Программа курса Вычислительная математика

Программа курса Вычислительная математика

Для студентов 2 курса Факультета информационных технологий и вычислительной техники, 3 и 4 модули.

Направление 230100.62 Информатика и вычислительная техника

Специализации: "Вычислительные машины, комплексы, системы и сети", "Системы автоматизированного проектирования", "Системы автоматизированного проектирования"

Направление 221400.62 Управление качеством.

Составил Программу профессор В.М.Четвериков

Содержание программы

Тема 1.«Математическое моделирование электрических схем.»

1.Этапы математического моделирования

2Формирований уравнений для схем, содержащих источники ЭДС, сопротивления и конденсаторы. Иллюстрации возникновения различных математических задач на примере трехконтурной электрической схемы. Зарядка и разрядка конденсатора. Статическое решение.

3. Простейшие схемы, приводящие к задаче Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка.

Тема 2. «Задача Коши для одного линейного дифференциального уравнения первого и второго порядка с постоянными коэффициентами»

4. Решение задачи Коши для неоднородного дифференциального уравнения первого порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения первого порядка. Общая формула для произвольного закона изменения ЭДС. Асимптотики решений задачи Коши для частных случаев: источники постоянного ЭДС и источники ЭДС, гармонически изменяющиеся во времени. Асимптотики решений для этих частных случаев при больших временах. «Забывание» начальных условий.

5. Явление самоиндукции и задача Коши для неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка. Инерционные свойства электрических цепей.

Комплексные числа . Модуль и фаза комплексного числа . Использование комплексных чисел для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с гармонически меняющейся со временем правой частью по закону

Тема 3. «Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) ».

6. Решение системы с помощью обратной матрицы . Условие существования единственного решения. Условия отсутствия решения и существования бесконечного числа решений.

7. Верхняя и нижняя треугольные матрицы. Нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений , если матрица верхняя треугольная.

Приведение СЛАУ к виду , в котором матрица является верхней треугольной (метод Гаусса).

8. Теорема о существовании единственного представления матрицы в виде , где - нижняя треугольная матрица с диагональными элементами, равными единице, и - верхняя треугольная матрица.

Возможности решения СЛАУ в пакетах Excel и Mathcad.

Тема 4. «Задача Коши для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

9. Рассматривается линейная система дифференциальных уравнений

,

где столбец из неизвестных функций , - матрица с не зависящими от времени элементами , а - столбец из не зависящих от времени элементов . Начальные условия для неизвестных функций определяются - мерным столбцом .

10. Представление решения задачи Коши в виде суммы , где является общим решением системы однородных уравнений, а - частным решением неоднородной системы уравнений.

Собственные вектора и собственные значения матрицы : . Нахождение собственных значений как нахождение корней характеристического уравнения , где единичная диагональная матрица.

11. Определение матрицы простой структуры. Представление общего решения однородной задачи в виде суммы по всем собственным значениям матрицы :

, где - произвольные числа.

Поиск частного решения неоднородного уравнения в виде , где определяется из решения СЛАУ .

Решение исходной задачи Коши для случая, когда - матрица простой структуры, ни одно из собственных значений которой не совпадает с (отсутствие резонанса):

коэффициенты определяются решением СЛАУ .

12. Решение исходной задачи Коши, если не является матрицей простой структуры (характеристическое уравнение имеет кратные корни, а линейно независимых собственных векторов у матрицы оказывается меньше ). В этом случае можно либо дополнить систему собственных функций так называемыми присоединенными, либо «возмутить» отдельные элементы матрицы слагаемыми, пропорциональными малой величине , так, чтобы все корни характеристического уравнения перестали быть кратными. Тогда решение «возмущенной» задачи существует и надо только в окончательном ответе аккуратно совершить предельный переход при . Такую же процедуру «возмущения» исходной задачи с последующим предельным переходом можно применить для случая резонанса – совпадения одного из собственных значений с .

13. Связь между системой линейных дифференциальных уравнений первого порядка и одним линейным дифференциальным уравнением -го порядка.

Тема 5. «Нахождениe корней нелинейного уравнения и решение системы дифференциальных уравнений в пакете Mathcad.»

14. Нахождения корней одного нелинейного уравнения со скалярным аргументом. Возможные алгоритмы и проблемы при численной реализации. Использование пакетов Excel и Mathcad для нахождения корней. Решение дифференциальных уравнений в пакете Mathcad. Нахождения минимума целевой функции как метод нахождения решений системы нелинейных алгебраических уравнений. Пакет «Поиск решения» в Excel как удобный инструмент для не очень больших задач.

Тема 6. «Система нелинейных дифференциальных уравнений»

15. Электрические элементы, обладающие нелинейной вольтамперной характеристикой. Свойства нелинейных дифференциальных уравнений, которые не проявлялись для линейных дифференциальных уравнений: отсутствие принципа суперпозиции, уход траекторий на бесконечность при конечных временах, возможность бесконечного числа решений при некоторых начальных условиях. Качественное рассмотрение двух классических примеров нелинейной динамики: динамика нелинейного мятника и динамика двух популяций «хищник-жертва» (predator-victim), численности которых P и V меняется согласно системе уравнений

16. Устойчивость решения системы нелинейных дифференциальных уравнений по Ляпунову.

Разбегающиеся траектории, близкие в начальный момент. Асимптотическая устойчивость.

Сведение исследования устойчивости некоторого решения системы к исследованию на устойчивость тривиального решения – точки покоя.

Анализ особых точек для консервативной системы двух дифференциальных уравнений первого порядка по линейному приближению.

17. Анализ устойчивости точек покоя для линейной консервативной системы дифференциальных уравнений. Центр, седло, устойчивые и неустойчивые узлы и фокусы.

