1)Понятие Событие.Определение. Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта.При этом тот или иной результат опыта может быть получен с различной

1) Понятие Событие. Определение. Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта.При этом тот или иной результат опыта может быть получен с различной степенью возможности. Т.е. в некоторых случаях можно сказать, что одно событие произойдет практически наверняка, другое практически никогда.В отношении друг друга события также имеют особенности, т.е. в одном случае событие А может произойти совместно с событием В, в другом – не может.Определение. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других.Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты – выпадение лицевой стороны монеты исключает выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте).Определение. Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.Определение. Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.

2) Классическое определение вероятности P=m/n. Вероятность – одно из основных понятий теории вероятностей. (классическое определение вероятности). Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой:

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А; n – число всех возможных элементарных исходов испытания. Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства: 1) Вероятность достоверного события равна единице. 2) Вероятность невозможного события равна нулю. 3) Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

3) Теорема сложения вероятностей. Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие 1: Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Определение. Противоположными называются два несовместных события, образующие полную группу.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Определение. Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

4) Формула Байеса. (формула Байеса(1)). Пусть Н₁ , Н₂ — полная группа событий, и А — некоторое событие, вероятность которого положительна. Тогда условная вероятность того, что имело место событие Н_к, если в результате эксперимента наблюдалось событие А, может быть вычислена по формуле:

Доказательство. По определению условной вероятности,

5) Формула Бернулли. Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний.

Формулировка:

Теорема: Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность P_к,_n того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна:

где,

Доказательство: Так как в результате n независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие А наступает с вероятностью , следовательно, противоположное ему событие с вероятностью .

6) Формула Пуассона. Часто интерес представляет случай большого числа n и малой вероятности p успеха в одном отдельном испытании. В этом случае удобно воспользоваться приближением Пуассона.

Теорема: Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна, близка к нулю, а число независимых испытаний n достаточно велико, то вероятность P_n(k) того, что в n независимых испытаниях событие А наступит k раз, приближенно равна:

где λ=np.

Эта формула называется формулой Пуассона. Обычно приближенную формулу Пуассона применяют, когда p<0,1, а npq<10.

7) Закон распределения дискретной случайной величины представляет собой перечень всех её возможных значений и соответствующих вероятностей. Сумма всех вероятностей Σp_i = 1. Закон распределения также может быть задан аналитически (формулой) и графически (многоугольником распределения, соединяющим точки (x_i; p_i)

8) Дисперсия. Дисперсия дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: Свойства дисперсии.

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С) = 0

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СХ) = С2 · D(Х)

3) Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(Х₁ ± Х₂ ±... ± Х_n) = D(Х₁) + D(Х₂) +... + D(Х_n)

9) Среднее квадратичное отклонение. Среднее квадратичное отклонение определяется как обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Оно равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической, т.е. корень из дисперсии и может быть найдена так: 1. Для первичного ряда:

2. Для вариационного ряда:

Преобразование формулы среднего квадратичного отклонени приводит ее к виду, более удобному для практических расчетов:

10) Функция распределения. Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х.Функцию распределения также называют интегральной функцией.Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Она полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения. Для дискретной случайной величины функция распределения имеет вид:

Знак неравенства под знаком суммы показывает, что суммирование распространяется на те возможные значения случайной величины, которые меньше аргумента х.

11) Мода. Мода — значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто. Иногда в совокупности встречается более чем одна мода (например: 2, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10; мода = 6 и 9). В этом случае можно сказать, что совокупность мультимодальна. Из структурных средних величин только мода обладает таким уникальным свойством. Как правило мультимодальность указывает на то, что набор данных не подчиняется нормальному распределению.

Мода, как средняя величина, употребляется чаще для данных имеющих нечисловую природу. Среди перечисленных цветов автомобилей — белый, черный, синий металлик, белый, синий металлик, белый — мода будет равна белому цвету. При экспертной оценке с её помощью определяют наиболее популярные типы продукта, что учитывается при прогнозе продаж или планировании их производства.

12) Медиана. Медиана — это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

13) Законы распределения двумерной случайной величины. Двумерной называют случайную величину (X, Y), возможные значения которой есть пары чисел (x,y). Составляющие X и Y, рассматриваемые одновременно образуют систему двух случайных величин. Двумерную величину геометрически можно истолковать как случайную точку M(X;Y) на плоскости хОy либо как случайный вектор OM. Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны. Неприрывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны. Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

14) Предмет математической статистики. Раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. При этом статистическими данными называют сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками.

15) Какие задачи она решает. Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных — результатов наблюдений. Первая задача математической статистики—указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов. Вторая задача математической статистики — разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. Сюда относятся: А) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.; Б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

16) Что такое вариационный ряд. Понятие вариационного ряда. Первичные статистические данные, с которыми имеет дело историк, часто представлены неупорядоченной последовательностью чисел, характеризующей ту или иную сторону процесса или явления. В этой совокупности чисел бывает трудно разобраться, и первичная обработка материалов сводится к приведению имеющихся данных к виду, удобному для анализа.

17) Выборка. Выборка — множество случаев (испытуемых, объектов, событий, образцов), с помощью определённой процедуры выбранных из генеральной совокупности для участия в исследовании. Объём выборки — число случаев, включённых в выборочную совокупность. Из статистических соображений рекомендуется, чтобы число случаев составляло не менее 30—35.

18) Статистический Ряд. Статистические ряды распределения являются одним из наиболее важных элементов статистики. Они представляют собой составную часть метода статистических сводок и группировок, но по сути ни одно из статистических исследований невозможно произвести, не представив первоначально полученную в результате статистического наблюдения информацию в виде статистических рядов распределения. Первичные данные обрабатываются в целях получения обобщенных характеристик изучаемого явления по роду существенных признаков для дальнейшего осуществления анализа и прогнозирования; производится сводка и группировка; статистические данные оформляются с помощью рядов распределения в таблицы, в результате чего информация представляется в наглядном рационально изложенном виде, удобном для использования и дальнейшего исследования; строятся различного рода графики для наиболее наглядного восприятия и анализ информации.

19) Регрессия. Регрессия - англ. Regression, статистический показатель, который пытается определить силу зависимости между одной зависимой переменной (обычно обозначаемой Y) и одной или несколькими другими переменными (независимыми переменными).Двумя основными типами регрессии являются линейная регрессия и множественная регрессия. Линейная регрессия использует одну независимую переменную, чтобы объяснить и/или предсказать результат поведения Y (зависимой переменной), в то время как множественная регрессия использует две или больше независимых переменных, чтобы прогнозировать результат.

20) Ковариация. (Ковариционный момент). Ковариа́ция (корреляционный момент, ковариационный момент) в теории вероятностей и математической статистике мера линейной зависимости двух случайных величин.

21) Коэфициент ковариации. Коэффициентом ковариации называется выражение.

Дата добавления: 2015-08-29