Список вопросов по курсу Вычислительная математика

Список вопросов по курсу "Вычислительная математика"

за III семестр 2013 г.

Декабрь 2013

I

1. Предмет вычислительной математики. Роль и место. Схема вычислительного эксперимента. Ограничение по памяти, быстродействию, точности вычислений. Cложность задач. Основные параметры и особенности машинной арифметики.

2. Матрицы, вектора и операции с ними (сложение, вычитание, умножение, обратная матрица). Формулы для матрично-векорных операций.

3. Нормы векторов. Аксиомы нормы. Нормы матриц, подчинённые данной норме вектора. Свойства подчинённых матричных норм. Примеры векторных и матричных норм. Запись систем алгебраических уравнений в векторно-матричной форме.

4. Оценка и через нормы матриц.

5. Теорема Гершгорина. Диагональное преобладание. Теорема Адамара.

6. Лемма о матрице .

7. Невязка и ошибка (погрешность) решения . Связь между ошибкой и невязкой. Неравенство, связывающее относительную ошибку, невязку и число обусловленности. Число обусловленности матрицы.

8. Полная оценка относительной погрешности решения систем линейных алгебраических уравнений .

9. Число обусловленности и его свойства. Число обусловленности ортогональной матрицы.

10. Элементарные матрицы. Матрица, обратная к элементарной.

11. Специальные элементарные матрицы: исключения, Хаусхолдера (отражения), перестановки.

12. Свойства матрицы элементарного преобразования Хаусхолдера (отражения). Аннулирование элементов векторов (столбцов).

13. Свойства матрицы преобразования Гивенса (вращения). Аннулирование элементов векторов (столбцов).

14. Свойства треугольных матриц.

15. Матричная запись метода Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцу и связь метода с разложением на множители . Применение –разложения для вычисления

16. Единственность -разложения.

17. Вычисление -разложения методом окаймления. Ленточные матрицы. Верхняя и нижняя ленты. Ширина ленты. Особенности разложение ленточной матрицы с перестановками и без. Схема хранения ленточной матрицы с учётом перестановок и без.

19. Метод прогонки для трёхдиагональных систем. Достаточные условия устойчивости метода прогонки.

20. Компактная схема -разложения. -разложение.

21. Разложение Холесского ( -разложение, -разложение).

22. Вычисление -разложения преобразованиями Хаусхолдера (Гивенса). Условие единственности QR-разложения. Применение -разложения для решения .

23. Связь разложения с процедурой ортогонализации векторов Грамма-Шмидта.

24.Вычисление -разложения преобразованиями Хаусхолдера (Гивенса) ( -ортогональные, -верхняя двудиагональные матрицы). Применение -разложения для решения

25. Подобные матрицы. Преобразование подобия. Свойства подобных матриц.

26. Вычисление верхней матрицы Хессенберга подобными преобразованиями Хаусхолдера, (Гивенса или исключения) для случаев и . Алгоритм решения задачи

27.Спектральное разложение. Разложение Шура. Сингулярное разложение. Полярное разложение.

28 Применение матричных разложений для решения , вычисления и .

29. Собственные значения и собственные векторы матрицы. Постановка полной и частичной задачи на собственные значения.

30. Степенной метод. Прямые и обратные итерации. Обратные итерации со сдвигом.

31. Основные этапы QR-алгоритма решения полной проблемы собственных значений.

32.Постановка задачи интерполяции. Полином Лагранжа. Существование и единственность полинома Лагранжа. Оценка остаточного члена. Оценка погрешности полинома Лагранжа в точке, на интервале, для равноотстоящих узлов.

33. Полиномы Чебышёва и их корни. Минимизация погрешности. Оценка погрешности полинома Лагранжа при выборе узлов интерполяции по Чебышёву.

34. Пример функции Рунге. Сходимость интерполяционного процесса.

35. Разделенные разности. Представление полинома через разделённые разности. Интерполяционный полином Ньютона.

36. Интерполирование по Эрмиту. Эрмитов кубический полином с заданными значениями функции и вторых производных на концах интервала.

37. Линейный сплайн.

38. Интерполяционный кубический сплайн. Две формы представления сплайна (через a_i, b_i, c_i, d_i или f_i, M_i). Вывод системы уравнений для определения коэффициентов сплайна.

39. Типы граничных условий для сплайна.

40. Метод прогонки для решения трёхдиагональных систем.

41. Формула для оценки точности аппроксимации функций и их производных (до третьей включительно) интерполяционным кубическим сплайном.

42. Применение сплайна для вычисления производных функции и интегралов.

43. Аппроксимация функций по критерию наименьших квадратов (среднеквадратичная аппроксимация). Система уравнений для определения коэффициентов аппроксимации.

44. Аппроксимация по ортогональной системе функций. Построений ортогональной (ортонормированной) системы функций методом Грамма-Шмидта.

45. Численное дифференцирование функций. Построение формул численного дифференцирования на основе аппроксимационного подхода (и метода неопределённых коэффициентов).

46. Формулы для первой и второй производной. Оценка точности формул численного дифференцирования.

47. Регуляризация формул численного дифференцирования (выбор оптимального шага).

48. Квадратурные формулы. Малые и большие квадратурные формулы. Порядок точности квадратурной формулы.

49. Простейшие квадратурные формулы (левых, правых, средних прямоугольников, формула трапеций, формула Симпсона).

50. Оценка точности формул левых, правых, средних прямоугольников, формула трапеций.

51. Формулы Ньютона-Котеса. Переход от стандартного промежутка интегрирования к произвольному (и наоборот).

52. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (Гаусса, Чебышёва, Маркова). Система уравнений для определения узлов и весов квадратурной формулы. Примеры для n=0 и 1.

53. Оценка точности вычисления интеграла. Правило Рунге.

Вопросы, выделенные курсивом, не являются обязательными

Литература

1.Зимницкий В.А., Устинов С.М. "Вычислительная математика" СПб БХВ-Петербург, 2008.-336с.

Дополнительная

2.Самарский А.А., Гулин А.Б. "Численные методы".

3.Бахвалов Н.С.,Жидков, Кобельков "Численные методы".

4.Калиткин Н.Н. "Численные методы".

5.Марчук Г.И. "Методы вычислительной математики"

6.Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. - М. Мир, 1999 -548с.

Дата добавления: 2015-08-29