Случай, когда один из корней характеристического уравнения равен нулю, а другой отличен от нуля. Случай кратного нулевого корня характеристической матрицы.

18. Формулировка теоремы о возможности использования линейного приближения для анализа точек покоя нелинейной системы.

19. Консервативная нелинейная система двух уравнений, имеющая решение в виде предельного цикла. Предельные циклы бывают как притягивающими траектории, исходящие из какой-то области начальных значений, так и отталкивающими. Параметры циклов определяются параметрами уравнений, а не начальными условиями. Этот факт и используется в генераторах импульсов. Теорема Бендиксона. Осциллятор Ван-дер-Поля.

Распределение часов

№	Название темы	Всего часов	Аудиторные часы	Самостоятельная работа
Лекции	Семинары	Практические занятия
	Математическое моделирование электрических схем
	Задача Коши для одного линейного дифференциального уравнения первого и второго порядка с постоянными коэффициентами
	Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
	Задача Коши для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
	Нахождениe корней нелинейного уравнения и решение системы дифференциальных уравнений в пакете Mathcad.
	Система нелинейных дифференциальных уравнений
	Итого

Литература

1. Калиткин Н.Н. Численные методы М. Наука
2. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М. Наука
3. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний М. Наука
4. Книга по линейной алгебре, знакомая по курсу линейной алгебры.
5. Help в пакете MathCad

Одна контрольная работа состояла из пяти одинаковых заданий, в которых числовые данные у всех студентов различны. Домашняя работа состояла из 12 различных вариантов.

По результатам контрольной работы, домашнего задания и активности студентов на семинарских занятиях выставляется накопительная оценка по десятибалльной шкале.

Ответы на экзамене оцениваются также по десятибалльной шкале.

Результирующий балл вычисляется как среднее арифметическое из двух полученных баллов.

Экзаменационные вопросы

Нахождение общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

, если характеристические числа не кратны. Записать с его помощью решение задачи Коши для этого уравнения, если

Нахождение общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

, если . Записать с его помощью решение задачи Коши для этого уравнения, если . С помощью предельного перехода (используя правило Лопиталя) получить решение исходной задачи при , когда корни характеристического уравнения кратны.

Нахождение общего решения однородной системы двух дифференциальных уравнений первого порядка , где - столбец из искомых функций , а , - матрицы с заданными постоянными элементами (действительными числами), причем . Записать с его помощью решение задачи Коши для этого уравнения, если и характеристические корни не кратны.

Нахождение частного решения неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

, где - константы.

Нахождение решения задачи Коши для неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

, где - константы.

.

Рассмотреть случай, когда при и при .

Нахождение частного решения однородной системы двух дифференциальных уравнений первого порядка , где - столбец из искомых функций , а , - матрицы с заданными постоянными элементами, причем . - двумерный столбец, элементы которого – константы.

Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с помощью обратной матрицы. Для случая, когда привести числовые примеры, при которых:

1) решение единственно, 2) решений нет, 3) решений бесконечно много.

Решение системы -х формально не совпадающих линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными. Привести числовые примеры, при которых:

решение единственно, решений нет, решений бесконечно много. Ситуации проиллюстрировать графически.

Четыре способа решения СЛАУ с помощью пакета Mathcad.

Приведение СЛАУ к виду , в котором матрица является верхней треугольной (метод Гаусса).

Формулы для решения СЛАУ , в котором матрица является верхней треугольной.

Доказательство утверждения, что любое нелинейное дифференциальное уравнение -го порядка для скалярной функции , разрешенного относительно старшей производной,

,

может быть представлено в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка для - функций :

.

Представить явный вид для функций и связь функций с функцией .

Показать, в каком случае система двух линейных дифференциальных уравнений для функций может быть сведена к одному линейному дифференциальному уравнению второго порядка. Привести простой пример системы трех линейных дифференциальных уравнений для функций , которые эквивалентны системе двух дифференциальных уравнений, одно из которых является уравнением первого порядка, а другое – уравнение второго порядка.

Свойства нелинейных дифференциальных уравнений, которые не проявлялись для линейных дифференциальных уравнений: отсутствие принципа суперпозиции, уход траекторий на бесконечность при конечных временах, возможность бесконечного числа решений при некоторых начальных условиях.

Устойчивость решения системы нелинейных дифференциальных уравнений по Ляпунову.

Разбегающиеся траектории, близкие в начальный момент. Асимптотическая устойчивость.

Сведение исследования устойчивости некоторого решения системы к исследованию на устойчивость тривиального решения – точки покоя .

Анализ особых точек для консервативной системы двух дифференциальных уравнений первого порядка по линейному приближению. Центр, седло, устойчивые и неустойчивые узлы и фокусы.

Теорема о возможности использования линейного приближения для анализа точек покоя нелинейной системы.

Консервативная нелинейная система двух уравнений, имеющая решение в виде предельного цикла. Теорема Бендиксона. Осциллятор Ван-дер-Поля.

Показать, что система нелинейных уравнений

обладают бесконечным числом предельных циклов – концентрических окружностей радиуса Нарисовать фазовый портрет.

Указание. На плоскости ввести полярные координаты , в которых исходная система примет вид . Решение второго уравнения легко найти, сделав замену переменных приводящую к уравнению . Нетрудно заметить, что точками покоя этого уравнения являются значения .Однако точки с нечетными являются аттракторами, а с четными - репеллерами. Следовательно, притягивающие и отталкивающие предельные циклы (последовательность вложенных окружностей) будут чередоваться в пространстве.

Нахождение решения задачи Коши для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка в пакете Mathcad.

Дата добавления: 2015-08-29