4) Найти центр масс точек А, В и С, если их массы соответственно равны:

Метод масс (21.01.12)

Найти центр масс:

1)

2)

3)

4) Найти центр масс точек А, В и С, если их массы соответственно равны:

а) 1, 2 и 3

б) 3, 2 и 3

в) 5, 3 и 7

5) Найти соотношения , , и (см. рисунок), если и соответственно равны:

а) 1:2 и 3:4

б) 3:2 и 5:1

в) 5:6 и 7:8

6) Найти соотношения и , если , и соответственно равны:

а) 2:3, 1:2 и 1:3

б) 3:4, 1:4 и 5:2

в) 5:6, 9:7 и 8:11

7) Докажите лемму о трапеции: точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований принадлежат одной прямой.

8) Доказать теорему Чевы: если прямые, проведенные из вершин треугольника к противоположным сторонам, пересекаются в одной точке (Z), то выполняется следующее равенство: .

9) Доказать теорему Ван-Обеля: если отрезки , и , проведенные из вершин треугольника к противоположным сторонам пересекаются в одной точке (см. рис. к задаче 5), то выполняется следующее равенство:

9) Дан произвольный шестиугольник. Соединив середины четных сторон, а затем середины нечетных сторон получили два треугольника. Докажите, что медианы этих треугольников пересекутся в одной точке.

10) Докажите, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке. В каком отношении делятся медианы этой точкой?

11) Докажите, что точка пересечения отрезков, соединяющих противоположные точки четырехугольника, совпадет с серединой отрезка, соединяющего середины его диагоналей.

12) Диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны и пересекаются в точке . Докажите, что середина отрезка, соединяющего середины диагоналей лежит на отрезке и делит его пополам.

13) Для пунктов задачи 5 найдите площади треугольников , и .

14) Подберите массы в вершины треугольника так, чтобы центром его масс стали точки: а) ; б) ; в) ; г) .

15) (Киевский турнир 2008-2009 гг.) Дан треугольник ABC и произвольная точка P внутри него. Через эту точку проведены прямые, параллельные сторонам AB, BC и CA, которые пересекают стороны BC, AC, AB соответственно в точках N, M и T. Докажите неравенство .

16) Докажите, что точки , и лежат на одной прямой.

17) Докажите, что точки Нагеля, Жергона и пересечения сибиссектрис лежат на одной прямой.

Основные принципы и понятия метода масс

1) Материальная точка (м.т) - тело, размерами которого можно пренебречь в сравнении с расстояниями до других тел, рассматриваемых в задаче.

2) Центр масс (ц.м) - такая точка системы материальных точек, что если за нее подвесить всю систему, то она окажется в равновесии (никакая часть системы м.т не будет перевешивать другую ее честь). Другие названия центра масс: центроид, барицентр.

3) Всякая система с ненулевой массой, состоящая из конечного числа материальных точек (м. т.), имеет центр масс и притом единственный.

4) Центр масс двух м. т. расположен на отрезке, соединяющем эти точки. Его положение определяется архимедовым правилом рычага («золотым правилом» механики): произведение массы м. т. на расстояние от нее до центра масс одинаково для обеих точек, т. е. m1d1=m2d2, где m1, m2 – массы материальных точек, а d1, d2 – соответствующие плечи, т. е. расстояния от м. т. до центра масс.

5) Если в системе, состоящей из конечного числа м. т., отметить несколько м. т. и массы всех отмеченных точек перенести в их центр масс, то от этого положение центра масс всей системы не изменится.

6) При решении задач масса всей системы должна оставаться неизменной. Исключение составляют случаи, когда мы умышленно домножаем массы всех м.т. на необходимое значение.

Дата добавления: 2015-08-29