4. Вимоги до означення понять

4. Вимоги до означення понять

Щоб оцінити правильність явних означень, необхідно знати правила означення понять. Так як переважна більшість означень в шкільному курсі математики - це означення через рід і видиву відміну, то мова буде йти про правила цих означень.

Насамперед означуване і визначальне поняття повинні бути співрозмірні. Це означає, що сукупності предметів, що охоплені ними, повинні збігатися. Співрозмірні з, наприклад, поняттями «прямокутник» і «чотирикутник, в якому всі кути прямі». Якщо ж об’єм означуваного поняття включає в себе об’єм поняття визначуваного, то говорять про помилку занадто широкого означення. Так, означення «Прямі а і b називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок або збігаються» занадто широке, оскільки його задовольняють і мимобіжні прямі. Якщо ж об’єм означуваного поняття вужчий об’єму визначуваного поняття, то має місце помилка занадто вузького означення. Наприклад, означення «Прямі а і b називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок» занадто вузьке, оскільки його не задовольняють, прямі, які збігаються.

Друге правило означення забороняє порочне коло: не можна означати поняття через само себе, або визначати його через інше поняття, яке, у свою чергу, визначається через нього. Візьмемо такі поняття початкової математики, як «множення» і «добуток», і дамо їм такі означення:

Множенням чисел називається дія, за допомогою якої знаходять добуток цих чисел.

Добутком чисел називається результат їх множення.

Бачимо, що множення означається через поняття добуток, а добуток - через поняття множення. Означення утворили, як кажуть у математиці,” порочне коло”. У результаті ланцюжок послідовних означень, побудованих в рамках курсу, переривається.

Порочне коло міститься і в такому означенні: «Розв’язком рівняння називається число, яке є його розв’язком». Тут поняття «розв’язок рівняння» визначається, по суті справи, через розв’язок рівняння.

Третьою важливою вимогою до логічно правильного означення поняття є наступне: у означенні повинні бути вказані всі властивості, що дозволяють однозначно виділяти об'єкти, що належать об’єму означуваного поняття.

Розглянемо, наприклад, таке означення поняття «суміжні кути»: «Суміжними називаються кути, які в сумі складають 180 °». Неважко побачити, що під дане означення можна підвести не тільки кути, зображені на малюнку 2, які є дійсно суміжними, але і кути, зображені на малюнку 3. Чому так сталося? Справа в тому, що в наведеному означенні суміжних кутів зазначено лише одна їх властивість, а саме властивість становити в сумі 180 °, але його недостатньо для виділення суміжних кутів з усіх інших.

Ще одна вимога до правильного означення поняття - відсутність у ньому надмірності. Це означає, що у означенні не повинно бути зазначено зайвих властивостей, що випливають з інших властивостей, також включених в означення поняття.

Розглянемо означення: «Прямокутником називається чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні і всі кути прямі». Можна показати, що включена у означення властивість «мати протилежні рівні сторони» випливає з властивості «мати прямі кути». Отже, дане означення прямокутника надлишкове і правильніше визначати прямокутник таким чином: «Прямокутником називається чотирикутник, у якого всі кути прямі».

Слід сказати, що в будь-якому означенні поняття є елемент свавілля, що проявляється, по-перше, у виборі терміна (прямокутник, в якому всі сторони рівні, міг би називатися і по-іншому), а по-друге, у виборі властивостей, що включаються у означення. В принципі поняття квадрата можна означити так: «Квадратом називається ромб, у якого всі кути прямі» - або так: «Квадратом називається паралелограм, у якого всі сторони рівні, а кути прямі». Різні означення одного і того ж поняття можливі тому, що з великої кількості и властивостей, що входять у зміст цього поняття, в означення включаються тільки деякі.

Якщо одному і тому ж поняттю даються, наприклад, два різних означення, то вони повинні бути рівносильними. Це означає, що з властивостей, включених в одне означення, повинні випливати властивості, покладені в основу іншого означення, і навпаки.

Чим же керуються, коли з можливих означень деякого поняття вибирають одне? Виходять з того, яке означення простіше, природніше або доцільніше для подальшої побудови теорії.

