe^x-e^x+C.

Билет 13

Определенный интеграл и его свойства.Метод непосредственного интегрирования.

Определенный интеграл обозначается b^инт._a f(x)dx,где где f(x)-подынтегральная функция,f(x)dx-подынтегральное выражение,х-переменная интегрирования,a-нижний предел интегрирования,b-верхний предел интегрирования.

Свойства:

1.Для любого действительного числа с b^инт._a сdx=с(b-a).

2.Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a;b],то для любого действительного числа с функция cf(x) также интегрируема на [a;b] и b^инт._a сf(x)dx=c*b^инт._a f(x)dx,т.е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

3.Если функция f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a;b],то их сумма f(x)+g(x) также интегрируема на [a;b] и b^инт._a (f(x)+g(x))dx=b^инт._a f(x)dx + b^инт._a g(x)dx,т.е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.

4.Если на отрезке [a;b] функции f(x) и g(x) интегрируемы и f(x)<=g(x), то справедливо неравенство b^инт._a f(x)dx<=b^инт._a g(x)dx.

5.Если функция f(x) интегрируема на отрезках [a;c] и [c;b],то b^инт._a f(x)dx=c^инт._a f(x)dx + b^инт._c f(x)dx.

Непосредственным интегрированием называется такой метод вычисления интегралов,при котором они сводятся к табличным путем применения к ним основных свойств неопределенных интегралов.При этом подынтегральную функцию обычно предварительно соответствующим образом преобразуют.

Билет 14

Определенный интеграл.Методы интегрирования определенного интеграла.Пример.

Определенный интеграл обозначается b^инт._a f(x)dx,где где f(x)-подынтегральная функция,f(x)dx-подынтегральное выражение,х-переменная интегрирования,a-нижний предел интегрирования,b-верхний предел интегрирования.

Методы интегрирования:

1.Формула Нютона-Лейбница. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b],а функция F(x) является первообразной для f(x) на этом отрезке,то справедлива формула b^инт._a f(x)dx=F(b)-F(a).

Пример: 2^инт._1 5x^4dx=5* 2^инт._1 x^4dx=5*x^5/5 2^|_1=x^5 2^|_1=2^5-1^5=31.

2.Метод подстановки. Пусть функция f(x) непрерывна в любой точке х=фи(t),где t принадлежит [альфа;бетта],и пусть а=фи(альфа),b=фи(бетта).Тогда,если функция фи(t) имеет непрерывную производную,то справедлива следующая формула: b^инт._a f(x)dx=бетта^инт._альфа f(фи(t))*фи^штрих(t)dt. Ее можно записать и в следующем виде: b^инт._a f(x)dx=бетта^инт._альфа f(фи(t))*d*фи(t).

Пример: Вычислить 3^инт._0 х*кор.из(1+х)dx.Положив х=t^2-1,t>0. Находим dx=2t*dt, кор.из(1+х)=t,новые пределы интегрирования альфа=1, бетта=2.Следовательно, 3^инт._0 х*кор.из(1+х)dx=2*2^инт._1 t^2(t^2-1)dt=2*2^инт._1 t^4dt - 2*2^инт._1 t^2dt=2*(t^5/5)2^|_1 - 2*(t^3/3)2^|_1=2*((32-1)/5 - (8-1)/3)=136/15.

3.Интегрирование по частям. b^инт._a u*dv=uv b^|_a - b^инт._a v*du - формула интегрирования по частям для определенного интеграла,где u=u(x), v=v(x).

Пример: Вычислить П^инт._0 x^2cos xdx. Положим u=x^3, dv=cos xdx, тогда du=2xdx, v=sin x. По формуле находим: П^инт._0 x^2cos xdx=x^2 sin x П^|_0 - 2*П^инт._0 x sin xdx=-2*П^инт._0 x sin xdx. К полученному интегралу снова применим формулу интегрирования по частям.Положим: u=x, dv=sin xdx, тогда du=dx, v=-cos x и,следовательно, П^инт._0 x sin xdx=-x cos x П^|_0 + П^инт._0 cos xdx=-П cosП + sinx П^|_0=П. Таким образом,П^инт._0 x^2cos xdx=-2П.

