№1 Предмет теории вероятностей. Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следую-щие три вида: достоверные, невозможные и случайные. Достоверным называют событие, которое обязательно

№1 Предмет теории вероятностей. Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следую-щие три вида: достоверные, невозможные и случайные. Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20°, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий S. Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Например, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий предыдущего примера. Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она

может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому событие «при бросании монеты выпал

«герб»—случайное. Каждое случайное событие, в частности выпадение «герба», есть следствие действия очень многих случайных причин (в нашем примере: сила, с которой брошена монета, форма монеты и многие другие). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому теория вероятностей не

ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет,—она просто не в силах это

сделать. По-иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, т. е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям, а именно

вероятностным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.

Итак, предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий. Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Например, хотя, как было уже сказано, нельзя наперед определить результат одного бросания монеты, но можно предсказать, причем с не-

большой погрешностью, число появлений «герба», если монета будет брошена достаточно большое число раз. При этом предполагается, конечно, что монету бросают в одних и тех же условиях. Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории стрельбы, теории ошибок наблюдений, теории автоматического управления, общей теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, предупредительном и приемочном контроле качества продукции и для многих других целей. В последние годы методы теории вероятностей все шире и шире проникают в различные области науки и техники, способствуя их прогрессу. Краткая историческая справка. Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и другие в XVI—XVII вв.). Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654—1705). Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «Закона больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов. Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др. Новый, наиболее плодотворный период связан с именами П. Л. Чебышева (1821—1894) и его учеников А. А.Маркова (1856—1922) и А.М.Ляпунова (1857—1918). В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Ее последующее развитие обязано в первую очередь русским и советским математикам (С. Н. Бернштейн, В. И. Романовский, А. Н. Колмогоров,

А. Я.Хинчин, Б. В. Гнеденко, Н. В. Смирнов и др.). В настоящее время ведущая роль в создании новых ветвей теории вероятностей также принадлежит советским математикам.

№2 Классическое определение вероятности. Вероятность —одно из основных понятий теории

вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим. Далее укажем слабые стороны этого определения и приведем другие определения, позволяющие преодолеть недостатки классического определения. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность

события А определяется формулой где m — число элементарных исходов, благоприятствующих А; N — число всех возможных элементарных исходов испытания. Здесь предполагается, что элементарные исходы не совместны, равновозможны и образуют полную группу. Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства: Св.1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае

m = N, следовательно, Св.2. Вероятность невозможного события

равна нулю. Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае n = 0, следовательно,,

Св.3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < N, значит, 0<m/N<1, следовательно,, 0<P(A)<1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству. Операции над случайными событиями. 1. Суммой случайных событий А и В наз. событие С состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий .

2. произведением случайных событий А и В наз. событие С состоящее в одновременном наступлении этих событий 3. Событие С наз. противоположным событию А, если оно наступает всякий раз когда не происходит событие А 4. Два события А и В не совместимы, если их произведение является невозможным событием.

№3 Элементы комбинаторики и их применение к решению вероятностных задач. Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Р_n = n!,

где n! = 1,2,3,..n. Заметим, что удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, 0! = 1. Пример 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только

один раз? Решение. Искомое число трехзначных чисел Р₃ = 3! = 1*2*3 = 6. Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений A^m_n = n(n— 1)(n—2)... (n- m+1)

Пример 2. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2? Решение. Искомое число сигналов А²₆ =6*5 = 30. Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний C^m_n=n!\(m!(n — m)!).

Пример 3. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Решение. Искомое число способов C²₁₀=10!/2!8!) = 45. Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и

сочетаний связаны равенством A^m_n = P_m C^m_n При решении задач комбинаторики используют следующие правила : Правило суммы. Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m+n способами. Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.

№ 4 Статистическое и геометрическое определение вероятности. Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности — вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.). Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G, вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g. В этих предположениях вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством P(A)= ,где в числителе мера области g, в знаменателе мера области G.

Замечание 1. Приведенные определения являются частными случаями общего определения геометрической вероятности. Если обозначить меру (длину, площадь, объем) области через mes, то вероятность попадания точки, брошенной наудачу (в указанном выше смысле) в область g— часть области G, равна Р = mes g/mes G.