Якщо ж будь-властивості виявляються включеними у означення, то інші властивості тих же об'єктів можуть логічно слідувати з тих, що увійшли до означення. Це важливе положення використовують при розв’язуванні завдань на розпізнавання. Якщо об'єкт А належить об’єму означуваного поняття, то він має всі властивості, які вказані в означенні поняття. Справедливо і обернене твердження, тобто якщо відомо, що об'єкт А має всі властивості, які вказані в означенні поняття, названого деяким терміном, то й об'єкт А можна назвати цим терміном.

Приклад. Використовуючи означення діаметра кола, встановимо, в якому з випадків, представлених на малюнку 4, відрізок СО є діаметром.

Дано означення діаметр кола таким чином: діаметром кола називається хорда, що проходить через її центр. Щоб відрізок СD виявився діаметром кола, досить одночасного виконання двох умов: відрізок СD повинен бути хордою кола і проходити через її центр. Цим двом умовам задовольняє відрізок СD в випадку «а». У випадку «б» відрізок СВ - хорда, але він не проходить через центр кола; в разі «в» відрізок СD проходить через центр кола, але не є хордою.

Ще однією вимогою до логічно правильного означення поняття є наступне: необхідно, щоб означуваний об'єкт існував. Розглянемо, наприклад, таке означення: «тупокутним трикутником називається трикутник, у якого всі кути тупі». Неважко переконатися в тому, що трикутник, у якого всі кути тупі, не існує. Отже, цьому означенню реально нічого не відповідає, і тому воно не може вважатися логічно правильним.

Зауважимо, що в математиці для відповіді на питання, чи існує об'єкт, що задовольняє це означення, як правило, доводять спеціальну теорему, що підтверджує можливість існування об'єкта, про який йдеться у означенні. В геометрії існування об'єкта, який задовольняє означення, іноді доводять побудувавши його.

4.Вправи

1. Сформулюйте означення прямокутного трикутника і укажіть його структуру.

2. Учень дав означення прямого кута як кута, сторони якого взаємно перпендикулярні, а взаємно перпендикулярні прямі як прямі, що утворюють при перетині прямі кути. Яку помилку допустив учень?

Яким чином можуть бути ознайомлені учні початкових класів з поняттям прямого кута?

3. Учень за аналогією з означенням гострокутного трикутника сформулював таке означення гострокутного чотирикутника: «гострокутним чотирикутником називається опуклий чотирикутник, всі кути якого гострі». Чи можна вважати це означення правильним?

4. Один учень дав означення поняття прямокутника так: «Прямокутником називається чотирикутник, у якого всі кути прямі і сторони попарно рівні».

Другий учень сказав: «Прямокутником називається чотирикутник, у якого всі кути прямі».

І нарешті, третій дав таке означення: «Прямокутником називається чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні».

Який з учнів дав правильне означення поняття прямокутника?

Чи можна означити це поняття ще якимось чином?

5. У яких з наведених нижче означень математичних понять є помилки? Виправте їх, якщо це можливо.

1) Бісектрисою трикутника називається пряма, що ділить кут трикутника навпіл. 2) Діаметром кола називається хорда, що проходить через центр кола. 3) Дотичною до кола називається пряма, яка дотикається кола. 4) Ромбом називається паралелограм, дві суміжні сторони якого

рівні. 5) Додаванням називається дія, за допомогою якої числа додаються. 6) Рівностороннім трикутником називається трикутник, у якого рівні всі його сторони і всі його кути. 7)Паралелограмом називається багатокутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

6. Проаналізуйте логічну структуру означення прямокутника (через чотирикутник) і встановіть, які з фігур (мал. 5) є прямокутниками.

7. Дайте означення бісектриси кути і установіть, на якому з малюнків промінь ВD є бісектрисою кута (рис. 6).

8. Сформулюйте означення поняття «квадрат», вказавши родове поняття «прямокутник». Користуючись даними означенням, вкажіть умови, при яких: 1) фігура буде квадратом; 2) фігура не буде квадратом.

9. Чи достатньо нижчевикладеної умови для того, щоб чотирикутник був прямокутником: 1) він має дві пари паралельних сторін, 2) три його кута є прямими; 3) його діагоналі конгруентний; 4) дві його сторони паралельні?

10. Наведіть приклади завдань на розпізнавання фігур і інших об'єктів з підручників математики для початкових класів.

Мал.5

мал.6

Дата добавления: 2015-09-28