НТУУ «Киевский политехнический институт»

НТУУ «Киевский политехнический институт»

Факультет Электроники

Кафедра Электронных приборов и устройств

Вычислительная математика

Индивидуальное практическое задание по теме:

«Решение СЛАУ с помощью LU – разложения матрицы»

Выполнил студент гр. ДЕ-72

Прокопчук Александр

2.LU разложение матрицы. Представим матрицу A в виде произведения нижней треугольной матрицы L и верхней треугольной U.

Введем в рассмотрение матрицы

и

Можно показать, что A = LU. Это и есть разложение матрицы на множители.

Примеры:

Пример 1. Разложение матрицы A на множители.

A =

1-й шаг. Вычислим масштабирующие множители 1-го шага

, , .

и выполним преобразование матрицы:

2-ой шаг. Вычислим масштабирующие множители 2-го шага

и .

2-ой шаг не изменяет матрицы. A2 = A1.

3-й шаг. Вычислим масштабирующие множители 3-го шага

.

и выполним преобразование матрицы: A3 =

В результате получим матрицу U.

Таким образом, L = , U = .

Пример 2. Решение системы с помощью LU - разложения матрицы.

Решим систему уравнений Ax = b с матрицей A, рассмотренной в примере 1 и вектором . После разложения матрицы на множители, решение системы сводится к последовательному решению систем с треугольными матрицами: и .

Легко проверить, что решением 1-ой системы является вектор ,
а решением 2-ой системы является вектор .

3. Метод бисекции.Пусть[a,b] v отрезок локализации. Предположим, что функция f(x) непрерывна на [a,b] и на концах принимает значения разных знаков .

Алгоритм метода бисекции состоит в построении последовательности вложенных отрезков, на концах которых функция принимает значения разных знаков. Каждый последующий отрезок получают делением пополам предыдущего. Опишем один шаг итераций метода. Пусть на k-ом шаге найден отрезок такой, что . Найдем середину отрезка . Если , то - корень и задача решена. Если нет, то из двух половин отрезка выбираем ту, на концах которой функция имеет противоположные знаки:

, , если

, , если

Критерий окончания итерационного процесса: если длина отрезка локализации меньше 2 , то итерации прекращают и в качестве значения корня с заданной точностью принимают середину отрезка.

Теорема о сходимости метода бисекций. Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и на концах принимает значения разных знаков .Тогда метод сходится и справедлива оценка погрешности:

Пример 2. Решение уравнения методом бисекции
	Метод бисекции
Начальные значения
Простой корень, найденный с точностью за 30 итераций, равен -0.4900726384.

Список использованной литературы:

1) Б. П. Демидович, И. А. Марон. Основы вычислительной математики

2) В. Е. Краскевич и др. Численные методы в инжинерных исследованиях. Киев, 1986

3) Марчук. Численные методы.

4) Конспект Лекций

5) www.exponenta.ru

Дата добавления: 2015-08-29