Замечание 2. В случае классического определения вероятность достоверного (невозможного) события равна единице (нулю); справедливы и обратные утверждения (например, если вероятность

события равна нулю, то событие невозможно). В случае геометрического определения вероятности обратные утверждения не имеют места. Например, вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области G равна нулю, однако это событие может произойти, и, следовательно, не является невозможным.

№ 5 Аксиомы Колмагорова и следствия из них. Совершенно другой подход к понятию вероятности предложил Колмагоров. Он ввел три аксиомы: Аксиома 1 (не отрицательности): Любому случайному событию А может быть поставлено в соответствие не отрицательное число которое наз. его вероятностью: любому А →Р(А) = 0 Аксиома 2 (нормировки): Вероятность достоверного события равняется 1 Аксиома 3 (сложения): Если случайное событие А₁, А₂, …, А_n являются попарно не совместимыми А_i *А_j =

I не равно j, то вероятность суммы данных событий равняется сумме вероятности данных событий.

Следствия из аксиом: Сл.1: Вероятность не возможного события равна нулю. Сл.2: Р(А)+Р(Ā)=1 Сл.3: АᴄВ, то Р(А) <=Р(В) Сл. 4: 0<=Р(А)<=1

№ 6 Условная вероятность и следствия из нее. Опр.: Вероятность события А вычисленная в предположении, что некоторое событие В уже произошло наз. условной вероятностью событий, обозначается Р_В(А), где В – нижний индекс: Р_В(А)= Р(АВ)/Р(В), Р(В)≠0 Свойства УВ: 1) Если событие ВᴄА, то Р_В(А)=1; 2) Р_В()=0; 3) Р_В(Ώ)=1;

4) Если события А₁ и А₂ являются не совместимыми, то Р_В(А₁+А₂)=Р_В(А₁) + РВ(А₂); 5) Р_В(А)+Р_В(Ā)=1; 6) Для двух любых случайных событий А₁ и А₂, выполняется следующее условие: Р_В(А₁+А₂)= Р_В(А₁)+Р_В(А₂)- Р_В(А₁А₂).

№ 7 Теорема сложения и умножения. Р(А) и Р_А (В) известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т. е. вероятность того, что появится и событие А и событие В? Ответ на этот вопрос

дает теорема умножения. Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ) = Р(А)*Р_А(В). Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Теорема: Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А) +Р(В).

№ 8 Формула полной вероятности. Теорема Байеса. Пусть событие А может наступить при условии

появления одного из несовместных событий B₁, В₂,..., В_n которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности Р_B1(А), Р_B2(А), …., Р_Bn(А) события А. Как найти вероятность

события A? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорема: Вероятность события А, которое может

наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B₁, В₂,..., В_n образующих полную

группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: Р (А) = Р (В,) Р_B1 (А) + Р (В₂) Р_B2 (A) +... + Р(В_n) Р_Bn (А). Эту формулу называют «формулой полной вероятности». Д-во: По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий B₁, В₂,..., В_n. Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий Р₁А, Р₂А, …., Р_nА. Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим Р (А) = Р (В₁А) + Р (В₂А) +...+Р (В_nА). (*) Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем Р (В₁А) = Р (B₁) Р_B1 (А); Р (В₂А) = Р (В₂) Р_B2 (A);...;Р(Р_nА)=Р(В_n) Р_Bn (А). Подставив правые части этих равенств в соотношение (*), получим формулу полной вероятности Р (А) = Р (В,) Р_B1 (А) + Р (В₂) Р_B2 (A) +... + Р(В_n) Р_Bn (А). Теорема Байеса: Пусть событие В может произойти только с одним из событий А₁, А₂,..., А_n которые образуют полную группу событий, тогда вероятность некоторого события А_n которое входит в полную группу событий вычисленное в предположении, что В уже произошло, будет определятся по формуле: Р_В (А_n) = .

№ 9 Формула Бернулли. Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем далее рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность. Ниже воспользуемся понятием сложного события, понимая под ним совмещение нескольких отдельных событий, которые называют простыми. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события А в каждом испытании одна и та же, а именно

равна р. Следовательно, вероятность не наступления бытия А в каждом испытании также постоянна и равна

q = 1—р. Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n—k раз. Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы событие А повторилось ровно к раз в определенной последовательности. Искомую вероятность обозначим Р_n(k). Вывод формулы Бернулли. Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие А наступит k раз и не наступит n—k раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна p^kq^n-k. Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элементов, т. е. С^к_n. Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появления k раз события А в n испытаниях) равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число: P_n(k) = С^к_n p^kq^n-k или P_n(k)= p^kq^n-k Полученную формулу называют формулой Бернулли.