Билет 27.

Тела вращения.Конус.Сесения конуса с плоскостью.

Тело вращения-...

Конус-(круговой конус)-тело,которое содержит в себе два круга,не лежащих в одной плоскости этого

круга,-вершины конуса и всех отрезков,соединяющих вершину конуса с точками основания.

Отрезки,соединяющие вершину конуса с точками окружности,называются образующими конуса.Поверхность конуса

состоитиз основания и боковой поверхности.

а)прямой конус-если прямая,соединяющяя вершину конуса с центром основания,перпендикулярна плоскости основания.

высотой конуса называют перпендикуляр,опущеный из его верщины,на плоскость основания.

У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания.

Осью прямого кругового конуса называется прямая,содержащяя его вершину.

б)Коническпя поверхность-полный конус состоит из прямых,проходящих через данную точку (S),перекающих данную окружность.

Сечения конуса плоскостью:

Теорема 1:

Плоскасть,паралельная плоскости основания конуса,пересекает конус по кругу,а боковую поверхность пересекает по окружности

с центром на оси конуса.

Сечения конуса плоскостью плоскостью,проходящей через его вершину,представляет собой равнобедренный

треугольник,у которого боковые стороны являются образующими конуса.

В часности,равнобедренным треугольником являются сечения конуса.Это сечение,которое проходит через ось конуса.

Билет 28.

Шар и сфера (оболочка шара).Взаимное расположение сферы и плоскости.Касательная плоскость к сфере.

Шар-тело,которое состоит из всех точек пространства,находящихся на растоянии,не более даного,от данной точки.

а)Эта точка-центр шара,а данное растояние-радиус шара.

б)Граница шара-шаровая поверхность или СФЕРА.

в)Диаметр-отрезок,соединяющий две точки шаровой поверхности и прходящей через центр шара.

Концы любого диаметра называют диаметрально противоположными точками шара.

Сечения шара плоскостью:

Теорема 1:

Всякое сечение шара плоскостью есть круг.

Центр этого круга есть основание перпендикуляра,опущеного из цнтра шара на секущую плоскость.

Плоскость,проходящяя через центр шара называется диаметральной плоскостью.Сечение шара диаметральной

плоскостью называется большим кругом,а сечение сферы большой окружностью.

Симметрия шара:

Теорема 2:

Любая диагональная плоскость шара является плоскостью симметрии.Центр шара является его центр симметрии.

Касательная плоскост к шару:

Плоскость,проходящяя через точку (А) шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу,проведённому в точку (А),

называется касательной плоскостью.(Точка (А)-точка касания).

Теорема 3:

Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку-точку касания.

прямая в касательной плоскости шара,проходящяя через точку касания,называется касательной к шару в этой точке.

Так как касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку,то касательная прямая тоже имеет с шаром

только одну общую точку-точку касания.

Теорема 4:

Линяя пересечения двух сфер есть окружность.

Билет 29

Площадь поверхности и объем призмы и цилиндра.

Тело называется простым,если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид.

Для простых тел объем-положительная величина,численное значение которой обладает следующими свойствами:

1)Равные тела имеют равные объемы;

2)Если тело разбить на части,являющиеся простыми телами,то объем этого тела равен сумме объемов его частей;

3)Объем куба,ребро которого равно единице длины,равен единице.

Объем(V) призмы равен произведению площади ее основания(S_о) на высоту(h): V=S_o*h.

Площадь боковой поверхности(S_бок) призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения(Р) на длину ребра(l): S_бок=P*l.

Площадь полной поверхности(S_полн) призмы равна сумме площади боковой поверхности(S_бок) и удвоенному произведению площади основания(S_о): S_полн=S_бок + 2*S_o.

Площадь боковой поверхности(S_бок) прямой призмы равна произведению периметра основания(Р_о) на длину ребра(l),которая равна высоте(h): S_бок=P_o*l (l=h).