№ 10 Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Теорема (локальная): Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р_n(k) того, что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции

y = при x= (k-np)/ . x — (k—np)l\fnpq. Имеются таблицы, в которых помещены значения соответствующие положительным значениям аргумента х. Для

отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция ϕ(х) четна, т. е. ϕ(-х)=ϕ(x). Итак, вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна

функции Теорема (интегральная): Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р_n(k₁, k₂) того, что событие А появится в n испытаниях от k₁ до k₂ раз, приближенно равна определенному интегралу P_n(k₁,k₂) dz, где x’ = (k₁-np)/ и x’’ = (k₂-np)/ . При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл

не выражается через элементарные функции. Таблица для интеграла

В таблице даны значения функции Ф(х) для положительных значений х и для х =0; для x<0 пользуются той же таблицей [функция Ф(х) нечетна, т. е. Ф (-х) =- Ф (х)]. В таблице приведены значения интеграла лишь до х = 5, так как для х > 5 можно принять Ф (x) = 0,5. Функцию Ф(х) часто называют функцией Лапласа.

Для того чтобы можно было пользоваться таблицей функции Лапласа, преобразуем соотношение (*) так:

Итак, вероятность того, что событие А появится в n

независимых испытаниях от k₁ до k₂ раз, где

№ 11 Пусть производится n-неизвестных испытаний в котором А - может выполнятся, а может и не выполнятся. Вероятность наступления А - постоянна и равна р, а не наступления постоянна и равна q, т.е.

р 0,01, а количество испытаний достаточно велико n , то P_n(m) = .

№ 12 Случайная величина. Функция распределения СВ и ее свойства. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Функцией распределения СВ ƺ примет значение меньше чем Х. Свойства: 1) Функция распределения 0<=F(x)<=1 2) Вероятность того, что СВ ƺ попадет Р(а<=ƺ<=b) = F(b)- F(a) 3) 4) 5) x₁ x₂ F(x₁) F(x₂)

№ 13 Дискретные СВ. Основные распределения. Дискретной (прерывной) называют случайную вели-

чину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически. Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически,

для чего в прямоугольной системе координат строят точки (х_i р_i), а затем соединяют их отрезками прямых.

Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

№ 14 Непрерывные случайные величины. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возмож-ных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Первая производная функции распределения непрерывной случайной величины наз плотностью распределения. Любая непрерывная случайная величина описывается плотностью распределения. Свойства: 1) 2)

№ 15 Математическое ожидание СВ. Вероятностный смысл, свойства. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Пусть случайная величина X может принимать только значения x₁, x₂,..., х_n, вероятности которых соответственно равны р₁, р₂,..., р_n. Тогда математическое ожидание М (X) случайной величины X определяется равенством М (X) = х₁р₁ + х₂р₂ +... + х_nр_n. Если дискретная случайная величина X принимает

счетное множество возможных значений, то M(X)= причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно. Вероятностный смысл: Пусть произведено n испытаний, в которых случайная величина X приняла m₁ раз значение x₁ m₁ раз значение х₂,..., m_k раз значение x_k, причем m₁+m₂+…+m_k= n. Тогда сумма всех значений, принятых X, равна x₁m₁ + x₂m₂ +... +x_km_k.

Найдем среднее арифметическое X всех значений, принятых случайной величиной, для чего разделим найденную сумму на общее число испытаний: X’ =(x₁m₁ + x₂m₂ +... +x_km_k)/n. Вероятностный смысл полученного результата таков: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Свойства: 1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С; 2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)= СМ(Х); 3) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(ХУ) = М(Х) М(У); 4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х+У)=М(Х)+М(У);

№ 16 Дисперсия СВ, свойства. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M[x-M(X)]² Свойства дисперсии : 1) Дисперсия постоянной величины С равна нулю; D (С) = 0. 2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(CX)= C²D(X) 3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X+Y) = D(X)+D(Y)

№ 17 Дисперсия основных дискретных распределений. Рассмотрим некоторые виды дискретных распределений и определим их дисперсии. 1) случайная величина Бернули: для вычисления дисперсии дискретной случайной величины удобно использовать формулу – ( )² Если случайная величина расписана плотность распределения f(x) то, / 2) Вырожденное распределение = 0 3) Геометрическое распределение; 4) Биномиальное распределение: ; 5) Распределение Пуассона.

№ 18 Равномерное распределение. Случайная величина х подчиняется закону равномерного распределения, если плотность распределения имеет следующий вид:

Найдем 1) функцию распределения для данной СВ: ; 2)Дисперсию = ; 3) Среднее квадратичное отклонение ; 4) Мода не определяется; 5) Медиана: М_е:F(x) = .

№ 19 ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Показательным (экспоненциальным) называют

распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью:

где 𝞴 — постоянная положительная величина. Мы видим, что показательное распределение определяется одним параметром 𝞴. Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближенные значения); разумеется, проще оценить один параметр, чем два или три и т. д. Примером непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, может

служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока. Найдем функцию распределения показательного закона Итак, Мы определили показательный закон с помощью плотности распределения; ясно, что его можно определить, используя функцию распределения. Графики плотности и функции распределения показательного закона изображены на рисунках.

№ 20 Нормальное распределение Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью f(x) = . Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и . Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков: а есть математическое ожидание, a — среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

а) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины, . Введем новую переменную z = (x — а)/ . Отсюда x= z+a, dx = dz. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла

нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат). Второе из слагаемых равно а. Итак, М (X) = а, т. е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру а. б) По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что М (X) = а, имеем Введем новую переменную . Отсюда , dx = dz. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

Интегрируя по частям, положив найдем Следовательно, Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру .

№ 21 Моменты СВ, коэффициенты корреляции, его свойства. Начальным моментом порядка К наз величина определяющаяся по формуле = M(x^k), для дискретной случайной величины: для непрерывной СВ: . Свойства начального момента: 1) =1; 2) 3) -

№ 22 Теоремы о числовых характеристиках. Двумерной случайной величиной наз система однородных случайных величин, где х,у, являются компонентами случайной величины. Двумерная случайная величина может быть: дискретной, непрерывной. К_ху – корреляционный момент Теорема 1: математическое ожидание произведения любых случайных величин х и у определяются как: М(ху)= М(х) М(у) +К_ху Теорема 2: для двух произвольных случайных событй х и у, дисперсия суммы данных СВ определяется как: D(x+y) = D(x) D(y)+2K_xy

Теорема 3: Если СВ х и у являются независимыми, то дисперсия произведения СВ будет определятся как

D(x), где .

№ 23 Вариационный ряд. Его характеристики. Графики статистического распределения. В случае, если кол-во наблюдений достаточно велико и фиксируемые значения различны ДВР строить не целесообразно. В этом случае необходимо не сгруппированный ВР разбить на интервалы, посчитав сколько значений из наблюдаемых входит в тот или иной интервал. I этап заключается в том, чтобы определить шаг интервала, согласно кот. будет происходить анализ данных h=(xmax-xmin)/(1+3.322ln(n)); Определив шаг, определяем длину первого интервала [xmin; xmin+h), длину второго интервала [xmin+h; xmin+2h) и т.д. Если случается так, что последний интервал [xk;xmax), то это значение можно включить в последний интервал. После нахождения всех интервалов необходимо посчитать сколько значений попадает в тот или иной интервал и на основе этого составить интервальный ВР.(Рис1.) Иногда ИВР записывают не с частотами, а с относит. частотами. Для графического изображения ИВР используют гистограмму.

(Рис2.)Высота каждого столбика mi.

Характеристики ИВР:

1)Выборочное среднее

Хв=1/n∑(I от 1 до n)ximi

2)Дисперсия выборочная

Дв= 1/n∑(I от 1 до n)(xi-xв)² mi

3)Среднее квадратичное отклонение σв=(Дв)^1/2

4)Размах вариаций R=Xmax-Xmin

Для расчёта Моды и медианы применяются специальные формулы:

Mo=xн+h*(f2-f1)/(f2-f1+f2-f3), где хн- нижняя граница модального интервала. Модальный интервал-имеющий наибольшую частоту, если таких интервалов несколько, то и мод будет несколько. f2-частота модального интервала, h- шаг интервала, f1- частота предмодального интервала, f3- частота постмодального интервалаПри необходимости моду можно определить по гистограмме.