Объем(V) цилиндра равен произведению площади основания(S) на высоту(H): V=S*H=П*R^2*H.

Площадь боковой поверхности(S_бок) цилиндра равна удвоенному произведению числа П на радиус(R) и на высоту(h): S_бок=2П*R*h.

Площадь полной поверхности(S_полн) цилиндра равна сумме удвоенного произведения числа П на радиус(R) в квадрате и удвоенного произведения числа П на радиус(R) и на высоту(h): S_полн=2П*R^2 + 2П*R*h.

Билет 30

Площадь поверхности и объем пирамиды и конуса.

Тело называется простым,если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид.

Для простых тел объем-положительная величина,численное значение которой обладает следующими свойствами:

1)Равные тела имеют равные объемы;

2)Если тело разбить на части,являющиеся простыми телами,то объем этого тела равен сумме объемов его частей;

3)Объем куба,ребро которого равно единице длины,равен единице.

Объем(V) пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания(S_o) на высоту(h): V=1/3*S*h.

Площадь пирамиды(S) равна сумме площади боковой поверхности(S_бок) пирамиды и площади ее основания(S_о): S=S_бок + S_o.

Площадь боковой поверхности(S_бок) правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания(Р) основания на высоту боковой грани,апофему(k): S_бок=1/2*Р*k.

Объем усеченной пирамиды находится по формуле: V=1/3*h*(S1 + кор.из(S1*S2) + S2),где h-высота пирамиды, S1,S2-площади оснований.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды находится по формуле: S_бок=1/2*(р1+р2)*k, где р1,р2-периметры оснований, k-высота боковой грани,апофема.

Объем(V) конуса равен одной трети произведения площади основания(S_o) на высоту(h): V=1/3*S_o*h=1/3*ПR^2*h.

Площадь боковой поверхности(S_бок) конуса равна произведению числа П на радиус(R) и на длину боковой грани(образующая,l): S_бок=П*R*l.

Площадь полной поверхности(S_полн) конуса равна произведению числа П на радиус(R) и на сумму радиуса(R) и образующей(l): S_полн=П*R*(R+l).

Для усеченного конуса:

1)Объем: V=1/3*П*h*(R^2+R*r+r^2),где h-высота, R и r-радиусы оснований;

2)Площадь боковой поверхности: S_бок=П*l*(R+r), где l-образующая, R и r-радиусы оснований;

3)Площадь полной поверхности: S_полн=S_бок + П*(R^2 + r^2), где R и r-радиусы оснований.

Билет 31

Площадь поверхности и объем сферы, шара и его частей.

Тело называется простым,если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид.

Для простых тел объем-положительная величина,численное значение которой обладает следующими свойствами:

1)Равные тела имеют равные объемы;

2)Если тело разбить на части,являющиеся простыми телами,то объем этого тела равен сумме объемов его частей;

3)Объем куба,ребро которого равно единице длины,равен единице.

Объем шара вычисляется по формуле V=4/3*П*R^3=(П*d^3)/6.

Площадь сферы вычисляется по формуле: 4*П*R^2=П*d^2.

Шаровой сегмент-часть шара,отсекаемая от него плоскостью.

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле V=П*H^2*(R-4/3), где R-радиус шара, H-высота шарового сегмента.

Шаровой сектор-тело,которое получается из шарового сегмента и конуса следующим образом:

1)когда сегмент меньше полушара,шаровой сектор получается дополнением этого сегмента конуса с тем же основанием,которое у сегмента,и вершиной в центре шара;

2)когда сегмент больше полушара,шаровой сектор получается из этого сегмента удалением из него конуса,у которого основанием служит основание сегмента,а вершина в центре шара.

Объем шарового сектора определяется по формуле V=2/3*П*R^2*H, где R-радиус шара, H-высота соответствующего шарового сегмента.

Площадь сферической части поверхности шарового сектора,т.е. площадь сферического сегмента,для нее получается формула S=2*П*R*H, где H-высота сегмента, R-радиус шара.

Дата добавления: 2015-08-29