Медиана Me=xн+h*((Σf)/2-S_Me-1)/f_Me, где хн- нижняя граница медиального интервала, h- шаг интервала, Σf- сумма всех частот, S_Me-1-накопленная частота до медиального интервала, f_Me- частота медиального интервала. Коэффициент вариации рассчит. таким же образом, как и для ДВР.

№ 24 Статистическая взаимосвязь между признаками. При статистическом исследовании (СИ) иногда, необходимо выявить взаимосвязь между признаками. Для этого в математической статистике существует специальный раздел корреляционно-регрессионный анализ. Суть корреляционного анализа – выявить тесноту связи между двумя признаками. В регрессионном анализе выявляется внешний вид зависимости между признаками. Виды зависимости могут делится различными способами: 1) по направлению (прямая, обратна); 2) по форме(линейная, не линейная); 3) по взаимодействующим факторам (парная, многофакторная); 4) иногда взаимосвязь между признаками делится на (непосредственная, косвенная, ложная). Для выявления тесноты связи между признаками используются различные методы. Если данные являются числовыми, достаточно популярным является метод определяющий коэффициент корреляции: . Если коэффициенты корреляции равны 1, то связь между признаками функциональная. Если коэффициент корреляции находится в приделах от 0,7 до 1, то частота связи между признаками сильная. Если по модулю от 0 до 0,3 – слабая. Если коэффициент корреляции равен 0, то можно сказать, что линейная связь между признаками отсутствует. Если данные можно сортировать, то для выявления тесноты связи можно использовать критерий ранговой корреляции Стермена и коэффициент ранговой корреляции Кендела. Причем, в последних двух случаях некоторые данные могут быть качественными, но при этом они должны ранжироваться (сортироваться).

№ 25 Понятие выборки. Способы отбора в выборку. При исследовании каких-либо явлений бывают ситуации, что все объекты исследовать не возможно или не целесообразен. А так же иногда исследователь ограничен во времени и объекты исследовать не в состоянии (не успевает). В этом случае исследуется определенная часть объектов или явлений, а затем результаты распространяются на все исследуемые объекты с учетом определенных ошибок и с определенной долей вероятности. Выборка может быть как повторной так и бесповторной. Если она повторная, то исследуемые объекты возвращаются обратно в генеральную совокупность, а если бесповторная - элементы не возвращаются в генеральную совокупность. Различают 4 основных способа выборки: 1) Собственно-случайная: в этом случае случайным образом из всей исследуемой совокупности выбирается часть объектов и исследуется; 2) Механическая выборка: в этом случае вся исследуемая совокупность делится на n-одинаковых частей и затем из каждой части выбирается один объект и исследуется; 3) Серийная выборка: по определенному признаку вся совокупность делится на серии. Затем случайным образом выбирается несколько серий и в данных сериях исследуются все объекты совокупности.; 4) типическая выборка: вся исследуемая совокупность на типичные однородные группы и затем, согласно определенному правилу из каждой группы выбирается определенное количество элементов в выборке: , n –количество элементов которое необходимо взять в выборку; N - количество элементов во всей доследуемой совокупности; N_i – общее количество элементов в i-ой однородной группе.

Следует учесть, что если из всей исследуемой совокупности произвести выборку мы получим определенный результат который будет отличаться от результата сделанного другим исследователем который из этой совокупности сделает выборку. Эти результаты будут отличаться не только друг от друга, но и от истинного значения, если бы мы исследовали всю совокупность, а не только ее часть. Поэтому в математической статистике вводят понятие средней ошибки выборки: , G – среднее квадратичное отклонение, n - объем выборки. Кроме средней ошибки выборки в математической статистике вводят придельную ошибку выборки: , t – определяется по специальной таблице и зависит от того, с какой долей вероятностями хотим получить результат. При организации выборочного наблюдения необходимо: 1) определить объем выборки, который необходим для исследования; 2) определить способ, которым составляется эта выборка; 3) задать доверительную вероятность, для определения величины t.

Дата добавления: 2015-08-29